क्या कई गुना है?

Question

आयामी कमी तकनीक जैसे प्रधान घटक विश्लेषण, एलडीए आदि में अक्सर कई गुना शब्द का उपयोग किया जाता है। गैर-तकनीकी शब्द में कई गुना क्या है? यदि एक बिंदु एक क्षेत्र से संबंधित है जिसका आयाम मैं कम करना चाहता हूं, और यदि कोई शोर और और असंबद्ध है, तो वास्तविक बिंदु शोर के कारण एक दूसरे से बहुत अलग होगा। इसलिए, शोर फ़िल्टरिंग की आवश्यकता होगी। तो, आयाम में कमी । इसलिए, यहाँ और अलग-अलग मैनिफ़ेस्ट से संबंधित हैं?y x y x z = x + y x $x$$y$$x$$y$$x$$z = x+y$$x$$y$

मैं बिंदु क्लाउड डेटा पर काम कर रहा हूं जो अक्सर रोबोट विजन में उपयोग किया जाता है; अधिग्रहण में शोर के कारण बिंदु बादल शोर हैं और मुझे आयाम में कमी से पहले शोर को कम करने की आवश्यकता है। अन्यथा, मुझे गलत आयाम में कमी मिलेगी। तो, यहाँ क्या कई गुना है और उसी एक्सफ़ोल्ड का एक हिस्सा है जो है?$x$

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गणितीय रूप से सटीक हुए बिना शब्द का सही उपयोग करना वास्तव में संभव नहीं है

— Chill2Macht

Answer 1

गैर तकनीकी शब्दों में, कई गुना एक परिमित ज्यामितीय संरचना होती है जिसमें परिमित आयाम होता है: एक रेखा, एक वक्र, एक तल, एक सतह, एक गोला, एक गेंद, एक सिलेंडर, एक टोरस, एक "बूँद" ... कुछ इस तरह से :

यह गणितज्ञों द्वारा "एक वक्र" (आयाम 1) या "सतह" (आयाम 2), या 3 डी ऑब्जेक्ट (आयाम 3) ... किसी भी संभव परिमित आयाम । एक आयामी कई गुना एक वक्र (लाइन, सर्कल ...) है। एक दो आयामी कई गुना सतह (विमान, गोला, टोरस, सिलेंडर ...) है। तीन आयामी कई गुना एक "पूर्ण वस्तु" (गेंद, पूर्ण घन, हमारे चारों ओर 3 डी स्थान ...) है।$n$

एक समीकरण में कई बार एक समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है: अंक का सेट जैसे कि एक आयामी कई गुना (एक वृत्त) है।x 2 + y 2 = $(x,y)$$x^2+y^2=1$

हर जगह एक ही आयाम का एक ही आयाम है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक रेखा (आयाम 1) को एक गोले (आयाम 2) में जोड़ते हैं तो परिणामस्वरूप ज्यामितीय संरचना कई गुना नहीं होती है।

मीट्रिक स्थान या टोपोलॉजिकल स्पेस की अधिक सामान्य धारणाओं के विपरीत, हमारे निरंतर बिंदुओं के एक प्राकृतिक अंतर्ज्ञान का वर्णन करने का इरादा है, कई गुना स्थानीय स्तर पर सरल होने का इरादा है: जैसे परिमित आयाम वेक्टर अंतरिक्ष: । यह अमूर्त रिक्त स्थान (अनंत आयाम स्थानों की तरह) को नियंत्रित करता है जो अक्सर ज्यामितीय ठोस अर्थ के लिए असफल होते हैं।$\mathbb{R}^n$

एक वेक्टर स्थान के विपरीत, कई गुना आकार हो सकते हैं। कुछ मैनिफोल्ड्स को आसानी से देखा जा सकता है (गोला, गेंद ...), कुछ कल्पना करना मुश्किल है, जैसे क्लेन बोतल या वास्तविक प्रक्षेप्य तल ।

आम तौर पर सांख्यिकी, मशीन लर्निंग, या एप्लाइड मैथ्स में, शब्द "मैनिफोल्ड" का उपयोग अक्सर "रैखिक रेखीय की तरह" कहने के लिए किया जाता है, लेकिन संभवतः घुमावदार। कभी भी आप एक रेखीय समीकरण लिखते हैं जैसे: आपको एक रेखीय (affine) उप-स्थान (यहाँ एक विमान) मिलता है। आमतौर पर, जब समीकरण तरह गैर रेखीय होता है , तो यह कई गुना (यहाँ एक फैला हुआ क्षेत्र) है।x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = $3x+2y-4z=1$$x^2+2y^2+3z^2=7$

उदाहरण के लिए एमएल की " कई गुना परिकल्पना " कहती है "उच्च आयामी डेटा कम आयामी कई गुना उच्च आयामी शोर के साथ अंक हैं"। आप कुछ 2 डी शोर के साथ 1 डी सर्कल के बिंदुओं की कल्पना कर सकते हैं। जबकि अंक बिल्कुल सर्कल में नहीं हैं, वे सांख्यिकीय रूप से समीकरण । सर्कल अंतर्निहित कई गुना है: $x^2+y^2=1$

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@RiaGeorge तस्वीर में यह सतह है जो कई गुना है। क्योंकि आप बिना किसी रुकावट के लिए स्वतंत्र रूप से इसके चारों ओर स्थानांतरित कर सकते हैं और कूद करने की आवश्यकता नहीं है यह निरंतर है बंद किसी भी दो स्थानों के बीच प्राप्त करने के लिए सतह। छिद्रों को आप यह बताने में महत्वपूर्ण हैं कि आप किसी भी दो बिंदुओं के बीच सतह पर सबसे सरल तरीके से कैसे प्राप्त कर सकते हैं, और उन्हें गिनना कई गुना अध्ययन करने में एक महत्वपूर्ण तकनीक है।

— मैथ्यू ड्र्यू

यह बताते हुए कि टोपोलॉजी किस तरह से इस साइट के लिए एक व्यापक प्रश्न होगा, और विषय से थोड़ा हटकर होगा। मैं उस पर जानकारी के लिए गणित स्टैक एक्सचेंज की खोज करूंगा। मैनिफोल्ड्स और टोपोलॉजी पर्यायवाची नहीं हैं: मैनिफोल्ड्स गणितीय ऑब्जेक्ट हैं जिनका अध्ययन टोपोलॉजी की तकनीकों के साथ किया गया है, टोपोलॉजी गणित का एक उप-विषय है।

— मैथ्यू पारा

उत्तर उन सभी मूलभूत बिंदुओं को याद करता है जो इस तरह से कई गुना बनाते हैं, मुझे नहीं मिलता है कि इसमें कितने उत्थान हैं। टोपोलॉजी, चार्ट और चिकनाई का भी उल्लेख नहीं किया गया है और उत्तर मूल रूप से यह धारणा देता है कि कई गुना सतह है, जो यह नहीं है ।

— जूल

तकनीकी बिंदु, समीकरणों की प्रणाली के समाधान सेट को कई गुना नहीं होना चाहिए। यह एक विविधता है, इसलिए यह ज्यादातर कई गुना है, लेकिन इसमें स्व-प्रतिच्छेदन के बिंदु हो सकते हैं जहां कई गुना संपत्ति विफल हो जाती है।

— मैट सैमुअल

आपकी कई गुना परिभाषा में परिमित आयाम की आवश्यकता शामिल है । लेकिन आप ऐसे उदाहरणों को शामिल करते हैं जो उस आवश्यकता को पूरा नहीं करते हैं - जैसे कि रेखाएं, विमान, वक्र और सतह। क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि आपका क्या मतलब है?

— मवेज़र

Answer 2

ए (टोपोलॉजिकल) मैनिफोल्ड एक स्पेस जो है:$M$

(1) "स्थानीय" "समकक्ष" to कुछ ।$\mathbb{R}^n$$n$

"स्थानीय रूप से", "तुल्यता" को समन्वय कार्यों के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है , , जो मिलकर एक "संरचना-संरक्षण" फ़ंक्शन बनाते हैं, , एक चार्ट कहा जाता है ।c i : M → R c : M → R$n$$c_i: M \to \mathbb{R}$$c: M \to \mathbb{R}^n$

(2) के एक सबसेट के रूप में एक "संरचना के संरक्षण" रास्ते में महसूस किया जा सकता कुछ के लिए । (1) (2) एन≥$\mathbb{R}^N$$N \ge n$

ध्यान दें कि यहां "संरचना" को सटीक बनाने के लिए, किसी को टोपोलॉजी ( डिफ ) की बुनियादी धारणाओं को समझने की जरूरत है , जो किसी को "स्थानीय" व्यवहार की सटीक धारणा बनाने की अनुमति देता है, और इस प्रकार "स्थानीय रूप से" ऊपर। जब मैं "समतुल्य" कहता हूं, तो मेरा मतलब समतुल्य सामयिक संरचना ( होमियोमॉर्फिक ) से है, और जब मैं कहता हूं "संरचना-संरक्षण" का अर्थ है तो मैं एक ही बात करता हूं (समतुल्य सामयिक संरचना बनाता है)।

यह भी ध्यान दें कि कई गुना पथरी करने के लिए , एक अतिरिक्त स्थिति की आवश्यकता होती है, जो उपरोक्त दो स्थितियों का पालन नहीं करती है, जो मूल रूप से कुछ ऐसा कहती है जैसे "चार्ट हमें अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए पर्याप्त हैं।" ये कई बार अभ्यास में उपयोग की जाने वाली अभिव्यक्तियाँ हैं। सामान्य टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड्स के विपरीत , पथरी के अलावा वे त्रिकोणासन की भी अनुमति देते हैं , जो आपके जैसे पॉइंट क्लाउड डेटा से जुड़े अनुप्रयोगों में बहुत महत्वपूर्ण है ।

ध्यान दें कि सभी लोग एक (सामयिक) के लिए एक ही परिभाषा का उपयोग नहीं करते हैं। कई लेखक इसे केवल (1) ऊपर की स्थिति को संतुष्ट करने के रूप में परिभाषित करेंगे , जरूरी नहीं कि (2) भी। हालांकि, जो परिभाषा दोनों (1) और (2) को संतुष्ट करती है, वह बेहतर व्यवहार है, इसलिए चिकित्सकों के लिए अधिक उपयोगी है। एक सहज रूप से उम्मीद कर सकता है कि (1) का तात्पर्य (2) है, लेकिन यह वास्तव में नहीं है।

संपादित करें: यदि आप वास्तव में "टोपोलॉजी" के बारे में जानने में रुचि रखते हैं, तो टोपोलॉजी को समझने का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण का यूक्लिडियन टोपोलॉजी है । यह "वास्तविक विश्लेषण" के बारे में किसी भी (अच्छी) परिचयात्मक पुस्तक में गहराई से कवर किया जाएगा ।$\mathbb{R}^n$

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आपके उत्तर के लिए धन्यवाद: क्या आप बता सकते हैं कि एक टोपोलॉजी क्या है जो तकनीकी-तकनीकी शब्द है? क्या शब्द टोपोलॉजी और मैनिफ़ोल्ड का परस्पर विनिमय होता है? क्या आयाम का पूर्णांक संख्या होना आवश्यक है? यह एक वास्तविक संख्या है, तो मुझे लगता है कि संरचना को फ्रैक्टल्स के रूप में जाना जाता है यदि पूरी संरचना प्रत्येक सबपार्टर से बनी होती है तो यह स्व-दोहराता है।

— रिया

@RiaGeorge एक प्राकृतिक संख्या (पूर्णांक ) के लिए खड़ा है , जैसा कि । आंशिक / वास्तविक-मूल्यवान आयामों के लिए अधिक उन्नत सिद्धांत हो सकता है, लेकिन यह अक्सर नहीं आता है। "टोपोलॉजी" और "कई गुना" का अर्थ है दो अलग-अलग चीजें, इसलिए वे विनिमेय शब्द नहीं हैं। एक "कई गुना" में "टोपोलॉजी" है। टोपोलॉजी के अध्ययन के क्षेत्र में "टोपोलॉजी" है, जो तीन नियमों / शर्तों को पूरा करने वाले सेटों का संग्रह है। "टोपोलॉजी" का अध्ययन करने का एक लक्ष्य "स्थानीय" व्यवहार के सुसंगत और प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य तरीके धारणाओं का वर्णन करना है। ≥ 1 $n$$\ge 1$$N$

— Chill2Macht

@RiaGeorge एक "टोपोलॉजी" के लिए स्वयंसिद्ध शब्द विकिपीडिया पृष्ठ पर देखे जा सकते हैं: en.wikipedia.org/wiki/General_topology#A_topology_on_a_set - ध्यान दें कि लिंक मैंने आपको "टोपोलॉजी" की परिभाषा में (समतुल्य) परिभाषा के लिए दिया था। पड़ोस के कुछ से संबंधित है, लेकिन समान नहीं है, मैंने यह दर्शाने के लिए अपना उत्तर संपादित किया है: en.wikipedia.org/wiki/… हालाँकि ध्यान दें कि पड़ोस के संदर्भ में परिभाषा को समझना अधिक कठिन है (मुझे लगता है कि मैं इसे समझ सकता था ठीक है, लेकिन मैं बहुत परेशान नहीं हूँ, क्योंकि मैं आलसी हूँ

— Chill2Macht

वैसे भी यह मेरी व्यक्तिगत पक्षपाती राय है कि आपको टोपोलॉजी की पड़ोस परिभाषा को जानने की आवश्यकता नहीं है - बस यह जान लें कि सरल परिभाषा आपको पड़ोस की परिभाषा की सभी समान शक्ति प्रदान करती है, क्योंकि वे स्थानीय व्यवहार का कड़ाई से वर्णन करते हैं। समकक्ष)। वैसे भी, यदि आप भग्न में रुचि रखते हैं, तो शायद आपको ये विकिपीडिया पृष्ठ दिलचस्प लगेंगे - मैं आपकी अधिक सहायता नहीं कर सकता हालांकि, क्योंकि मैं सिद्धांत से गहराई से परिचित नहीं हूं और अधिकांश को नहीं जानता या समझता नहीं हूं परिभाषाएँ - मैंने केवल कुछ के बारे में सुना है

— Chill2Macht

यह अब तक का एकमात्र उत्तर है जो स्थानीय डेटा से वैश्विक वस्तु को इकट्ठा करने के आधुनिक गणितीय विचार पर ध्यान देता है। दुर्भाग्य से, यह "गैर-तकनीकी" खाते के लिए आवश्यक सादगी और स्पष्टता के स्तर तक नहीं बनाता है।

— whuber

Answer 3

इस संदर्भ में, शब्द कई गुना सटीक है, लेकिन अनावश्यक रूप से हाईफाल्यूटिन है। तकनीकी रूप से, कई गुना अधिक स्थान (एक टोपोलॉजी के साथ बिंदुओं का सेट) है जो पर्याप्त रूप से चिकनी और निरंतर है (एक तरह से, कुछ प्रयास के साथ, गणितीय रूप से अच्छी तरह से परिभाषित किया जा सकता है)।

अपने मूल कारकों के सभी संभावित मूल्यों के स्थान की कल्पना करें। एक आयामी कमी तकनीक के बाद, उस स्थान के सभी बिंदु प्राप्य नहीं हैं। इसके बजाय, उस स्थान के अंदर कुछ एम्बेडेड उप-स्थान पर केवल अंक प्राप्य होंगे। वह एम्बेडेड उप-स्थान कई गुना की गणितीय परिभाषा को पूरा करने के लिए होता है। पीसीए जैसी एक रैखिक आयामी कमी तकनीक के लिए, वह उप-स्थान एक रैखिक उप-स्थान (जैसे एक हाइपर-प्लेन) है, जो एक अपेक्षाकृत तुच्छ कई गुना है। लेकिन गैर-रैखिक आयामी कमी तकनीक के लिए, वह उप-स्थान अधिक जटिल हो सकता है (जैसे एक घुमावदार हाइपर-सतह)। डेटा विश्लेषण उद्देश्यों के लिए, यह समझना कि ये उप-रिक्तियाँ हैं, किसी भी अनुमान की तुलना में बहुत अधिक महत्वपूर्ण हैं जिसे आप यह जानकर आकर्षित करेंगे कि वे कई गुना की परिभाषा को पूरा करते हैं।

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"हाईफाल्टिन" ... आज एक नया शब्द सीखा!

— मेहरदाद

गणितीय रूप से, कई गुना स्थानीय रूप से निरंतर टोपोलॉजिकल स्पेस है। मुझे सादी भाषा में चीजों को समझाने की कोशिश करने का विचार पसंद है, लेकिन यह लक्षण वर्णन वास्तव में काम नहीं करता है। सबसे पहले, निरंतरता हमेशा एक स्थानीय संपत्ति होती है, इसलिए मुझे यकीन नहीं है कि आप स्थानीय रूप से निरंतर का क्या मतलब है। इसके अलावा, आपकी परिभाषा बहुत सी चीजों को खारिज करने में विफल होती है, जो कि कई गुना नहीं हैं, जैसे कि तर्कसंगत संख्या रेखा, या यूक्लिडियन विमान में दो इंटरसेक्टिंग लाइनों का संघ।

— बेन क्रुएल

मैं बेन से सहमत हूं, तकनीकी रूप से यह "स्थानीय रूप से यूक्लिडियन" है। मुझे यकीन नहीं है कि सरल अंग्रेजी में उबालने का एक अच्छा तरीका है।

— मैथ्यू ड्र्यू

मुझे ऊपर की दो टिप्पणियों से भी दृढ़ता से सहमत होना होगा। वास्तव में, मैंने जो उत्तर नीचे लिखा था, वह मूल रूप से इस उत्तर के लिए एक स्पष्ट टिप्पणी थी, जो बहुत लंबा हो गया। "निरंतर" टॉपोलॉजिकल स्पेस की कोई सटीक धारणा नहीं है (यहां देखें: math.stackexchange.com/questions/1822769/… )। गैर-मौजूद अवधारणाओं के संदर्भ में कई गुना परिभाषित करना, मेरी राय में, लंबे समय में स्पष्ट करने की तुलना में भ्रमित होने की अधिक संभावना है। बहुत कम से कम, मैं पहले वाक्य में "गणितीय" शब्द को किसी और चीज़ के साथ बदलने का सुझाव दूंगा।

— चिल्ल

मैं इस टिप्पणी का उपयोग एक छोटे से सवाल पूछने के अवसर के रूप में करूँगा ... मुझे (लगता है) मुझे कई गुना विचार मिला, लेकिन "स्थानीय रूप से" इसकी आवश्यकता क्यों है? क्या एक स्थान "स्थानीय" निरंतर नहीं है ... एक पूरे के रूप में निरंतर है?

— पॉल