अपेक्षित मूल्य को नाम क्यों दिया गया है?

Question

मैं समझता हूं कि 6-पक्षीय मरने के लिए हमें अपेक्षित मूल्य के रूप में 3.5 कैसे मिलते हैं। लेकिन सहज रूप से, मैं 1/6 के समान अवसर के साथ प्रत्येक चेहरे की उम्मीद कर सकता हूं।

तो क्या मरने की रोलिंग का अपेक्षित मूल्य समान संभावना वाले 1-6 के बीच संख्या का नहीं होना चाहिए?

दूसरे शब्दों में, जब यह सवाल पूछा जाता है कि '6-पक्षीय मरने पर निष्पक्ष फेंकने का अपेक्षित मूल्य क्या है?', तो किसी को जवाब देना चाहिए कि 'ओह, यह समान अवसर के साथ 1-6 के बीच कुछ भी हो सकता है।' इसके बजाय यह 3.5 है।
वास्तविक दुनिया में सहजता से, क्या कोई समझा सकता है कि मरने पर फेंकने के लिए मुझे 3.5 का मूल्य क्या होना चाहिए?
फिर से मुझे उम्मीद के लिए सूत्र या व्युत्पत्ति नहीं चाहिए।

Comments

en.wikipedia.org/wiki/Expected_value#History

— एलेक्स

आप सोच सकते हैं कि यह औसत की तरह है।

— स्मालचैथ

@ ठीक है, लेकिन मुझे अभी भी समझ नहीं आया कि हम अपेक्षित मूल्य को अपेक्षित मूल्य क्यों कहते हैं। मैं कुछ उत्सुक हूँ अगर मैं यहाँ कुछ अंतर्ज्ञान याद कर रहा हूँ। यहां तक ​​कि कैसे / क्यों हम उम्मीद की तलाश शुरू करते हैं, मुझे भी विश्वास करने में मदद मिलेगी

— निथिश इनपरप्सी ऑफ थैपीनेस

मरने के लिए अपेक्षित मूल्य वह संख्या नहीं है जिसकी आप अपेक्षा करते हैं; यह वह धनराशि है जो आप प्राप्त करने की अपेक्षा करते हैं यदि आप जानते हैं कि आपको आने वाले नंबर का भुगतान किया जाएगा। यदि आप $ 3.50 से कम के साथ घर जाने की उम्मीद करते हैं तो आप बहुत निराशावादी हो रहे हैं; यदि आप $ 3.50 से अधिक के साथ घर जाने की उम्मीद करते हैं तो आप बहुत अधिक उम्मीद कर रहे हैं। हालांकि आप जानते हैं कि आप $ 3.50 के साथ समाप्त नहीं कर सकते हैं , आप रोल करने के लिए $ 3.51 का भुगतान नहीं करेंगे ।

— फ्लाउंडर

@Flounder उस तर्क से, कोई भी लॉटरी टिकट के लिए भुगतान नहीं करेगा ... लेकिन वे काफी अच्छी तरह से बेचते हैं

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 1

कल्पना कीजिए कि आप 1654 में पेरिस में हैं और आप और आपका दोस्त एक छह-पक्षीय पासा के अनुक्रमिक रोलिंग पर आधारित एक जुआ खेल का अवलोकन कर रहे हैं। अब, जुआ अत्यधिक गैरकानूनी है और गैन्डर्म द्वारा होने वाली हलचल काफी अक्सर होती है, और लिव्रे के ढेर के साथ एक मेज पर पकड़ा जाना निश्चित रूप से चेटेउ डी आई एफ में एक लंबा कद की गारंटी है।

इसके आसपास पाने के लिए आपको और आपके मित्र को अंतिम डाई रोल से पहले आप दोनों के बीच किए गए दांव पर एक सज्जन का समझौता करना होगा। यदि आप पासे के अगले पांच रोल्स में दो छक्कों का पालन करते हैं, तो आप उन्हें पांच लिवर का भुगतान करने के लिए सहमत हैं, और यदि आप इन संयोजनों में नहीं आते हैं तो कोई अन्य राशि नहीं होने पर, आप उसे उसी राशि का भुगतान करने के लिए सहमत होते हैं।

अब, अंतिम डाई रोल एक छक्का है जिससे आप अपनी सीट के किनारे पर, आलंकारिक रूप से। इस समय, भारी हथियारबंद गार्ड मांद में घुस जाते हैं और मेज पर सभी को गिरफ्तार कर लेते हैं और भीड़ तितर-बितर हो जाती है।

आपके मित्र का मानना ​​है कि आप दोनों के बीच की गई शर्त अब अमान्य हो गई है। हालांकि, आप मानते हैं कि उसे आपको कुछ राशि का भुगतान करना चाहिए क्योंकि एक छक्का पहले ही लुढ़का हुआ था। आप दोनों के बीच इस विवाद को निपटाने का एक उचित तरीका क्या है?

(यह अपेक्षित मूल्य की उत्पत्ति के बारे में मेरी व्याख्या है जैसा कि यहां प्रस्तुत किया गया है और यहां अधिक विस्तार से चर्चा की गई है )

आइए उचित मूल्य के इस प्रश्न का उत्तर गैर-कठोर तरीके से दें। आपके मित्र को आपके द्वारा भुगतान की जाने वाली राशि की गणना निम्न तरीके से की जा सकती है। चार पासा के सभी संभावित रोल पर विचार करें। रोल के कुछ सेट (अर्थात् कम से कम एक छः वाले) आपके मित्र को सहमत राशि का भुगतान करेंगे। हालांकि, अन्य सेटों पर (अर्थात्, एक भी छक्का नहीं) आपको कोई पैसा नहीं मिलेगा। आप इन दो प्रकार के रोल की संभावना को कैसे संतुलित करते हैं? सरल, सभी संभावित रोल पर आपको भुगतान की गई राशि का औसत।

हालांकि, आपका दोस्त, (काफी संभावना नहीं), अभी भी उसकी शर्त जीत सकता है! आपको इस बात पर विचार करना होगा कि शेष चार पासे में से दो को कितनी बार लुढ़काया जाएगा, और चार पासा के सभी संभावित रोल की संख्या से अधिक राशि का भुगतान करेंगे। यह उचित राशि है जो आपको अपने दोस्त को उसकी शर्त के लिए चुकानी चाहिए। इस प्रकार आपके द्वारा प्राप्त की जा रही राशि वह राशि है जो आपके मित्र को आपको चुकानी चाहिए, माइनस जो आपको अपने मित्र को भुगतान करना चाहिए।

यही कारण है कि हम इसे "अपेक्षित मूल्य" कहते हैं। यदि आप एक साथ कई ब्रह्मांडों में होने वाली घटना का अनुकरण करने में सक्षम हैं, तो यह औसत राशि है जो आप प्राप्त करने की अपेक्षा करते हैं।

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मैं बस अपना जवाब प्रस्तुत करने जा रहा था, लेकिन आपका स्पष्टीकरण बहुत बेहतर है!

— फ्लाउंडर

Answer 2

बहुत बढ़िया सवाल। यह पहले की तुलना में अधिक सूक्ष्म है। यह यादृच्छिक घटना और यादृच्छिक चर (संख्या, मूल्य) के साथ करना है। आपका भ्रम इन दोनों संबंधित लेकिन विशिष्ट अवधारणाओं को एक साथ मिलाने से उपजा है।

आइए एक घटना से शुरू करते हैं। जिस तरह से आपने अपना प्रश्न तैयार किया, उससे यह प्रतीत होता है कि आप एक पासा फेंकने के परिणाम को एक घटना मानते हैं। यह यादृच्छिक है, इसलिए आपको इसके छह पक्षों में से एक समान मौका मिल सकता है, जैसा आपने लिखा था। यह एक सही समझ में आता है।

इस प्रयोग का अपेक्षित मूल्य क्या है? उम्मीदों को यादृच्छिक चर (मान) के लिए परिभाषित किया जाता है, न कि घटनाओं के लिए। आपके लिए पासा पर संख्या 1 से 6 केवल इसके पक्षों को भेदने के तरीके हैं (आपके प्रश्न के सूत्रीकरण के संदर्भ में)। इसके बजाय आप अक्षरों का उपयोग करें कल्पना करें: ए, बी, सी, डी, ई, और एफ। अक्षरों के साथ संख्याओं को बदलें और अपने प्रश्न को निम्नानुसार दोहराएं:

दूसरे शब्दों में, जब यह सवाल पूछा गया कि '6-पक्षीय मरने पर निष्पक्ष फेंकने का अपेक्षित मूल्य क्या है?', तो किसी को जवाब देना चाहिए 'ओह, यह ए और एफ के बीच समान अवसर के साथ कुछ भी हो सकता है'

अब एक अपेक्षित मूल्य के साथ आने का प्रयास करें। यह परिभाषित नहीं है!

जब आप यादृच्छिक मानों को परिभाषित करते हैं, तो उम्मीदें दिखाई देती हैं, जैसे कि 1 से 6. आप मानों को घटना स्थान पर ले जाते हैं, उदाहरण के लिए, आप परिभाषित करते हैं कि साइड ए 1 है, साइड बी 2 है आदि। अब आपके पास 6 नंबर और हैं उम्मीद की गणना करें, जो 3.5 होता है।

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धन्यवाद अक्षल। एलेक्स के साथ मिलकर आपका जवाब अब मुझे सही समझ में आता है! आपका कहना बताता है कि मेरा प्रश्न कैसे मान्य है और मैं क्या धारणा (ग़लतफ़हमी) बना रहा था, और एलेक्स ने आपके अंतिम पैरा में जो लिखा है, उस पर अधिक स्पष्ट जानकारी प्रदान करता है।

— निशीश इनपरपसिशन ऑफहापीनेस

Answer 3

"प्रत्येक मान समान रूप से संभव है", या "कुछ मूल्य सबसे अधिक संभावना है" मोड की परिभाषा है, अपेक्षित मूल्य नहीं।

कल्पना कीजिए कि हम एक सिक्का उछालने वाला खेल खेल रहे हैं। जितनी बार मैं टॉस करता हूं, मैं आपको 1 डॉलर देता हूं, जितनी बार मैं टॉस करता हूं, आप मुझे 1 डॉलर देते हैं । लंबे समय में आप कितने पैसे जीतने या ढीले होने की उम्मीद करेंगे ? राशियाँ समान हैं, उन्हें फेंकने की संभावनाएँ बराबर हैं, अपेक्षित मूल्य शून्य है।

Answer 4

उम्मीद मूल्य तथाकथित क्योंकि अगर आप सभी पासा रोल औसत आप है उम्मीद इस पाने के लिए उम्मीद मूल्य में लंबे समय । अपेक्षित मान किसी भी एक पासा रोल से संबंधित नहीं है।

Answer 5

एक ऐतिहासिक दृष्टिकोण से, अवधारणा विभिन्न देशों में दिखाई देती थी, इसलिए मैं इस शब्द के उपयोग को भाषाओं में समान अवधारणाओं के बीच एक सुविधाजनक अभिसरण के रूप में मानूंगा ।

मेरा प्रारंभिक बिंदु संभाव्यता और सांख्यिकी में प्रतीकों का उत्कृष्ट प्रारंभिक उपयोग था :

उम्मीद। 1901 के डब्ल्यूए व्हिटवर्थ की प्रसिद्ध पाठ्यपुस्तक चॉइस एंड चांस (पांचवें संस्करण) में उम्मीद के लिए एक बड़ी स्क्रिप्ट ई का उपयोग किया गया था, लेकिन न तो प्रतीक और न ही उम्मीदों का कलन अंग्रेजी साहित्य में बहुत बाद तक स्थापित हो गया। उदाहरण के लिए, Rietz गणितीय सांख्यिकी (1927) ने प्रतीक E का उपयोग किया और टिप्पणी की कि "चर का अपेक्षित मूल्य एक अवधारणा है जिसका उपयोग विभिन्न महाद्वीपीय यूरोपीय लेखकों द्वारा किया गया है ..." महाद्वीपीय यूरोपीय लेखकों के लिए E ने "एर्वुंग" का संकेत दिया। या " जासूसी (संपादक का नोट: mathématique) ।"

शब्द को कभी-कभी "ह्यूजेंस के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिसकी चर्चा ह्यूजेंस फाउंडेशन ऑफ प्रोबेबिलिटी में की गई है :"

यह आमतौर पर स्वीकार किया जाता है कि Huygens उम्मीद पर आधारित संभावना है। शब्द "उम्मीद", हालांकि, वैन-शुटेन के ह्यूजेंस के ग्रंथ के लैटिन अनुवाद से उपजा है। Huygens के डच पाठ का शाब्दिक अनुवाद अधिक स्पष्ट रूप से दिखाता है कि Huygens का वास्तव में क्या मतलब है और वह कैसे आगे बढ़ा।

Fermat के संबंध में अतिरिक्त विवरण, पास्कल उम्मीद और प्रारंभिक संभावनाओं में पाया जा सकता है ।

Answer 6

दिलचस्प बात यह है की तुलना में अधिक सामान्य अवधारणा उम्मीद मूल्य है स्थान । इस प्रकार, अपेक्षित मूल्य की अवधारणा के कुछ निहितार्थ हैं जो सूक्ष्म निहितार्थ हैं।

यह सवाल करना वाजिब है कि मरने के प्रत्याशित परिणाम के साथ 3.5 का क्या मतलब है। इसका उत्तर यह है कि यद्यपि लुढ़का हुआ पासा परिणामों का औसत मूल्य 3.5 है, कि अपेक्षित मूल्य अवधारणा केवल औसत या औसत मूल्य का संकेत देती है, और केवल सीमित वर्ग के कार्यों के लिए एक उम्मीद है, यहां प्रश्न के लिए विशिष्ट मर रोल शामिल नहीं है। परिणामों। इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, हालांकि औसत रोल परिणाम 3.5 है, तो क्या? पर्याप्त रूप से, कोई एक संदर्भ (कुछ वैकल्पिक ब्रह्मांड में) का आविष्कार कर सकता है, जहां एक औसत मूल्य का अर्थ है, लेकिन, परिणाम मर जाते हैं भुगतान , और परिणाम$ 1 ≥ $\leq 3$$\$1$$\geq 4$ $ 1 खो देता है, साथ ही एक औसत के रूप में काम करता है, जिसका लाभ वास्तव में इस ब्रह्मांड में परिणाम है।

शब्द "अपेक्षित मूल्य" और "माध्य मान" के बीच असमान रूप से प्रतिबंधित एसोसिएशन का कारण शब्दार्थिक रूप से सही है, या विशेष रूप से अस्पष्ट है। यही है, वह संदर्भ जिसमें एक परिकलित अपेक्षित मान डेटा सेट में किसी स्थान की विशेषता व्यवहार की अपेक्षा के अनुरूप है, डेटा के केवल कुछ वितरणों तक सीमित है, और अन्य नहीं।

यह ऐतिहासिक है जो सांख्यिकीय क्षणों की धारणा द्वारा समर्थित है। यह व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है कि 1887 में कठोरता के आधुनिक मानकों तक कठोरता के आधुनिक मानकों तक केंद्रीय सीमा प्रमेय का पहला प्रमाण दिया गया था। उनके तर्क ने क्षणों की विधि पेश की। । अब का पहला क्षण चेबीशेव के लिए था, जो एक बोरेल सेट का औसत मूल्य था । एक औसत मूल्य की अवधारणा इस प्रकार सामान्य वितरण के लिए एक अपेक्षित मूल्य है, अर्थात्, घनत्व फ़ंक्शन, जो केंद्रीय सीमा प्रमेय है$f$ इस प्रकार चेबिशेव 1887 में लागू होने योग्य है। केंद्रीय सीमा प्रमेय की ताकत ऐसी है कि यह एक सामान्य मूल्य के साथ अपेक्षित मान को संबद्ध करने के लिए एक अभिभावकीय अभिव्यक्ति बन गई, क्योंकि यह स्थान के अधिक सामान्य माप के विपरीत है।

लेकिन उन डेटा वितरणों के बारे में जो सामान्य नहीं हैं जिनके लिए अन्य उपाय अधिक स्थिर हैं और / या उस डेटा के अधिक प्रतिनिधि हैं? उदाहरण के लिए, एक समान वितरण से डेटा की मध्य-सीमा मूल्य या औसत चरम मूल्य अधिक सटीक और स्थिर है, अर्थात, सटीक और उस वितरण के माध्य या माध्यिका की तुलना में तेजी से परिवर्तित होता है। लॉग-नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के लिए, उदाहरण के लिए, (इनकम ट्रीटमेंट का बहुत) इनकम डेटा, डेटा के लॉगरिदम के मतलब का एंटी-लॉग (AKA ज्यामितीय माध्य), उदाहरण के लिए, मध्यम आय डेटा (), डेटा के बजाय (जैसे, आय का मतलब) स्वयं, उस डेटा में सम्मिलित होने के लिए एक व्यक्तिगत सोच (या प्रत्याशित डेटा) के अधिक संकेत होगा जो एक अनुमानित परिणाम के रूप में हो सकता है। यह अच्छी तरह से जाना जाता है कि वाक्यांश द्वारा सचित्र है, "मैं 5-आंकड़ा वेतन का अनुमान लगा रहा हूं।" वास्तविक आय के लिए इसका एक उदाहरण इस प्रकार है। एक अन्य उदाहरण, पारेटो वितरण, जिसका उपयोग आय गणना के लिए भी किया जाता है, ( 80/20 कानून , और उच्च आय डेटा देखें ) में अक्सर एक अपरिभाषित अपेक्षित मूल्य ( का पहला क्षण होता है जब अल्फा ≤ 1 अल्फा ≤ 1 अल्फा > $\alpha \beta ^{\alpha } t^{-\alpha -1}$$\alpha \leq 1$), इस तरह के वितरण के लिए, यह एक परिणाम के लिए एक अनुमानित मूल्य होने का अनुमान लगाने के लिए एक गलती होगी। उस स्थिति में, Pareto वितरण देखें , माध्यिका, ज्यामितीय माध्य और हार्मोनिक माध्य स्थान के बेहतर उपाय हैं, केवल इसलिए नहीं कि आवश्यकता को हटा दिया जाता है, बल्कि इसलिए भी क्योंकि वे होने पर भी कम परिवर्तनशील होते हैं । अधिक जानकारी यहां क्लॉसैट ए, शालिज़ी सीआर, न्यूमैन एमई में मिलती है। अनुभवजन्य डेटा में पावर-लॉ वितरण। SIAM समीक्षा 2009; 51: 661-703 , और यहाँ ।$\alpha \leq 1$$\alpha \gt 1$