प्रमाण है कि यदि उच्च क्षण विद्यमान है तो निम्न क्षण भी विद्यमान है

$r$ एक यादृच्छिक चर के मई के पल $X$ है परिमित अगर

E (| X^{r} |) < \infty

$\mathbb E(|X^r|)< \infty$

मैं यह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $s<r$ , तब $s$ -th क्षण $\mathbb E[|X^s|]$ भी परिमित है।

self-study moments function

— नोना
स्रोत

क्या यह होमवर्क है? यदि हां, तो आपने अब तक क्या प्रयास किया है? इसके अलावा, मैंने आपके प्रश्न को अधिक पठनीय बनाने की कोशिश की है, कृपया मुझे बताएं कि क्या मैंने गलती की है।

— Gschneider

मैंने बिलिंग्सले पाठ्यपुस्तक पढ़ी और इंटरनेट पर खोज की लेकिन कोई सटीक प्रमाण मौजूद नहीं है। मैंने जो पाया वह सिर्फ एक सुराग है शायद जेन्सन की असमानता का उपयोग किया जा सकता है।

— नॉन

पुनर्लेखन पर विचार करें

| X^{r} |

$|X^r|$ जैसा

| X^{s} \cdot X^{r - s} |

$|X^s \cdot X^{r-s}|$ और देखें कि क्या यह आपको कहीं भी मिलता है।

— Gschneider

मौजूदा और परिमित होने के बीच एक अंतर है । विशेष रूप से, एक क्षण मौजूद हो सकता है, लेकिन अनंत हो सकता है। आपके द्वारा पेश की जा रही शब्दावली थोड़ी अड़चने वाली है। किसी भी घटना में, यह

L_{p}

$L_p$ रिक्त स्थान के बारे में एक मानक परिणाम है ; यह सच नहीं है कि "कोई सटीक प्रमाण मौजूद नहीं है"। :)

— कार्डिनल

$0<s<r \Longrightarrow \forall X \, |X|^s \le \max(1, |X|^r)$

— StasK
स्रोत

ठीक। आप इसे जेनसन की असमानता की मदद से भी साबित कर सकते हैं।

— स्टीफन लॉरेंट

(+1) मुझे यह पसंद है क्योंकि यह अपेक्षा के केवल सबसे बुनियादी गुणों पर निर्भर करता है, अर्थात् एकरसता। यदि किसी को इस बात की चिंता है कि दाएं हाथ के साथ क्या करना है, तो वे उस को नोट कर सकते हैं । यदि कोई जेन्सेन के आवेदन को पसंद करता है, तो वे लिख सकते हैं और ध्यान दें कि ।

max (1, | X |^{r}) \leq 1 + | X |^{r}

$\max(1,|X|^r) \leq 1 + |X|^r$

| X |^{r} = (| X |^{s})^{r / s}

$|X|^r = (|X|^s)^{r/s}$

r / s \geq 1

$r/s \geq 1$

— कार्डिनल

@cardinal: (+1) मैं आपकी असमानता को पसंद करता हूं क्योंकि इसमें सीधे शामिल हैं ...

| X |^{r}

$|X|^r$

— शीआन