क्यों लैटिन वर्गों में पंक्तियों, उपचारों और स्तंभों को ओर्थोगोनल कहा जाता है

Question

मैंने हमेशा ज्यामिति के क्षेत्र में "ऑर्थोगोनल" सुना है (कृपया ध्यान दें कि मैं एक देशी अंग्रेजी वक्ता नहीं हूं)। मैं लैटिन वर्गों के लिए निम्नलिखित नहीं समझता (एक पाठ पुस्तक से एक उद्धरण):

प्रत्येक उपचार (ABCD) प्रत्येक पंक्ति में एक बार दिखाई देता है। इसलिए उपचार और पंक्तियाँ ओर्थोगोनल हैं। ... पंक्तियाँ और स्तंभ उपचार के लिए रूढ़िवादी हैं।

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

यहाँ पर रूढ़िवादिता का क्या अर्थ है?

Comments

संभावित डुप्लिकेट: आंकड़े.stackexchange.com/questions/228797/…

— Glen_b -Reinstate Monica

यह प्रश्न विशेष रूप से लैटिन वर्गों से संबंधित है, "डुप्लिकेट" सामान्य रूप से ऑर्थोगोनलिटी के बारे में पूछता है। मुझे लगता है कि upvotes और गुम जवाब से संकेत मिलता है कि आपके द्वारा संदर्भित किसी भी व्यक्ति द्वारा उत्तर नहीं दिया गया है।

— जॉन वी

में जवाब देखें stats.stackexchange.com/questions/286675/...

— एफ Tusell

Answer 1

इसका मतलब क्या है, या, लैटिन वर्ग क्या करता है

स्तंभों की ऑर्थोगोनलिटी $i$ और पंक्तियाँ $j$इसका मतलब है कि कुछ उपचार के लिए उम्मीद के मूल्यों से उनका प्रभाव हटाया जा रहा है$k$ (ऐ बी सी डी)।

सूत्र देखें ( क्रॉस प्रभावों के बिना मॉडल के लिए )

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

जिसका एक निश्चित स्तर के लिए उम्मीद है $k$ (ए, बी, सी या डी) निम्नलिखित बन जाता है

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

बशर्ते कि उपचार पंक्तियों और स्तंभों के साथ सहसंबंधी (ऑर्थोगोनल) नहीं है।

ए (और इसी तरह बी, सी और डी के लिए) के उपचार को प्रत्येक पंक्ति में एक ही बार परीक्षण किया जाता है और इसलिए आप उपचार ए की अपेक्षा के मूल्य पर पंक्ति के प्रभाव को समाप्त कर सकते हैं (औसत निकाल सकते हैं)।

ओर्थोगोनालिटी

मुझे यकीन नहीं है कि यह व्युत्पत्ति विज्ञान की उत्पत्ति है, लेकिन यह वही है जो मैं रूढ़िवाद के साथ कल्पना करता हूं

उदाहरण में आपके पास निम्नलिखित परीक्षण (स्तंभ, पंक्ति, उपचार) हैं:

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

यदि आप इसे एक मैट्रिक्स के रूप में लेते हैं $M$ और गणना करें $M^TM$ फिर आप गैर-विकर्ण तत्वों में उत्पादों की एक राशि प्राप्त करते हैं जिसमें प्रत्येक शब्द समान संख्या में होता है।

उदाहरण के लिए पहले और तीसरे स्तंभ के उत्पाद $(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

और यह गुण एक मैट्रिक्स में स्तंभों की orthogonality के साथ जुड़ा हो सकता है