हार्मोनिक मतलब चुकता रिश्तेदार त्रुटियों की राशि को कम करता है

Question

मैं एक संदर्भ की तलाश में हूं जहां यह साबित हो कि हार्मोनिक का मतलब है

$$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

न्यूनतम ( $z$ ) चुकता सापेक्ष त्रुटियों का योग

$$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$$

Answer 1

$x_i > 0$

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$$ $z$ $$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$$ $f'(z)=0$ $$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$$ $x_i>0$

संदर्भ के लिए, शायद https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean या https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean या उसमें संदर्भ।

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। एक संदर्भ मुझे कुछ जगह बचाएगा। मैं लेम्मा के स्व-निहित प्रमाण को शामिल किए बिना परिणाम को एक और प्रमाण में एक लेम्मा के रूप में उद्धृत करना चाहता हूं।

— मार्टिन वान डेर लिंडेन

एक स्पष्ट संदर्भ खोजने के लिए मुश्किल है, इसके मूल में से एक के लायक माना जाता है! क्या आप यह नहीं कह सकते हैं कि प्रमाण एक मूल पथरी व्यायाम है?

— kjetil b halvorsen

जैसा कि बुनियादी है, मैं हमेशा एक संदर्भ प्रदान करना पसंद करता हूं। लेकिन मैं समझता हूं कि बुनियादी परिणामों के लिए एक संदर्भ खोजना मुश्किल है, और पाठक को प्रमाण छोड़ना स्पष्ट रूप से एक विकल्प है।

— मार्टिन वान डेर लिंडेन

अस्थायी ऑफ-टॉपिक पिंग: स्पीयरमैन के लिए वोटिंग पर विचार करें-> स्पीयरमैन- rho पर्यायवाची यहाँ आँकड़े । धन्यवाद

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

Answer 2

आप बता सकते हैं कि यह वजन साथ कम से कम वर्ग प्रतिगमन है ।$1/x_i$

एक मानक संकेत है जिसमें आप को खोजने के लिए तलाश करने के लिए संदर्भ के साथ संबंध, पूर्ववत करने के लिए कि कम करता है$\beta$

$$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$$

यह एकल स्थिर और भार मैट्रिक्स

$$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$$ $$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$$

मैंने " " ("प्रतिक्रिया") के रूप में " " का नाम बदल दिया है और अनुमानित पैरामीटर बजाय । वजन । यह आवश्यक है कि वे सभी से अधिक हों । उपाय है$x_i$$y_i$$\beta$$z$$\omega_i=1/x_i$$0$

$$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$$

QED ।

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टिप्पणियाँ

1. एक ही विश्लेषण वजन के किसी भी सकारात्मक सेट पर लागू होता है, हार्मोनिक मतलब के सामान्यीकरण और इसे चिह्नित करने के लिए एक उपयोगी तरीका प्रदान करता है।

2. जब, एक नियंत्रित प्रयोग के रूप में, को निश्चित (और यादृच्छिक नहीं) के रूप में देखा जाता है, भारित कम से कम वर्गों की मशीनरी विश्वास अंतराल और भविष्यवाणी अंतराल, आदि प्रदान करती है । दूसरे शब्दों में, इस सेटिंग में समस्या को स्वचालित रूप से डालना आपको हार्मोनिक माध्य की सटीकता का आकलन करने का एक तरीका देता है।$x_i$

3. हार्मोनिक मतलब को एक भारित समस्या के समाधान के रूप में देखने से इसकी प्रकृति और विशेष रूप से डेटा के प्रति संवेदनशीलता के बारे में जानकारी मिलती है। अब यह स्पष्ट है कि सबसे महत्वपूर्ण योगदानकर्ता के सबसे छोटे मूल्यों के साथ हैं - और उनके महत्व को वेट मैट्रिक्स द्वारा निर्धारित किया गया है ।$x_i$$W$

संदर्भ

डगलस सी। मोंटगोमरी, एलिजाबेथ ए। पेक, और जी। जेफ्री विनिंग, रेखीय प्रतिगमन विश्लेषण का परिचय। पांचवें संस्करण। जे। विली, 2012. धारा 5.5.2।