एक सममित वितरण की परिभाषा क्या है?

Question

एक सममित वितरण की परिभाषा क्या है? किसी ने मुझसे कहा था कि एक यादृच्छिक चर $X$ एक सममित वितरण से आया है यदि और केवल यदि $X$ और $-X$ एक ही वितरण किया है। लेकिन मुझे लगता है कि यह परिभाषा आंशिक रूप से सच है। क्योंकि मैं एक प्रति पेश कर सकते हैं $X\sim N(\mu,\sigma^{2})$ और $\mu\neq0$ । जाहिर है, इसका एक सममित वितरण है, लेकिन $X$ और $-X$ का अलग-अलग वितरण है! क्या मैं सही हू? क्या आप लोग कभी इस प्रश्न के बारे में सोचते हैं? सममित वितरण की सटीक परिभाषा क्या है?

Comments

जब आप कहते हैं, "वितरण सममित है", तो आपको उस बिंदु के साथ निर्दिष्ट करना होगा जो सममित है। आपके द्वारा प्रस्तुत सामान्य वितरण के मामले में, समरूपता आसपास दी गई है । इस स्थिति में X - μ और - ( X - μ ) का समान वितरण है। घनत्व के संदर्भ में इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: f , μ के बारे में सममिति है अगर f ( μ - x ) = f ( μ + x ) । BTW, जब आप उनमें से किसी एक से संतुष्ट होते हैं तो उत्तर स्वीकार करना अच्छा होता है।$\mu$$X-\mu$$-(X-\mu)$$f$$\mu$$f(\mu-x)=f(\mu+x)$

हाँ, हम लोगों ने इस प्रश्न के बारे में सोचा है। सममिति का अर्थ आम तौर पर बारे में सममित होता है , और, आगे के प्रतिरूपों को वनोपज करने के लिए, वितरण सममित होने के बारे में दावा कुछ ऐसा नहीं है जो संचयी संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के बारे में सही हो । आपका "counterexample" बिंदु के बारे में समरूपता है μ ≠ 0 , नहीं बिंदु के बारे में 0 । $0$$\mu \neq 0$$0$

— दिलीप सरवटे

@Dilip जब कोई परिभाषा किसी चीज़ का वर्णन करने के एक तरीके पर निर्भर करती है, लेकिन उस परिभाषा को उस चीज़ की आंतरिक संपत्ति के रूप में दिखाया जा सकता है, तो यह परिभाषा को विवरण के एक अलग रूप में लागू करने का कोई मतलब नहीं है । इस मामले में, समरूपता एक वितरण की संपत्ति है , लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि उस वितरण के सभी विवरण (पीडीएफ और सीडीएफ सहित) उसी तरह से "सममित" होना चाहिए। सीडीएफ में पीडीएफ की समरूपता को लागू करने से, आपकी टिप्पणी प्रश्न को स्पष्ट करने के बजाय भ्रमित करती है।

— whuber

shijing, @Procrastinator ने देखा है कि आपने बिना किसी उत्तर को स्वीकार किए कई प्रश्न पूछे हैं। यह सुझाव देता है कि आप अपरिचित हो सकते हैं कि यह साइट कैसे काम करती है। किसी भी गलतफहमी को दूर करने के लिए, क्या आप हमारे एफएक्यू के प्रासंगिक हिस्से को हर तरह से पढ़ेंगे ? इसमें केवल कुछ मिनट लगेंगे और इसके मार्गदर्शन के बाद हमारी साइट का मान बढ़ेगा।

— whuber

@whuber सीडीएफ उन कुछ विवरणों में से एक है जिसमें शब्द वितरण वास्तव में नाम में होता है, और मैं स्पष्ट करने की कोशिश कर रहा था कि समरूपता संपत्ति सीडीएफ के लिए नहीं थी।

— दिलीप सरवटे

Answer 1

संक्षेप में: सममित है जब X और 2 a - X में कुछ वास्तविक संख्या के लिए समान वितरण होता है । $X$$X$$2a-X$$a$ लेकिन इस पर पूरी तरह से न्यायसंगत तरीके से पहुंचने के लिए कुछ विषयांतर और सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है, क्योंकि यह कई निहित सवाल उठाता है: "सममित" की यह परिभाषा क्यों ? क्या अन्य प्रकार के समरूपता हो सकते हैं? एक वितरण और उसके समरूपता के बीच क्या संबंध है, और इसके विपरीत, एक "समरूपता" और उन वितरणों के बीच क्या संबंध है जो कि समरूपता हो सकता है?

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प्रश्न में समरूपता वास्तविक रेखा के प्रतिबिंब हैं। सभी रूप के हैं

$$x \to 2a-x$$

कुछ निरंतर के ।$a$

तो, मान लीजिए कि में कम से कम एक के लिए यह समरूपता है । फिर समरूपता का अर्थ है$X$$a$

$$\Pr[X \ge a] = \Pr[2a-X \ge a] = \Pr[X \le a]$$

दिखा रहा है कि एक है मंझला की एक्स । इसी तरह, यदि X को एक उम्मीद है, तो यह तुरंत इस प्रकार है कि a = E [ X ] । इस प्रकार हम आमतौर पर नीचे पिन कर सकते हैं एक आसानी से। यहां तक कि नहीं करता है, तो, एक (और इसलिए समरूपता ही) अभी भी विशिष्ट निर्धारित किया जाता है (अगर यह सब पर मौजूद है)।$a$$X$$X$$a = E[X]$$a$$a$

इसे देखने के लिए, सममिति का कोई केंद्र हो। फिर दोनों समरूपताओं को लागू करते हुए हम देखते हैं कि X अनुवाद x → x + 2 ( b - a ) के तहत अपरिवर्तनीय है । यदि ख - एक ≠ 0 , के वितरण एक्स की अवधि होना आवश्यक है ख - एक , जो असंभव है क्योंकि एक आवधिक वितरण की कुल संभावना या तो है 0 या अनंत। इस प्रकार b - a = 0 , दिखा रहा है कि एक अद्वितीय है।$b$$X$ $x \to x + 2(b-a)$$b-a \ne 0$$X$$b-a$$0$$b-a=0$$a$

आम तौर पर, जब वास्तविक लाइन (और अपने सभी बोरेल सबसेट पर विस्तार से) पर विश्वास करने वाला एक समूह है, तो हम कह सकते हैं कि एक वितरण एक्स "सममित" ( जी के संबंध में ) है$G$$X$$G$

$$\Pr[X \in E] = \Pr[X \in E^g]$$

सभी मापने योग्य सेट के लिए और तत्वों जी ∈ जी , जहां ई जी की छवि को दर्शाता है ई की कार्रवाई के तहत ग्राम ।$E$$g \in G$$E^g$$E$$g$

उदाहरण के लिए, चलो अभी भी आदेश के एक समूह हो 2 , लेकिन अब अपनी कार्रवाई एक वास्तविक संख्या की पारस्परिक लेने के लिए रहने दो (और इसे ठीक कर देना 0 )। मानक लॉगनॉर्मल वितरण इस समूह के संबंध में सममित है। इस उदाहरण को एक प्रतिबिंब समरूपता के उदाहरण के रूप में समझा जा सकता है जहां निर्देशांक की एक nonlinear पुनः अभिव्यक्ति हुई है। यह उन परिवर्तनों पर ध्यान केंद्रित करने का सुझाव देता है जो वास्तविक रेखा की "संरचना" का सम्मान करते हैं। प्रायिकता के लिए आवश्यक संरचना बोरेल सेट्स और लेब्सेग माप से संबंधित होनी चाहिए, दोनों को दो बिंदुओं के बीच (यूक्लिडियन) दूरी के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है ।$G$$2$$0$

एक दूरी-संरक्षण मानचित्र, परिभाषा के अनुसार, एक आइसोमेट्री है। यह अच्छी तरह से जाना जाता है (और आसान है, थोड़ा सा शामिल करने के लिए, प्रदर्शित करने के लिए) कि वास्तविक रेखा के सभी आइसोमेटरीज प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होते हैं। Whence, जब यह समझा जाता है कि "सममित" का अर्थ सममिति के कुछ समूह के संबंध में है , तो समूह को अधिकतम एक प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न किया जाना चाहिए और हमने देखा है कि प्रतिबिंब विशिष्ट रूप से किसी भी सममित वितरण से निर्धारित होता है। इस अर्थ में, पूर्ववर्ती विश्लेषण संपूर्ण है और "सममित" वितरण की सामान्य शब्दावली को सही ठहराता है।

संयोग से, आइसोमेट्रीज़ के समूहों के तहत वितरण के अपरिवर्तनीय उदाहरणों के बहुभिन्नरूपी एक मेजबान को "गोलाकार" वितरणों पर विचार करके खर्च किया जाता है। ये सभी घुमावों (किसी निश्चित केंद्र के सापेक्ष) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं। ये एक आयामी मामले को सामान्य करते हैं: वास्तविक रेखा के "घुमाव" केवल प्रतिबिंब हैं।

अंत में, यह इंगित करने योग्य है कि एक मानक निर्माण - समूह पर औसत - सममित वितरण के भार का उत्पादन करने का एक तरीका देता है। वास्तविक रेखा के मामले में, एक बिंदु a के बारे में प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न किया जाता है , ताकि इसमें पहचान तत्व e और यह प्रतिबिंब g शामिल हो । X को कोई वितरण होने दें । सेटिंग द्वारा वितरण Y को परिभाषित करें$G$$a$$e$$g$$X$$Y$

$${\Pr}_Y[E] = \frac{1}{|G|}\sum_{g \in G} {\Pr}_X[E^g] = ({\Pr}_X[E] + {\Pr}_X[E^g])/2$$

सभी बोरेल सेट । यह स्पष्ट रूप से सममित है और यह जांचना आसान है कि यह एक वितरण बना हुआ है (सभी संभावनाएं अप्रचलित हैं और कुल संभावना 1 है )।$E$$1$

समूह की औसत प्रक्रिया को दर्शाते हुए, एक सममित गामा वितरण ( पर केंद्रित ) की पीडीएफ को सोने में दिखाया गया है। मूल गामा नीले रंग में है और इसका प्रतिबिंब लाल रंग में है।$a=2$

Comments

(+1) मैं यह जोड़ना चाहूंगा कि मल्टीवेरेट सेटिंग में, समरूपता की परिभाषा अद्वितीय नहीं है। इस पुस्तक में सममित बहुभिन्नरूपी वितरण की 8 संभावित परिभाषाएँ हैं।

@Procrastinator मुझे इस बात की उत्सुकता है कि आपके द्वारा "अद्वितीय नहीं" का क्या अर्थ हो सकता है। AFAIK, "समरूपता" नाम को सही ठहराने वाली कोई भी बात अंततः एक अंतरिक्ष पर एक समूह कार्रवाई को संदर्भित करती है। यह देखना दिलचस्प होगा कि सांख्यिकीविदों ने विभिन्न प्रकार के कार्यों को क्या उपयोगी पाया है। क्योंकि वह पुस्तक प्रिंट से बाहर है और वेब पर उपलब्ध नहीं है, तो क्या आप उस पुस्तक में मानी जाने वाली दो अलग-अलग प्रकार की समरूपता का एक त्वरित उदाहरण दे सकते हैं?

— whuber

Your intuition is correct, this is related to statistical features: Central symmetry ${\bf X}-\mu\stackrel{d}{=}-({\bf X}-\mu)$; Spherical symmetry $X-\mu\stackrel{d}{=}{\bf O}({\bf X}-\mu)$ for all orthogonal matrix ${\bf O}$. I cannot recall the rest, but I will try to borrow the book on these days. In this link you can find some of them.

@Procrastinator Thanks. Note that the two examples you offer are both special cases of the general definition I have supplied: the central symmetry generates a two-element group of isometries and the spherical symmetries are also a subgroup of all isometries. The "elliptical symmetry" in the link is a spherical symmetry after an affine transformation, and so exemplifies the phenomenon I pointed to with the lognormal example. The "angular symmetries" again form a group of isometries. The "half-space symmetry" [sic] is not a symmetry, but allows for discrete departures therefrom: that's new.

— whuber

Answer 2

The answer will depend on what you mean by symmetry. In physics the notion of symmetry is fundamental and has become very general. Symmetry is any operation that leaves the system unchanged. In the case of a probability distribution this could be translated to any operation $X \to X'$ that returns the same probability $P(X) = P(X')$.

In the simple case of the first example you are referring to the reflection symmetry about the maximum. If the distribution were sinusoidal then you could have the condition $X \to X + \lambda$, where $\lambda$ is the wavelength or period. Then $P(X) = P(X + \lambda)$ and would still fit a more general definition of symmetry.