मानदंड - बारे में क्या खास है ?

Question

एक मानदंड अद्वितीय है (कम से कम आंशिक रूप से) क्योंकि गैर-उत्तल और उत्तल के बीच की सीमा पर है। एक मानदंड 'सबसे विरल' उत्तल मानदंड (दाएं?) है।$L_1$$p=1$$L_1$

मैं समझता हूं कि यूक्लिडियन मानदंड की ज्यामिति में जड़ें हैं और इसकी स्पष्ट व्याख्या है जब आयामों में समान इकाइयां होती हैं। लेकिन मुझे समझ नहीं आ रहा है कि इसे अन्य वास्तविक संख्याओं : पर अधिमानतः क्यों उपयोग किया जाता है ? ? हाइपरपरमीटर के रूप में पूर्ण निरंतर सीमा का उपयोग क्यों नहीं किया जाता है?$p=2$$p>1$$p=1.5$$p=\pi$

मुझे किसकी याद आ रही है?

Comments

"विशेष रूप से प्रयुक्त" किस अनुप्रयोग में, विशेष रूप से? गणित, सांख्यिकी और भौतिकी में मानदंड सर्वव्यापी हैं; कुछ उप-क्षेत्रों में कुछ मानदंड दूसरों की तुलना में अधिक प्रचलित हैं क्योंकि वे साथ काम करने के लिए अधिक सार्थक या सरल हैं। इस कारण से, इस प्रश्न के उत्तर कई और विविध होंगे (इसलिए वास्तव में, मुझे व्यक्तिगत रूप से यह अचूक लगता है)। इसलिए मैंने इसे "कम्युनिटी विकी" (सीडब्ल्यू) पोस्ट बनाया है; लेकिन अगर आपके पास एक विशिष्ट आवेदन या संकीर्ण क्षेत्र है, तो अपने प्रश्न को अधिक सटीक बनाने से सीडब्ल्यू की स्थिति को दूर करना संभव है।

— whuber

Answer 1

एक अधिक गणितीय व्याख्या यह है कि अंतरिक्ष , जिसमें सभी श्रृंखलाएं शामिल हैं, जो पी-आदर्श में परिवर्तित होती हैं, केवल साथ हिल्बर्ट और कोई अन्य मूल्य नहीं है। इसका मतलब है कि यह स्थान पूर्ण है और उस स्थान पर आदर्श एक आंतरिक उत्पाद ( में परिचित डॉट-उत्पाद के बारे में सोचो) से प्रेरित हो सकता है , इसलिए इसके साथ काम करने के लिए थोड़ा अच्छा है।$l^p$$p=2$$R^n$

Answer 2

यहाँ कुछ कारण हैं:

1. यह आंतरिक उत्पाद के लिए एक बहुत ही खास तरीके से संबंधित है: यह इसका अपना दोहरा मापदंड है (यानी यह "सेल्फ-डुअल")।
   इस का मतलब है अगर आप के अंदर सभी वैक्टर विचार है कि, इकाई गेंद, किसी भी वेक्टर के साथ अपने अधिकतम आंतरिक उत्पाद है के आदर्श ही। कम काल्पनिक रूप से, यह उस संपत्ति को संतुष्ट करता है जो । कोई अन्य मानदंड इस तरह व्यवहार नहीं करता है।$\ell_2$$z$$\ell_2$$z$$\lVert x\rVert_2^2 = x \cdot x$$\ell_p$

2. इसमें बहुत सुविधाजनक रूप से सुगम ढाल है: आप वास्तव में इसे हरा नहीं सकते हैं!

   $$\nabla_x\ \lVert f(x)\rVert_2^2 = 2 \ \nabla f(x) \cdot f(x)$$

Answer 3

हालाँकि और भी कई कारण हो सकते हैं लेकिन AFAIK p = 2 को निम्न कारणों से पसंद किया जाता है:

• समानता / असमानता का माप: p = 2 के लिए, यूक्लिडियन मानदंड दो वैक्टरों के बीच समानता या असमानता का एक माप देता है जिसका उपयोग डेटा के बारे में बेहतर जानकारी प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इस पर अधिक विस्तृत उत्तर यहां मिल सकते हैं ।
• नियमितीकरण: एल 2 आदर्श मशीन सीखने में नियमितीकरण के लिए प्रयोग किया जाता है और पसंद किया जाता है क्योंकि दोनों के कारणों 1) यह आसानी से विभेदक 2) एल 2 नियमितीकरण के साथ है, वजन भार की व्युत्क्रमानुपाती में कम करने के लिए जाता है। इसलिए L2 नियमितीकरण बड़े वज़न को छोटे वज़न की तुलना में अधिक दंडित करता है।

Answer 4

रैखिक मॉडल के तहत चुकता त्रुटियों को अक्सर इस वजह से पसंद किया जाता है:

• रूढ़िवादिता के संबंध में, जो शोर के रूप में मानी जाने वाली कुछ यादृच्छिक घटनाओं के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है (असंबद्धता)
• यह उत्तल और भिन्न है, नहीं$L_1$
• व्युत्पन्न रैखिक प्रणालियों में बदल जाने के कारण यह ट्रैफ़िक ऑप्टिमाइज़ेशन एल्गोरिदम प्राप्त करता है

$L_1$ को अक्सर एक सुविधाजनक प्रॉक्सी या उत्तल छूट माना जाता है, जो कि सख्त स्पैरिटी (नॉन-जीरो टर्म्स की गिनती) के लिए है, जो कि कॉम्बीनेटरियल रूप से जटिल है, उदाहरण के लिए$\ell_1$ देखें लीनियर इक्वेशन के मोस्ट लार्ज अंडरडेटमेटेड सिस्टम के लिए मिनिमल -norm सॉल्यूशन भी है सबसे बढ़िया समाधान । कुछ लोग "खो" उत्तलता की कीमत पर, अधिक विरलता को लागू करने के लिए , का उपयोग करते हैं ।$\ell_p$$0<p<1$

हालाँकि, गणना उपाय गैर-शून्य स्केलिंग के लिए असंवेदनशील है। एक गैर-शून्य स्थिरांक से एक वेक्टर को गुणा करें, गैर-शून्य शब्दों की संख्या समान रहेगी। इस प्रकार, , समरूप सजातीय है, जबकि मानदंड या अर्ध-मानदंड सभी - समरूप सजातीय हैं। यहां तक ​​कि अगर, किसी भी तरह, को , यह विसंगति मुझे एक खाई लगती है।$\ell_0$$\ell_0$$0$$\ell_p$$1$$\ell_p \to \ell_0$$p\to 0$

इस प्रकार, मानदंडों को ध्यान में रखते हुए, कुछ (गैर-उत्तल) मानदंड अनुपात पर विचार कर रहे हैं, जैसे कि , उदाहरण के लिए एक टैक्सी में यूक्लिड में संदर्भ देखें : साथ विरल ब्लाइंड नियमित करना ।$\ell_1 / \ell_2$$\ell_1 / \ell_2$