बीटा वितरण कहाँ?

जैसा कि मुझे यकीन है कि यहाँ हर कोई पहले से ही जानता है, बीटा वितरण का PDF द्वारा दिया गया है $X \sim B(a,b)$

$f(x) = \frac{1}{B(a,b)}x^{a-1}(1-x)^{b-1}$

मैं इस सूत्र की उत्पत्ति के स्पष्टीकरण के लिए सभी जगह पर शिकार कर रहा हूं, लेकिन मैं इसे नहीं पा सकता हूं। बीटा डिस्ट्रीब्यूशन पर मैंने जो भी लेख पाया है, वह इस सूत्र को देता है, इसके कुछ आकृतियों का वर्णन करता है, फिर सीधे इसके क्षणों और वहां से चर्चा करने के लिए जाता हूं।

मैं गणितीय सूत्रों का उपयोग करना पसंद नहीं करता, जिन्हें मैं समझा और समझा नहीं सकता। अन्य वितरणों (जैसे गामा या द्विपद) के लिए एक स्पष्ट व्युत्पत्ति है जिसे मैं सीख सकता हूं और उपयोग कर सकता हूं। लेकिन मुझे बीटा वितरण के लिए ऐसा कुछ नहीं मिला।

तो मेरा प्रश्न यह है कि इस सूत्र की उत्पत्ति क्या है? मूल रूप से जो भी संदर्भ में विकसित किया गया था, उसमें पहले सिद्धांतों से इसे कैसे प्राप्त किया जा सकता है?

[स्पष्ट करने के लिए, मैं बायेसियन आंकड़ों में बीटा वितरण का उपयोग करने के तरीके के बारे में नहीं पूछ रहा हूं, या इसका सहज रूप से क्या मतलब है (मैंने बेसबॉल उदाहरण पढ़ा है)। मैं सिर्फ यह जानना चाहता हूं कि पीडीएफ कैसे प्राप्त करें। एक पिछला प्रश्न था जो कुछ इसी तरह का प्रश्न करता था, लेकिन इसे चिह्नित किया गया था (मैं गलत तरीके से सोचता हूं) एक और प्रश्न के एक डुप्लिकेट के रूप में जो इस मुद्दे को संबोधित नहीं करता था, इसलिए मुझे अब तक यहां कोई मदद नहीं मिली है।]

EDIT 2017-05-06: प्रश्नों के लिए सभी को धन्यवाद। मुझे लगता है कि मेरे द्वारा दिए गए जवाबों में से एक से एक अच्छा स्पष्टीकरण मुझे मिलता है जब मैंने अपने कुछ पाठ्यक्रम प्रशिक्षकों से यह पूछा:

"मुझे लगता है कि लोग sqrt (n) द्वारा विभाजित n चीजों की राशि की सीमा के रूप में सामान्य घनत्व प्राप्त कर सकते हैं, और आप निरंतर दर पर होने वाली घटनाओं के विचार से पॉइसन घनत्व को प्राप्त कर सकते हैं। इसी तरह, व्युत्पन्न करने के लिए। बीटा घनत्व, आपको इस बात का अंदाजा होना चाहिए कि कुछ ऐसा है जो घनत्व से स्वतंत्र रूप से बीटा वितरण करता है, और तार्किक रूप से घनत्व से पहले। "

तो टिप्पणियों में "अब इनिटियो" विचार संभवतः वह है जो मैं देख रहा हूं। मैं गणितज्ञ नहीं हूं, लेकिन मुझे गणित का उपयोग करने में सबसे अधिक सहजता महसूस होती है जिसे मैं प्राप्त कर सकता हूं। यदि मूल मुझे संभालने के लिए बहुत उन्नत हैं, तो ऐसा हो, लेकिन अगर नहीं तो मैं उन्हें समझना चाहूंगा।

— विल ब्रैडशॉ
स्रोत

क्या से व्युत्पन्न? यदि द्विपद-संयुग्म-पूर्व दृष्टिकोण स्वीकार्य नहीं है, तो कई विकल्प यहां हैं (जैसे एक समान यादृच्छिक चर के आदेश आँकड़े, गामा चर के अनुपात)।

— जियोमैट 22

नोट: इस वितरण पर अविश्वसनीय विकिपीडिया पृष्ठ में बीटा वितरण का पूरा इतिहास दिया गया है , जिसमें हर संभव विवरण मौजूद है!

— शीआन

पिछले प्रश्न का डुप्लिकेट के रूप में चिह्नित किया गया था अन्य के बाद ओपी स्पष्ट किया है कि वे क्या एक टिप्पणी में के बाद किया गया। whuber ने @ Geomatt22 के रूप में यहाँ एक ही सवाल पूछा: " व्युत्पत्ति का अर्थ है किसी चीज़ के लिए एक तार्किक संबंध जिसे किसी चीज़ से स्थापित किया जाना है। आप क्या ग्रहण करना चाहते हैं ?"

— स्कॉर्टची - मोनिका

@ अक्षल लेकिन फिर सवाल बहुत व्यापक है - यह सभी तरीकों से प्राप्त किया जा सकता है; यदि आप सही हैं, तो मैं इसे बहुत व्यापक बना दूंगा, जब तक कि प्रश्न नीचे संकुचित न हो जाए जब तक कि संभावित उत्तरों के हड़पने के अलावा कुछ और न हो जाए

— Glen_b -Reinstate Monica

थोड़ा ऐतिहासिक संदर्भ की कुछ संक्षिप्त चर्चा यहाँ है (कम से कम अधूरे बीटा फ़ंक्शन के संबंध के संदर्भ में)। यह गामा वितरण के लिए कनेक्शन है, और कई, कई अन्य वितरण के अलावा और कई अलग अलग तरीकों से काफी उचित रूप से उठता है; जैसा कि शीआन बताते हैं कि पियर्सन प्रणाली में इसे ऐतिहासिक उत्पत्ति भी मिली है । आप यहाँ किस तरह का उत्तर चाह रहे हैं? क्या दिया गया है / क्या होना चाहिए?

— Glen_b -Reinstate मोनिका

जवाबों:

पूर्व भौतिक विज्ञानी के रूप में मैं देख सकता हूं कि यह कैसे व्युत्पन्न हो सकता है। इस तरह से भौतिक विज्ञानी आगे बढ़ते हैं:

जब वे बीटा फ़ंक्शन : जैसे एक सकारात्मक फ़ंक्शन के एक परिमित अभिन्न का सामना करते हैं, तो वे सहज ज्ञान को परिभाषित नहीं करेंगे घनत्व: जहां

B (x, y) = \int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t

$B(x,y) = \int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt$

f (s | x, y) = \frac{s^{x - 1} (1 - s)^{y - 1}}{\int_{0}^{1} t^{x - 1} (1 - t)^{y - 1} d t} = \frac{s^{x - 1} (1 - s)^{y - 1}}{B (x, y)},

$f(s|x,y)=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{\int_0^1t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt}=\frac{s^{x-1}(1-s)^{y-1}}{B(x,y)},$

0 < s < 1

$0<s<1$

वे हर समय हर तरह के अभिन्न से ऐसा करते हैं कि यह बिना सोचे समझे भी हो जाता है। वे इस प्रक्रिया को "सामान्यीकरण" या इसी तरह के नामों से बुलाते हैं। ध्यान दें कि परिभाषा द्वारा कैसे तुच्छता से घनत्व में वे सभी गुण होते हैं जो आप चाहते हैं कि यह हमेशा सकारात्मक रहे और एक को जोड़े।

घनत्व जो मैंने ऊपर दिया था वह बीटा वितरण का है। $f(t)$

अपडेट करें

@ व्हीबर ने पूछा कि बीटा वितरण के बारे में ऐसा क्या खास है जबकि उपरोक्त तर्क को अनंत संख्या में उपयुक्त इंटीग्रल्स पर लागू किया जा सकता है (जैसा कि मैंने अपने उत्तर में उल्लेख किया है)?

विशेष भाग द्विपद वितरण से आता है । मैं अपने बीटा को मेरे बीटा के समान संकेतन का उपयोग करके लिखूंगा, मापदंडों और चर के लिए सामान्य संकेतन नहीं :

f^{'} (x, y | s) = (\binom{y + x}{x}) s^{x} (1 - s)^{y}

$f'(x,y|s) = \binom {y+x} x s^x(1-s)^{y}$

यहाँ, - सफलताओं और असफलताओं की संख्या, और - सफलता की संभावना। आप देख सकते हैं कि यह बीटा वितरण में अंश के समान कैसे है। वास्तव में, यदि आप द्विपद वितरण के लिए पहले देखते हैं, तो यह बीटा वितरण होगा। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि बीटा का डोमेन 0 से 1 है, और यही आप बायेस प्रमेय में करते हैं: पैरामीटर पर एकीकृत , जो इस मामले में सफलता की संभावना है जैसा कि नीचे दिखाया गया है: यहाँ - सफलता की संभाव्यता का घनत्व (घनत्व) दिया गया बीटा वितरण की पूर्व सेटिंग, और $x,y$ $s$ $s$

\hat{f} (x | X) = \frac{f^{'} (X | s) f (s)}{\int_{0}^{1} f^{'} (X | s) f (s) d s},

$\hat f(x|X)=\frac{f'(X|s)f(s)}{\int_0^1 f'(X|s)f(s)ds},$

f (s)

$f(s)$

f^{'} (X | s)

$f'(X|s)$ - इस डेटा सेट (यानी मनाया सफलता और असफलताओं) दिया एक संभावना के घनत्व ।

s

$s$

— Aksakal
स्रोत

@ शीआन ओपी को इतिहास में कोई दिलचस्पी नहीं है।

— अक्कल

"इस सूत्र की उत्पत्ति का स्पष्टीकरण ... जो भी संदर्भ में इसे मूल रूप से विकसित किया गया था" मेरे लिए इतिहास की तरह लगता है :-)।

— whuber

मेरा मानना है कि एक ही समय में इतिहास और पहले सिद्धांतों दोनों में रुचि हो सकती है। :-) यद्यपि आपका उत्तर गणितीय रूप से सही है, यह दुर्भाग्य से बहुत सामान्य है: परिमित अभिन्न के साथ किसी भी गैर-नकारात्मक कार्य का घनत्व बना सकता है। तब, वितरण के इस विशेष परिवार के बारे में क्या खास है? जैसे, आपका दृष्टिकोण किसी भी दृष्टिकोण को संतुष्ट नहीं करता है।

— whuber

@IllBradshaw, हाँ। आम तौर पर, हम द्विपद वितरण को असफलताओं की संख्या के एक समारोह के रूप में देखते हैं (या सफलताओं) को संभावना और मापदंडों के रूप में परीक्षणों की संख्या को देखते हुए। इस तरह यह एक असतत वितरण है । हालाँकि, यदि आप इसे संभावनाओं के एक कार्य के रूप में देखते हैं, जिसमें मापदंडों के रूप में सफलताओं और विफलताओं की संख्या दी गई है, तो यह बीटा वितरण हो जाता है जब आप इसे फिर से स्केल करते हैं, एक निरंतर वितरण, btw।

— Aksakal

बीटा वितरण पर विकिपीडिया लेख कार्ल पियर्सन, के निशान यह बिल्कुल के रूप में द्वारा @ शीआन का सुझाव दिया। स्टिगलर, द हिस्ट्री ऑफ स्टैटिस्टिक्स: द मेजरमेंट ऑफ अनसोसेटी बिफोर 1900 से पहले , पियरसन की व्युत्पत्ति का एक संक्षिप्त विवरण देता है जिसमें आधुनिक संकेतन का उपयोग किया गया है।

— whuber

थॉमस बेयस (१ Bay६३) ने बीटा डिस्ट्रीब्यूशन [इस नाम का उपयोग किए बिना] के बाद के वितरण के पहले उदाहरण के रूप में लिया , लियोनहार्ड यूलर (१ pred६६ ) बीटा इंटीग्रल पर काम करते हुए कुछ वर्षों से ग्लेन_ब द्वारा इंगित किया गया है , लेकिन अभिन्न अंग में भी दिखाई देता है यूलर (1729 या 1738) [ओपेरा ओमनिया, I14, 1 {24] तथ्यात्मक कार्य को सामान्य करने के तरीके के रूप में जिसके कारण बीटा निरंतर को सामान्य करने को यूलर फ़ंक्शन भी कहा जाता है । डेविस $-$ $B(a,b)$ $-$ वालिस (1616-1703), न्यूटन (1642-1726) और स्टर्लिंग (1692-1770) में अभिन्न के विशेष मामलों से निपटने का उल्लेख है। कार्ल पियर्सन (1895) ने सबसे पहले वितरण के इस परिवार को पियर्सन टाइप I के रूप में सूचीबद्ध किया ।

यद्यपि यह ऐतिहासिक रूप से उस क्रम में प्रकट नहीं हुआ था, बीटा वितरण की एक सहज प्रविष्टि फिशर के वितरण के माध्यम से है, जो एक अनुपात के वितरण से मेल खाती है। जहां मैंने जानबूझकर विचरण आकलनकर्ताओं के लिए सामान्य उपयोग किया है क्योंकि यह इस प्रकार वितरण है दिखाई दिया और दो भिन्नताओं की समानता के परीक्षण के लिए प्रेरित किया गया। इसके बाद जबकि, इसके विपरीत, अगर , तो का घनत्व $F(p,q)$

ϱ = {\hat{σ}}_{1}^{2} / {\hat{σ}}_{2}^{2} p {\hat{σ}}_{1}^{2} \sim χ_{p}^{2} q {\hat{σ}}_{1}^{2} \sim χ_{q}^{2}

$\varrho=\hat\sigma^2_1\big/\hat\sigma_2^2\qquad p\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_p\quad q\hat\sigma_1^2\sim\chi^2_q$

\frac{p ϱ}{q + p ϱ} \sim B (p / 2, q / 2)

$\frac{p\varrho}{q+p\varrho}\sim B(p/2,q/2)$

ω \sim B (a, b)

$\omega\sim B(a,b)$

\frac{ω / a}{(1 - ω) / b} \sim F (2 a, 2 b)

$\dfrac{\omega/a}{(1-\omega)/b}\sim F(2a,2b)$

B (a, b)

$B(a,b)$ वितरण इस प्रकार परिवर्तनशील चरण है: वितरण, के घनत्व से शुरू और चर के परिवर्तन पर विचार करते हुए जो को परिवर्तन के घनत्व की ओर जाता है [जहां सभी सामान्यीकरण स्थिरांक घनत्व के लिए एक को एकीकृत करने के लिए लगाकर प्राप्त किए जाते हैं।

F (p, q)

$F(p,q)$

f_{p, q} (x) \propto {p x / q}^{p / 2 - 1} (1 + p x / q)^{- (p + q) / 2}

$f_{p,q}(x) \propto \{px/q\}^{p/2-1}(1+px/q)^{-(p+q)/2}$

y = \frac{{p x / q}}{{1 + p x / q}} y \in (0, 1)

$y=\frac{\{px/q\}}{\{1+px/q\}}\quad y\in(0,1)$

x = \frac{q y}{p (1 - y)}

$x=\frac{qy}{p(1-y)}$

\frac{d x}{d y} = \frac{q}{p (1 - y)} + \frac{q y}{p (1 - y)^{2}} = \frac{p}{q (1 - y)^{2}}

$\frac{\text{d}x}{\text{d}y}=\frac{q}{p(1-y)}+\frac{qy}{p(1-y)^2}=\frac{p}{q(1-y)^2}$

g (y) \propto y^{p / 2 - 1} (1 - y)^{q / 2 + 1} (1 - y)^{- 2} = y^{p / 2 - 1} (1 - y)^{q / 2 + 1}

$g(y)\propto y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}(1-y)^{-2}=y^{p/2-1}(1-y)^{q/2+1}$

— शीआन
स्रोत

+1। यह ध्यान देने योग्य हो सकता है कि के। पियर्सन ने केवल बीटा कैटलॉग को "कैटलॉग" नहीं किया था: उन्होंने उन्हें एक समीकरण के परिवार के समाधान के माध्यम से व्युत्पन्न किया था, जो उन्होंने सामान्य वितरण के लिए द्विपद और अंतर समीकरणों के बीच अंतर समीकरणों के बीच मनाया था। हाइपरोमेट्रिक वितरण के लिए द्विपद अंतर समीकरण को सामान्य करने से अंतर समीकरण का एक सामान्यीकरण उत्पन्न हुआ, जिसके समाधान में "टाइप I" और "टाइप II" बीटा वितरण शामिल थे। यह ठीक उसी तरह का है जैसे कि ओइटीओ व्युत्पन्न ओपी लगता है।

— whuber

मुझे लगता है कि मैं इस जवाब का अध्ययन करके बहुत कुछ सीख सकता हूं। यह मेरे लिए इस समय बहुत उन्नत है, लेकिन जब मेरे पास समय होगा मैं वापस आऊंगा और आपके द्वारा उल्लिखित विषयों पर शोध करूंगा, तो इसे समझने के लिए फिर से प्रयास करें। बहुत धन्यवाद। :)

— ब्रैडशॉ होगा

सबसे पहले, मैं अपने सिर में अवधारणाओं के गणितीय रूप से सटीक विवरणों में अच्छा नहीं हूं, लेकिन मैं एक सरल उदाहरण का उपयोग करके अपना सर्वश्रेष्ठ प्रयास करूंगा:

कल्पना कीजिए कि आपके पास एक धनुष, कई तीर और एक लक्ष्य है। चलिए आगे बताते हैं कि आपकी हिट रेट (टारगेट हिट करने के लिए) सटीक रूप से टारगेट के बीच की दूरी का एक फंक्शन है और निम्न फॉर्म जहां x केंद्र की दूरी है लक्ष्य का ( )। लिए यह एक गाऊसी का पहला ऑर्डर सन्निकटन होगा। इसका मतलब यह होगा कि आप सबसे अधिक बार बैल-आंख मारते हैं। इसी तरह, यह किसी भी घंटी के आकार का वक्र है, उदाहरण के लिए, ब्राउनियन कणों के प्रसार के परिणामस्वरूप। $\lambda$

\begin{array}{rcl} λ = g (x) = λ_{m a x} - (q | x - x_{0} |)^{\frac{1}{q}}, q > 0, 0 \leq λ \leq λ_{m a x} \end{array}

$\begin{eqnarray} \lambda=g(x)=\lambda_{max}-(q|x-x_0|)^\frac{1}{q},~q > 0,~0 \leq \lambda \leq \lambda_{max} \end{eqnarray}$

x_{0}

$x_0$

q = 1 / 2

$q=1/2$

अब, चलिए यह मान लेते हैं कि कोई वास्तव में बहादुर / बेवकूफ आपको चकमा देने की कोशिश करता है और हर शॉट पर लक्ष्य को विस्थापित करता है। जिससे हम को एक रैंडम वेरिएबल बनाते हैं । यदि उस व्यक्ति के आंदोलनों के वितरण को की शक्ति (p-1) (यानी द्वारा वर्णित किया जा सकता है , तो एक सरल रैंडम वैरिएबल का रूपांतरण (याद रखें ) एक बीटा वितरित ओर जाता है : $x_0$ $g(x)$ $P(x_0) = C\cdot g(x)^{p-1})$ $P(\lambda)d\lambda=P(x_0)dx_0$ $\lambda$

\begin{array}{rcl} P (λ) = P (g^{- 1} (λ)) | \frac{d g^{- 1} (λ)}{d λ} | = C^{'} \cdot λ^{p - 1} \cdot (λ_{m a x} - λ)^{q - 1} \end{array}

$\begin{eqnarray}P(\lambda) = P(g^{-1}(\lambda)) \biggl|\frac{dg^{-1}(\lambda)}{d\lambda}\biggl| = C' \cdot \lambda^{p-1} \cdot (\lambda_{max} - \lambda)^{q-1}\end{eqnarray}$

जहाँ सामान्यीकरण स्थिरांक बीटा फ़ंक्शन है। बीटा डिस्ट्रीब्यूशन के हम सेट करेंगे । $C'$ $\lambda_{max} = 1$

दूसरे शब्दों में बीटा वितरण को घबराने वाले वितरण के केंद्र में संभावनाओं के वितरण के रूप में देखा जा सकता है।

मुझे उम्मीद है कि यह व्युत्पत्ति आपके प्रशिक्षक के लिए कुछ हद तक करीब है। ध्यान दें कि और के कार्यात्मक रूप बहुत ही लचीले हैं और त्रिकोण से वितरण और यू-आकार के वितरण (नीचे उदाहरण देखें) तक तेजी से चरम पर पहुंचते हैं। $g(x)$ $P(x_0)$

FYI करें: मैंने इसे अपने डॉक्टरेट कार्य में एक साइड इफेक्ट के रूप में खोजा और गैर-स्थिर तंत्रिका ट्यूनिंग घटता के संदर्भ में अपनी थीसिस में इसके बारे में रिपोर्ट किया जो शून्य-फुलाया स्पाइक काउंट डिस्ट्रीब्यूशन (शून्य से मोड के साथ बिमोडल) के लिए अग्रणी था। ऊपर वर्णित अवधारणा को लागू करने से तंत्रिका-सक्रियता के लिए बीटा-पॉइसन मिश्रण वितरण हुआ। यह वितरण डेटा के लिए उपयुक्त हो सकता है। फिट किए गए पैरामीटर दोनों को अनुमान लगाने की अनुमति देते हैं, वितरण साथ ही रिवर्स लागू करके वितरण । बीटा-पॉइसन मिश्रण अतिव्यापी मॉडल के लिए व्यापक रूप से इस्तेमाल किए जाने वाले नकारात्मक द्विपद वितरण (जो गामा-पॉइसन मिश्रण है) के लिए एक बहुत ही रोचक और लचीला विकल्प है। नीचे आपको एक उदाहरण "Jitter " मिलता है $g(x)$ $p(x_0)$ $\rightarrow$ बीटा "- कार्रवाई में विचार:

ए : इनसेट ( में घबराना वितरण से तैयार 1 डी परीक्षण विस्थापन, नकली । ट्रायल-एवरेज फायरिंग फील्ड (सॉलिड ब्लैक लाइन) व्यापक होती है और इसमें निचली चोटी की दर होती है, जैसा कि ठोस ट्यूनिंग वक्र (ठोस नीली रेखा, उपयोग किए गए पैरामीटर: । B : N = 100 परीक्षणों में पर का परिणामी वितरण और बीटा वितरण का विश्लेषणात्मक पीडीएफ। C : मापदंडों साथ एक Poisson प्रक्रिया से नकली स्पाइक गणना वितरण जहां परीक्षणों के सूचकांकों को दर्शाता है। और परिणामस्वरूप बीटा-पॉइसन वितरण जैसा कि ऊपर स्केच किया गया है। $P(jitter)\propto g(x)^{p-1}$ $\lambda_{max} = 10, p = .6, q=.5$ $\lambda$ $x_0$ $\lambda_i$ डी : समान आँकड़े के लिए अग्रणी यादृच्छिक पारी कोण के साथ 2 डी में अनुरूप स्थिति।

— जोजो
स्रोत