सहसंबंधित बर्नौली परीक्षण, बहुभिन्नरूपी बर्नौली वितरण?

मैं एक शोध प्रश्न को सरल कर रहा हूं जो मेरे पास काम पर है। कल्पना कीजिए कि मेरे पास 5 सिक्के हैं और चलो सिर को एक सफलता कहते हैं। ये बहुत सफल होने की संभावना के साथ पक्षपाती सिक्के हैं p = 0.1। अब, यदि सिक्के स्वतंत्र थे, तो कम से कम 1 सिर या अधिक की संभावना प्राप्त करना बहुत सरल है, । मेरे परिदृश्य में, मेरे बर्नौली परीक्षण (सिक्का tosses) स्वतंत्र नहीं हैं। मेरे पास केवल एक ही जानकारी है जो सफलताओं की संभावना है (प्रत्येक एक पी = 1 है) और बाइनरी चर के बीच सैद्धांतिक पियर्सन सहसंबंध। $1-(1-1/10)^5$

क्या इस जानकारी के साथ केवल एक सफलता या अधिक की संभावना की गणना करने का कोई तरीका है? मैं एक सिमुलेशन-आधारित दृष्टिकोण से बचने की कोशिश कर रहा हूं क्योंकि इन सैद्धांतिक परिणामों का उपयोग सिमुलेशन अध्ययन की सटीकता को निर्देशित करने के लिए किया जाएगा। मैं मल्टीवेरेट बर्नौली वितरण में देख रहा हूं, लेकिन मुझे नहीं लगता कि मैं इसे केवल सहसंबंधों और सफलता की सीमांत संभावनाओं के साथ पूरी तरह से निर्दिष्ट कर सकता हूं। मेरे एक मित्र ने बर्नौली मार्जिन (आर पैकेज का उपयोग करके copula) के साथ एक गाऊसी कोपला बनाने की सिफारिश की और फिर pMvdc()एक बड़े नमूने पर फ़ंक्शन का उपयोग करके मैं जो संभावना चाहता हूं उसे प्राप्त करने के लिए, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि इसके साथ कैसे जाना है।

multivariate-analysis bernoulli-distribution copula

— एस। पुंकी
स्रोत

: बहुभिन्नरूपी Bernoulli वितरण यहाँ में वर्णित किया गया arxiv.org/abs/1206.1874

— टिम

क्या परीक्षणों के बीच एक अस्थायी तत्व है या वे सभी समानांतर में हैं? यदि पूर्व में, आप एक सरल अनुमान लगा सकते हैं जिससे केवल पर निर्भर है , जहां आपको अपने मार्कोव मॉडल का आदेश देता है?

t r i a l_{i}

$trial_i$

t r i a l_{i - n}

$trial_{i-n}$

n

$n$

— झब्बार

जवाबों:

जब भी आपके पास तीन या अधिक सिक्के हों, तो यह असंभव है।

दो सिक्कों का मामला

आइए पहले देखें कि यह दो सिक्कों के लिए क्यों काम करता है क्योंकि यह अधिक सिक्कों के मामले में क्या टूटता है, इसके बारे में कुछ अंतर्ज्ञान प्रदान करता है।

बता दें कि और ने बर्नौली को दो मामलों के अनुरूप चर वितरित किए, , । सबसे पहले, याद रखें कि और का सह-संबंध है $X$ $Y$ $X \sim \mathrm{Ber}(p)$ $Y \sim \mathrm{Ber}(q)$ $X$ $Y$

c o r r (X, Y) = \frac{E [X Y] - E [X] E [Y]}{\sqrt{V a r (X) V a r (Y)}},

$\mathrm{corr}(X, Y) = \frac{E[XY] - E[X]E[Y]}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}},$

और चूँकि आप सीमांत को जानते हैं, आप , , , और को जानते हैं, इसलिए सहसंबंध को जानकर, आप भी जानते हैं। । अब, यदि और केवल अगर और , तो $E[X]$ $E[Y]$ $\mathrm{Var}(X)$ $\mathrm{Var}(Y)$ $E[XY]$ $XY = 1$ $X = 1$ $Y = 1$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1).$

मार्जिन को जानकर, आप , और जानते हैं । चूँकि हमने पाया कि आप जानते हैं, इसका मतलब है कि आप और भी जानते हैं, लेकिन अब आप ' फिर से किया, संभावना के रूप में आप के लिए देख रहे हैं $p = P(X = 1, Y = 0) + P(X = 1, Y = 1)$ $q = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 1)$ $P(X = 1, Y = 0)$ $P(X = 0, Y = 0)$

P (X = 1, Y = 0) + P (X = 0, Y = 1) + P (X = 1, Y = 1) .

$P(X = 1, Y = 0) + P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1).$

अब, मैं व्यक्तिगत रूप से एक तस्वीर के साथ देखने के लिए यह सब आसान है। आज्ञा देना । तब हम विभिन्न संभावनाओं को एक वर्ग बनाते हुए देख सकते हैं: $P_{ij} = P(X = i, Y = j)$

यहां, हमने देखा कि सहसंबंधों को जानने का मतलब है कि आप सकते हैं , लाल को चिह्नित कर सकते हैं , और यह कि मार्जिन को जानते हुए, आप प्रत्येक किनारे के लिए राशि को जानते हैं (जिनमें से एक नीले आयत के साथ इंगित किया गया है)। $P_{11}$

तीन सिक्कों का मामला

यह तीन सिक्कों के लिए आसानी से नहीं जाएगा; सहज रूप से यह देखना मुश्किल नहीं है कि क्यों: मार्जिन और सहसंबंध को जानकर, आप कुल मापदंडों को जानते हैं , लेकिन संयुक्त वितरण में परिणाम हैं, लेकिन उनमें से के लिए संभावनाओं को जानकर , आप पिछले एक को समझ सकते हैं; अब, , इसलिए यह उचित प्रतीत होता है कि कोई दो अलग-अलग संयुक्त वितरणों को पका सकता है जिनके मार्जिन और सहसंबंध एक समान हैं, और जब तक आप जिस व्यक्ति की तलाश कर रहे हैं वह भिन्न होगा। $6 = 3 + 3$ $2^3 = 8$ $7$ $7 > 6$

चलो , , और तीन चर हो, और $X$ $Y$ $Z$

P_{i j k} = P (X = i, Y = j, Z = k) .

$P_{ijk} = P(X = i, Y = j, Z = k).$

इस स्थिति में, ऊपर से चित्र निम्न बनता है:

आयामों को एक से टकराया गया है: लाल शीर्ष कई रंगीन किनारों बन गया है, और नीले आयत द्वारा कवर किया गया किनारा एक पूरे चेहरे बन गया है। यहां, नीला विमान इंगित करता है कि सीमांत को जानकर, आप संभावनाओं के योग को जानते हैं; चित्र में एक के लिए,

P (X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},

$P(X = 0) = P_{000} + P_{010} + P_{001} + P_{011},$

और इसी तरह घन में अन्य सभी चेहरों के लिए। रंगीन किनारों से संकेत मिलता है कि सहसंबंधों को जानने से आपको किनारे से जुड़ी दो संभावनाओं का योग पता चलता है। उदाहरण के लिए, जानकर, आप (बिल्कुल ऊपर), और $\mathrm{corr}(X, Y)$ $E[XY]$

E [X Y] = P (X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111} .

$E[XY] = P(X = 1, Y = 1) = P_{110} + P_{111}.$

तो, यह संभव संयुक्त वितरण पर कुछ सीमाएं लगाता है, लेकिन अब हमने क्यूब के कोने पर संख्याओं को सम्मिलित करने के व्यायाम को कम कर दिया है। आगे की हलचल के बिना, आइए हम दो संयुक्त वितरण प्रदान करें जिनके मार्जिन और सहसंबंध समान हैं:

यहां, संभावना वितरण प्राप्त करने के लिए सभी संख्याओं को से विभाजित करें । यह देखने के लिए कि ये कार्य और समान मार्जिन / सहसंबंध हैं, बस ध्यान दें कि प्रत्येक चेहरे पर संभावनाओं का योग (इसका अर्थ है कि चर ) हैं, और इसके लिए योग हैं रंगीन किनारों पर स्थितियां दोनों मामलों में सहमत हैं (इस विशेष मामले में, सभी सहसंबंध वास्तव में समान हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से मामला नहीं है)। $100$ $1/2$ $\mathrm{Ber}(1/2)$

अंत में, कम से कम एक सिर, और होने की संभावनाएं , दो मामलों में भिन्न हैं, जो कि हम साबित करना चाहते थे। $1 - P_{000}$ $1 - P_{000}'$

मेरे लिए, इन उदाहरणों के साथ आने से क्यूब पर संख्याओं का एक उदाहरण उत्पन्न करने के लिए नीचे आया, और फिर बस को संशोधित किया और परिवर्तनों को प्रचारित किया। $P_{111}$

संपादित करें: यह वह बिंदु है जहां मुझे एहसास हुआ कि आप वास्तव में निश्चित मार्जिन के साथ काम कर रहे थे, और आप जानते हैं कि प्रत्येक चर , लेकिन अगर ऊपर की तस्वीर समझ में आती है, तो यह संभव है जब तक आपके पास वांछित मार्जिन न हो। $\mathrm{Ber}(1/10)$

चार या अधिक सिक्के

अंत में, जब हमारे पास तीन से अधिक सिक्के हैं, तो आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि हम उन उदाहरणों को पका सकते हैं जो विफल हो जाते हैं, क्योंकि अब हमारे पास संयुक्त वितरण का वर्णन करने के लिए आवश्यक मापदंडों की संख्या और मार्जिन द्वारा हमें प्रदान की गई बड़ी विसंगति है। सह-संबंध।

संक्षेप में, तीन से अधिक सिक्कों की किसी भी संख्या के लिए, आप केवल उन उदाहरणों पर विचार कर सकते हैं, जिनके पहले तीन सिक्के ऊपर दिए गए दो उदाहरणों की तरह व्यवहार करते हैं और जिसके लिए अंतिम दो सिक्कों के परिणाम अन्य सभी सिक्कों से स्वतंत्र हैं।

— fuglede
स्रोत

गिनित परिणामों के लिए सह-संबंधित बर्नौली परीक्षण एक बीटा-द्विपद वितरण का नेतृत्व करते हैं। एक निर्दिष्ट सहसंबंध मूल्य देने के लिए इस वितरण को पैरामीटर करना संभव हो सकता है, और फिर आप जिस संभावना को चाहते हैं उसकी गणना करें।

— बेन - बहाल मोनिका
स्रोत

क्या एक बीटा-द्विपद केवल एक द्विपद नहीं है जिसकी सफलता संभावना पैरामीटर बीटा के बाद एक यादृच्छिक चर है? यह ओपी की समस्या पर कैसे लागू होता है?

— AG

हाँ, वह वितरण का एक लक्षण वर्णन है। यह भी सहसंबद्ध बर्नौली परीक्षणों के समाधानों में से एक है (उदाहरण के लिए देखें, हिसाकाडो एट अल 2006 )

— बेन - मोनिका

इसलिए यह! Upvoted।

— AG

संबंधित: आंकड़े.stackexchange.com/questions/363129

— अमीबा का कहना है कि मोनिका