संभावना है कि बूटस्ट्रैप नमूना मूल नमूने के समान ही है

Question

बस कुछ तर्क की जाँच करना चाहते हैं।

यदि मेरा मूल नमूना आकार और मैं इसे बूटस्ट्रैप करता हूं, तो मेरी विचार प्रक्रिया इस प्रकार है:$n$

$\frac{1}{n}$ मूल नमूने से निकाले गए किसी भी अवलोकन का मौका है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि अगला ड्रा पूर्व नमूना अवलोकन नहीं है, हम नमूना आकार को तक सीमित कर देते हैं । इस प्रकार, हमें यह पैटर्न मिलता है:$n-1$

$$\frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n-1} \cdot \frac{1}{n-2} \cdots \frac{1}{n-(n-1)} = \frac{1}{n!}.$$

क्या ये सही है? मैं इस बात पर अड़ गया कि यह बजाय क्यों नहीं हो सकता ।$(\frac{1}{n})^n$

Comments

मुझे यकीन नहीं है कि मैं आपका पीछा कर रहा हूं। आप "यह सुनिश्चित करना चाहते हैं कि अगला ड्रॉ पिछला नमूना नहीं है"? बूटस्ट्रैपिंग में, विचार प्रतिस्थापन के साथ नमूना करना है। यही है, आप चाहते हैं कि यह संभव हो कि अगला ड्रॉ वही हो जो आपने पहले ही खींचा है।

— गूँग - मोनिका

लेकिन इसका मतलब यह नहीं होगा कि बूटस्ट्रैप्ड नमूना मूल नमूने के समान नहीं है?

— जयंत

मैं तुम्हारा पीछा नहीं करता। आप जरूरी नहीं चाहते कि बूटप्लस आपके नमूने के समान हो, आप सिर्फ नमूने को आबादी के मॉडल के रूप में व्यवहार करना चाहते हैं।

— गूँग -

तो मेरा सवाल यह है कि क्या मौका है कि बूटस्ट्रैप नमूना मूल नमूने के समान है। मैं नमूने के समान बूटस्ट्रैप में दिलचस्पी रखता हूं

— जयंत

क्षमा करें यदि मेरा प्रश्न स्पष्ट नहीं था!

— जयंत

Answer 1

ध्यान दें कि प्रत्येक अवलोकन स्थिति पर ( ) हम किसी भी अवलोकनों को चुन सकते हैं , इसलिए संभव संकल्प हैं (जिस क्रम में वे तैयार किए गए हैं उसे ध्यान में रखते हुए)$i=1, 2, ..., n$$n$$n^n$$n!$ "एक ही नमूना" हैं (अर्थात सभी समाहित हैं $n$कोई दोहराव के साथ मूल टिप्पणियों; हमारे द्वारा शुरू किए गए नमूने के आदेश के सभी तरीकों के लिए यह खाता है)।

उदाहरण के लिए, तीन अवलोकनों के साथ, ए, बी और सी, आपके पास 27 संभावित नमूने हैं:

aaa aab aac aba abb abc aca acb acc 
baa bab bac bba bbb bbc bca bcb bcc 
caa cab cac cba cbb cbc cca ccb ccc 

उनमें से छह में से प्रत्येक में एक, बी और सी शामिल हैं।

इसलिए $n!/n^n$ मूल नमूना वापस मिलने की संभावना है।

एक तरफ - संभावना का एक त्वरित सन्निकटन:

उस पर विचार करें :

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!\leq e\ n^{n+{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$

इसलिए

$${\displaystyle {\sqrt {2\pi }}\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}\leq n!/n^n \leq e\ n^{{\frac {1}{2}}}e^{-n}}$$

निचली सीमा के साथ स्टर्लिंग सन्निकटन के लिए दी गई सामान्य सीमा (जिसमें बड़े के लिए कम सापेक्ष त्रुटि है $n$)।

[गोस्पर ने उपयोग करने का सुझाव दिया है$n! \approx \sqrt{(2n+\frac13)\,\pi}n^ne^{-n}$ जो सन्निकटन पैदा करेगा $\sqrt{(2n+\frac13)\pi}\,e^{-n}$ इस संभावना के लिए, जो यथोचित रूप से अच्छी तरह से काम करता है $n=3$, या यहां तक ​​कि नीचे करने के लिए $n=1$ आपके मापदंड कितने कठोर हैं, इस पर निर्भर करता है]

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(टिप्पणी करने के लिए प्रतिक्रिया :) किसी दिए गए फिर से शुरू में एक विशेष अवलोकन नहीं मिलने की संभावना है $(1-\frac{1}{n})^n$ जो बड़े के लिए $n$ लगभग है $e^{-1}$।

विवरण के लिए देखें कि
प्रत्येक बूटस्ट्रैप नमूने में औसतन दो तिहाई अवलोकन क्यों होते हैं?

Comments

धन्यवाद! ब्याज के बिंदु के रूप में, एक नमूने में किसी विशेष प्रविष्टि को नहीं पाने का क्या मौका है? के वितरण के साथ उदाहरण के लिए$a,b,c$ आपने दिया, ए के साथ नमूना नहीं मिलने का 8/27 मौका है $a$

— जयंत

यह पहले से ही साइट पर अन्य उत्तरों में शामिल है, लेकिन मैंने इसे ऊपर (संक्षेप में) जोड़ दिया है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

तो, यह एक नमूना प्राप्त करने की संभावना है जो मूल नमूने का क्रमचय है। इसके बजाय, मूल नमूने की तरह ही अनुक्रम प्राप्त करने की संभावना (इस प्रकार, उसी क्रम में समान तत्व) है$(\frac {1}{n})^n$। सही?

— डेल्टिव

@deltaiv हाँ, केवल एक $n!$व्यवस्था मूल क्रम में है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Gosper की सन्निकटन अच्छी तरह से नीचे भी काम नहीं करता है $n=1$नहीं बस नीचे करने के लिए $n=3$? मुझे लगता है कि 0.499 (के लिए)$n=2$) 0.5 के लिए एक बहुत अच्छा सन्निकटन है, और 0.996 (के लिए) $n=1$) भी 1.0 के काफी करीब है।

— कार्ल ओवे हफथमर