जस्ट-आइडेंटिफाइड 2 एसएलएस मेडियन-निष्पक्ष?

में एक अनुभववादी के साथी: ज्यादातर हानिरहित अर्थमिति (Angrist और Pischke, 2009: पेज 209) मैं निम्नलिखित पढ़ें:

(...) वास्तव में, केवल पहचाने गए 2SLS (कहते हैं, सरल वाल्ड अनुमानक) लगभग निष्पक्ष है । यह औपचारिक रूप से प्रदर्शित करना कठिन है क्योंकि अभी-अभी पहचाने गए 2SLS में कोई क्षण नहीं है (यानी, नमूना वितरण में वसा पूंछ है)। फिर भी, कमजोर उपकरणों के साथ, बस पहचाने जाने वाले 2SLS लगभग केंद्रित है जहां यह होना चाहिए। इसलिए हम कहते हैं कि सिर्फ 2SLS की पहचान मध्य-निष्पक्ष है। (...)

हालांकि लेखकों का कहना है कि सिर्फ 2SLS की पहचान औसत-निष्पक्ष है, वे न तो इसे साबित करते हैं और न ही किसी प्रमाण का संदर्भ देते हैं । पृष्ठ 213 पर वे फिर से प्रस्ताव का उल्लेख करते हैं, लेकिन एक प्रमाण के संदर्भ में नहीं। इसके अलावा, मैं एमआईटी , पृष्ठ 22 से वाद्य चर पर उनके व्याख्यान नोट्स में प्रस्ताव के लिए कोई प्रेरणा नहीं पा सकता हूं ।

इसका कारण यह हो सकता है कि प्रस्ताव गलत है क्योंकि वे इसे अपने ब्लॉग पर नोट में अस्वीकार करते हैं । हालांकि, सिर्फ 2SLS की पहचान लगभग मध्य-निष्पक्ष है, वे लिखते हैं। वे इसे एक छोटे मोंटे-कार्लो प्रयोग का उपयोग करने के लिए प्रेरित करते हैं, लेकिन सन्निकटन से जुड़े त्रुटि शब्द का कोई विश्लेषणात्मक प्रमाण या बंद-रूप अभिव्यक्ति प्रदान नहीं करते हैं। किसी भी तरह, यह मिशिगन स्टेट यूनिवर्सिटी के प्रोफेसर गैरी Solon जो टिप्पणी कि अभी-पहचान 2SLS है बनाया करने के लिए लेखकों के जवाब था नहीं मंझला-निष्पक्ष।

प्रश्न 1: कैसे आप है कि बस की पहचान 2SLS साबित करते है नहीं मंझला-निष्पक्ष गैरी Solon का तर्क के रूप में?

प्रश्न 2: आप कैसे साबित करते हैं कि सिर्फ-पहचाना गया 2SLS एंग्रीस्ट और पिस्सके बहस के रूप में लगभग निष्पक्ष है?

प्रश्न 1 के लिए मैं एक प्रतिरूप की तलाश में हूं। प्रश्न 2 के लिए मैं (मुख्य रूप से) एक प्रमाण की तलाश में हूं या एक प्रमाण के संदर्भ में हूं।

मैं इस संदर्भ में मंझला-निष्पक्ष की औपचारिक परिभाषा भी तलाश रहा हूं । मैं अवधारणा के रूप में निम्नानुसार समझते हैं: एक आकलनकर्ता की कुछ सेट के आधार पर की यादृच्छिक परिवर्तनीय के लिए औसत-निष्पक्ष है तभी यदि के वितरण में माध्यिका । $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$ $X_{1:n}$ $n$ $\theta$ $\hat{\theta}(X_{1:n})$ $\theta$

टिप्पणियाँ

एक उचित पहचान वाले मॉडल में अंतर्जात रजिस्टरों की संख्या उपकरणों की संख्या के बराबर होती है।
केवल-पहचाने गए इंस्ट्रूमेंटल वैरिएबल मॉडल का वर्णन करने वाला ढांचा इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: ब्याज का कारण मॉडल और प्रथम-चरण समीकरण जहां एक मैट्रिक्स है, जो endogenous regressors का वर्णन करता है, और जहां वाद्य चर का k_ मैट्रिक्स द्वारा वर्णन किया जाता है । यहां केवल नियंत्रण चर की कुछ संख्या का वर्णन करता है (उदाहरण के लिए, परिशुद्धता में सुधार करने के लिए जोड़ा गया); और और त्रुटि शब्द हैं।
$\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} Y & = X β + W γ + u \\ X & = Z δ + W ζ + v \end{cases} \end{matrix}$ $\begin{cases} Y&=X\beta+W\gamma+u \\ X&=Z\delta+W\zeta+v \end{cases}\tag{1}$ $X$ $k\times n+1$ $k$ $k\times n+1$ $Z$ $W$ $u$ $v$
हमारा अनुमान है में 2SLS का उपयोग कर: सबसे पहले, वापसी पर के लिए नियंत्रित और भविष्यवाणी की मानों प्राप्त ; इसे पहला चरण कहा जाता है। दूसरी बात, नियंत्रित करने के लिए को नियंत्रित करें ; इसे दूसरी अवस्था कहा जाता है। दूसरे चरण में पर अनुमानित गुणांक हमारे 2SLS अनुमान है । $\beta$ $(1)$ $X$ $Z$ $W$ $\hat{X}$ $Y$ $\hat{X}$ $W$ $\hat{X}$ $\beta$
सबसे सरल मामले में हमारे पास और साथ अंतर्जात । इस मामले में, 2SLS का अनुमान है है जहां और बीच नमूना सहसंयोजक को दर्शाता है । हम : जहां पर , और
$y_{i} = α + β x_{i} + u_{i}$ $y_i=\alpha+\beta x_i+u_i$ $x_i$ $z_i$ $\beta$ $\begin{matrix} (2) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{s_{Z Y}}{s_{Z X}}, \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{s_{ZY}}{s_{ZX}}\tag{2},$ $s_{AB}$ $A$ $B$ $(2)$ $\begin{matrix} (3) & {\hat{β}}^{2SLS} = \frac{\sum_{i} (y_{i} - \bar{y}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} = β + \frac{\sum_{i} (u_{i} - \bar{u}) z_{i}}{\sum_{i} (x_{i} - \bar{x}) z_{i}} \end{matrix}$ $\hat{\beta}^{\text{2SLS}}=\frac{\sum_i(y_i-\bar{y})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}=\beta+\frac{\sum_i(u_i-\bar{u})z_i}{\sum_i(x_i-\bar{x})z_i}\tag{3}$ $\bar{y}=\sum_iy_i/n$ $\bar{x}=\sum_i x_i/n$ $\bar{u}=\sum_i u_i/n$ , जहां टिप्पणियों की संख्या है। $n$
मैंने "1-पहचाना" और "औसत-निष्पक्ष" शब्दों का उपयोग करके एक साहित्य खोज की, जो प्रश्न 1 और 2 का उत्तर देने के संदर्भों को खोजने के लिए है (ऊपर देखें)। मुझे कोई नहीं मिला। मेरे द्वारा पाया गया सभी लेख (नीचे देखें) Angrist और Pischke का एक संदर्भ बनाते हैं (2009: पृष्ठ 209, 213) जब बताते हैं कि सिर्फ 2SLS की पहचान मध्य-निष्पक्ष है।
- जकीला, पी।, मिगुएल, ई।, और ते वेलडे, वीएल (2015)। आपने इसे अर्जित किया है: सामाजिक प्राथमिकताओं पर मानव पूंजी के प्रभाव का आकलन। प्रायोगिक अर्थशास्त्र , 18 (3), 385-407।
- एन, डब्ल्यू। (2015)। सामाजिक नेटवर्क में सहकर्मी प्रभावों के साधन चर का अनुमान लगाते हैं। सोशल साइंस रिसर्च , 50, 382-394।
- वर्म्यूलेन, डब्ल्यू।, और वान ओमेरेन, जे। (2009)। क्या भूमि नियोजन आकार क्षेत्रीय अर्थव्यवस्थाओं का उपयोग करता है? नीदरलैंड में आवास आपूर्ति, आंतरिक प्रवास और स्थानीय रोजगार वृद्धि का एक साथ विश्लेषण। हाउसिंग इकोनॉमिक्स जर्नल , 18 (4), 294-310।
- एआईडीटी, टीएस, और लियोन, जी (2016)। अवसर की लोकतांत्रिक खिड़की: उप-सहारा अफ्रीका में दंगों से साक्ष्य। संघर्ष संकल्प के जर्नल , 60 (4), 694-717।

— एलियास
स्रोत

मैं औपचारिक प्रमाण के साथ इसका जवाब नहीं दे सकता था, बल्कि कुछ सिमुलेशन अध्ययनों के साथ यह दिखा रहा था कि लिमेल औसत दर्जे का निष्पक्ष (प्लस डेफिनिशन) है और यह कि एक एंडोजेनस वैरिएबल के साथ लिगल और 2 एसएलएस और एक इंस्ट्रूमेंट में एक ही छोटा सा सैंपल डिस्ट्रीब्यूशन है (इसलिए अगर इसमें लिगल हो। मामला मध्य-निष्पक्ष है तो 2SLS है)। क्या यह आपके प्रश्न का उत्तर देने के लिए पर्याप्त होगा?

— एंडी

@ और यह एक बहुत अच्छा जवाब होगा! शायद पर्याप्त है, जो अन्य उपयोगकर्ताओं के आधार पर कह सकता है। संभवतः यह पर्याप्त है क्योंकि मुझे लगता है कि प्रस्ताव का कोई प्रमाण नहीं है कि सिर्फ 2SLS की पहचान लगभग औसत-निष्पक्ष है। यह एक प्रतिधारण के साथ अच्छा होगा जो यह दर्शाता है कि सिर्फ 2SLS की पहचान औसत-निष्पक्ष नहीं है; लेकिन मुझे लगता है कि यह संभव है (लेकिन शायद कठिन) अपने आप को एक प्रतिरूप के साथ आने के लिए।

— एलियास

लगभग निष्पक्ष रूप से, क्या आपका मतलब यह है कि पूर्वाग्रह शून्य की संख्या के रूप में अवलोकन के कुछ कार्य के रूप में जाते हैं, जैसे कि 1 / n या 1 / n ^ 2, आदि?

— इगोर

@ कॉग "वाक्यांश लगभग-निष्पक्ष" का उपयोग मेरे द्वारा नहीं किया गया है। चूंकि मुझे नहीं पता कि औपचारिक रूप से "मध्य-निष्पक्ष" का क्या मतलब है, इसलिए मैं आपके सवाल का जवाब नहीं दे सकता। लेकिन आप जो सोच रहे हैं, वह एक अनुमान लगाने वाला है जो कि निष्पक्ष रूप से निष्पक्ष है।

— एलियास

सिमुलेशन स्टडीज में माध्यिका पूर्वाग्रह शब्द का अर्थ है एक आकलनकर्ता के विचलन के पूर्ण मूल्य से इसका वास्तविक मूल्य (जिसे आप इस मामले में जानते हैं क्योंकि यह एक सिमुलेशन है इसलिए आप सही मूल्य चुनते हैं)। आप यंग (2017) द्वारा एक वर्किंग पेपर देख सकते हैं जो तालिका 15 में इस तरह से माध्य पूर्वाग्रह को परिभाषित करता है, या एंड्रयूज और आर्मस्ट्रांग (2016) जो आंकड़ा 2 में अलग-अलग अनुमानकों के लिए माध्य पूर्वाग्रह रेखांकन करते हैं।

भ्रम का हिस्सा (साहित्य में भी) इस तथ्य से प्रतीत होता है कि दो अलग-अलग अंतर्निहित समस्याएं हैं:

कमजोर यंत्र
कई (संभावित) कमजोर उपकरण

एक पहचानी हुई सेटिंग में एक कमजोर उपकरण होने की समस्या बहुत सारे उपकरणों के होने से बहुत अलग है जहां कुछ कमजोर होते हैं, हालांकि, दो मुद्दों को कभी-कभी एक साथ फेंक दिया जाता है।

सबसे पहले, आइए हम उन अनुमानकों के बीच के संबंध पर विचार करें जिनके बारे में हम यहां बात कर रहे हैं। Theil (1953) में "पूर्ण समीकरण प्रणालियों में अनुमान और सहसंबंध सहसंबंध" ने तथाकथित _ -klass अनुमानक: widehat $\kappa$

\hat{β} = {[X^{'} (I - κ M_{Z}) X]}^{- 1} [X^{'} (I - κ M_{Z})_{y})]

$\widehat{\beta} = \left[ X'(I-\kappa M_Z)X \right]^{-1}\left[ X'(I-\kappa M_Z)_y) \right]$

साथ , समीकरणों के सिस्टम के लिए $M_Z = I-Z(Z'Z)^{-1}Z'$

\begin{aligned} y & = X β + u \\ X & = Z π + e . \end{aligned}

$\begin{align} y &= X\beta + u \\ X &= Z\pi + e. \end{align}$

स्केलर निर्धारित करता है कि हमारे पास क्या अनुमान है। के लिए आप OLS के लिए वापस जाओ, के लिए आप 2SLS आकलनकर्ता है, और जब की सबसे छोटी जड़ पर सेट है आप लिगल अनुमानक (देखें स्टॉक और योगो , 2005 , पृष्ठ 111) $\kappa$ $\kappa = 0$ $\kappa = 1$ $\kappa$ $\det (X'X - \kappa X'M_ZX))=0$

Asymptotically, LIML और 2SLS का समान वितरण है, हालाँकि, छोटे नमूनों में यह बहुत भिन्न हो सकता है। यह विशेष रूप से मामला है जब हमारे पास कई उपकरण हैं और यदि कुछ कमजोर हैं। इस मामले में, लीगल 2SLS से बेहतर प्रदर्शन करता है। यहां लीगल को औसत दर्जे का निष्पक्ष दिखाया गया है। यह परिणाम सिमुलेशन अध्ययनों के एक समूह से निकलता है। आमतौर पर इस परिणाम को बताने वाले कागजात रोथबर्ग (1983) "स्ट्रक्चरल मॉडल में कुछ एस्टिमेटर्स के एसिम्प्टोटिक गुण", सावा (1972) , या एंडरसन एट अल। (1982) ।

स्टीव पिस्चके ने स्लाइड 17 पर अपने 2016 के नोटों में इस परिणाम के लिए एक सिमुलेशन प्रदान किया है , जिसमें 20 उपकरणों के साथ ओएलएस, लिगल और 2 एसएलएस का वितरण दिखाया गया है, जिसमें से केवल एक ही वास्तव में उपयोगी है। सच्चा गुणांक मान 1. है आप देखते हैं कि 2LS OLS के पक्षपाती है, जबकि LIML सही मूल्य पर केंद्रित है।

अब यह तर्क निम्न प्रतीत होता है: यह देखते हुए कि लिम्ल को औसत दर्जे का निष्पक्ष दिखाया जा सकता है और यह कि अभी पहचाने गए मामले में (एक अंतर्जात चर, एक उपकरण) लिगल और 2 एसएलएस समतुल्य हैं, 2 एसएलएस को माध्य निष्पक्ष भी होना चाहिए।

हालांकि, ऐसा लगता है कि लोग फिर से "कमजोर साधन" और "कई कमजोर उपकरणों" के मामले को मिला रहे हैं, क्योंकि सिर्फ पहचाने जाने वाले सेटिंग में लिगल और 2 एसएलएस दोनों ही पक्षपाती होने जा रहे हैं, जब उपकरण कमजोर है। मैंने ऐसा कोई परिणाम नहीं देखा है जहां यह प्रदर्शित किया गया था कि उपकरण के कमजोर होने पर लिगल को पहचाने गए मामले में निष्पक्ष है और मुझे नहीं लगता कि यह सच है। इसी तरह का निष्कर्ष एंग्रीस्ट और पिसके के 2009 (2009) के गैरी सोलो की प्रतिक्रिया से पेज 2 पर निकलता है जहां वे उपकरण की ताकत बदलते समय ओएलएस, 2 एसएलएस, और एलआईएमएल के पूर्वाग्रह का अनुकरण करते हैं।

<0.1 के बहुत छोटे प्रथम-चरण गुणांक के लिए (मानक त्रुटि को पकड़े हुए), अर्थात कम साधन शक्ति, बस-पहचाने गए 2SLS (और इसलिए सिर्फ-पहचाने गए LIML) की तुलना में OLS अनुमानक की संभाव्यता सीमा के बहुत करीब है 1 का वास्तविक गुणांक मान।

एक बार जब पहला चरण गुणांक 0.1 और 0.2 के बीच होता है, तो वे ध्यान देते हैं कि पहला चरण एफ स्टेटिस्टिक 10 से ऊपर है और इसलिए स्टॉक और योगो (2005) द्वारा एफ> 10 के अंगूठे के नियम के अनुसार अब कोई कमजोर साधन समस्या नहीं है। इस अर्थ में, मैं यह देखने में विफल रहता हूं कि अभी-अभी पहचाने गए मामले में कमजोर उपकरण समस्या के लिए लीगल को कैसे ठीक किया जाना चाहिए। यह भी ध्यान दें कि i) लिगल अधिक फैलाव करता है और इसके मानक त्रुटियों को सुधारने की आवश्यकता है (देखें बेकर, 1994) और ii) यदि आपका उपकरण वास्तव में कमजोर है, तो आपको दूसरे चरण में कुछ भी नहीं मिलेगा और न ही 2SLS / LIML के साथ। क्योंकि मानक त्रुटियाँ अभी बहुत बड़ी होने जा रही हैं।

— एंडी
स्रोत

जवाब के लिए धन्यवाद! इसने मुझे सब कुछ स्पष्ट कर दिया।

— इलायस