क्या सामान्य वितरण की धारणा पर निर्मित मानक विचलन का उपयोग होता है?

Question

मैं सोच रहा था कि क्या मानक विचलन हमेशा एक सामान्य वितरण की धारणा पर बनाया गया था। दूसरे शब्दों में, यदि नमूना सामान्य रूप से वितरित नहीं किया जाता है, तो क्या मानक विचलन का उपयोग गलती के रूप में माना जाना चाहिए?

Comments

एक समान वितरण में एक मानक विचलन है, यह एक "गलती" कैसे हो सकती है?

Answer 1

नहीं। मानक विचलन का उपयोग सामान्यता नहीं मानता है।

एक यादृच्छिक चर के रूप में परिभाषित किया गया है $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$। जब तक विचरण मौजूद है, मानक विचलन भी मौजूद है। मानक विचलन विचरण का वर्गमूल है।

आप विचरण का उपयोग कर सकते हैं $\operatorname{Var}(X)$या मानक विचलन किसी भी समय दोनों का अस्तित्व होता है। अगणित स्थितियों में विचरण होता है।

विशेष प्रमेय, नींबू आदि हैं ... हालांकि विशेष मामले के लिए जहां $X$ सामान्य वितरण के बाद।

मानक विचलन का एक सामान्य उपयोग जो सामान्यता पर निर्भर करता है:

अगर $X$ सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, तो लगभग 95% संभावना है कि $X$ माध्य के दो मानक विचलन के भीतर आता है।

वह कथन सत्य है यदि $X$ सामान्य वितरण (और कई अन्य) के बाद, लेकिन यह सामान्य रूप से सच नहीं है।

विचरण का एक सामान्य उपयोग जो सामान्यता पर निर्भर नहीं करता है:

चलो $X$ मतलब के साथ एक यादृच्छिक चर हो $\operatorname{E}[X] = \mu$ और विचरण $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$। परिभाषित करें$X_i$ के लिये $i=1, \ldots, n$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रूप में, प्रत्येक समान वितरण के बाद $X$।

पर आधारित नमूना मतलब परिभाषित करें $n$ टिप्पणियों के रूप में:

$$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$

केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा, $\bar{X}_n$ औसत के साथ एक सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर की ओर धर्मान्तरित $\mu$ और विचरण $\frac{\sigma^2}{n}$। (ज्यादा ठीक$\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ वितरण में अभिसरण करता है $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ जैसा $n \rightarrow \infty$।)

व्यावहारिक निहितार्थ यह है कि नमूना का मतलब है $\bar{X}_n$ बड़े के लिए $n$ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर के रूप में माना जा सकता है जिसका विचरण $\frac{\sigma^2}{n}$ के विचरण का एक कार्य है $X$। (याद$\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$।) और इस परिणाम की आवश्यकता नहीं है $X$सामान्य हो। (यह एक कम की आवश्यकता है$n$ अगर अच्छी तरह से काम करने के लिए $X$ हालांकि सामान्य वितरण के लिए कुछ मायने में करीब है।)

सेंट्रल लिमिट प्रमेय एक सर्वव्यापी उपकरण है, जो के विचरण का उपयोग करता है $X$ और जरूरत नहीं है $X$ सामान्य वितरण का पालन करने के लिए।

Comments

चेबीशेव की असमानता विचरण के लिए विशिष्ट नहीं है: एक समान रूप से उपयोगी संस्करण शक्ति के साथ हर पूर्ण समय के लिए मौजूद है $1$। मैं इसलिए सुझाव दूंगा कि किन कारणों से एसडी महत्वपूर्ण है और (लगभग) सार्वभौमिक, जैसे कि केंद्रीय सीमा प्रमेय में विचरण द्वारा निभाई गई अद्वितीय भूमिका।

— whuber

@whuber हाँ, मैंने एक CLT उदाहरण लिखना शुरू किया था (और अब मैंने इसे जोड़ा है)। CLT विचरण की देखभाल करने का एक अत्यंत व्यावहारिक कारण है।

— मैथ्यू गन

+1। लेकिन ध्यान दें कि जब विचरण (माध्य के साथ) सामान्य मामले में एक पूर्ण विवरण देता है, तो गैर-असामान्य वितरण के लिए यह मामला नहीं रह सकता है, और डेटा के अन्य d3scriptors बहुत बेहतर हो सकते हैं

— kjetil b halvorsor

Answer 2

मानक IID सेटिंग में, उपयुक्त नियमितता शर्तों के तहत, $S^2$ (साथ ही साथ $\hat{\sigma}^2_{ML}$) का दृढ़ता से सुसंगत आकलनकर्ता है $\mathrm{Var}[X_i]$। यह स्ट्रॉन्ग लॉ ऑफ लार्ज नंबरों से सीधे आता है। एक सामान्य मॉडल धारणा की जरूरत नहीं है।