लॉजिस्टिक ग्रोथ डेटा के आसपास त्रुटि का वितरण क्या है?

Question

पारिस्थितिकी में, हम अक्सर लॉजिस्टिक विकास समीकरण का उपयोग करते हैं:

$$N_t = \frac{ K N_0 e^{rt} }{K + N_0 e^{rt-1}}$$

या

$$N_t = \frac{ K N_0}{N_0 + (K -N_0)e^{-rt}}$$

जहां $K$ ले जाने की क्षमता है (अधिकतम घनत्व पहुंच गया है), $N_0$ प्रारंभिक घनत्व है, $r$ विकास दर है, $t$ प्रारंभिक समय से है।

N_t के मान $N_t$में एक नरम ऊपरी बाउंड $(K)$ और एक निचला बाउंड $(N_0)$ , जिसमें 0 से कम मजबूत बाउंड होता है $0$।

इसके अलावा, मेरे विशिष्ट संदर्भ में, N_t की माप $N_t$ऑप्टिकल घनत्व या प्रतिदीप्ति का उपयोग करके की जाती है, जिसमें दोनों में एक सैद्धांतिक मैक्सिमा होती है, और इस प्रकार एक मजबूत ऊपरी सीमा होती है।

N_t के आसपास त्रुटि $N_t$इस प्रकार शायद एक बँटे हुए वितरण द्वारा वर्णित है।

N_t के छोटे मूल्यों पर $N_t$, वितरण में संभवतः एक मजबूत सकारात्मक तिरछा है, जबकि K के पास N_t के मूल्यों में $N_t$, वितरण में संभवतः एक नकारात्मक नकारात्मक तिरछा है। इस प्रकार वितरण में संभवतः एक आकार पैरामीटर होता है जिसे N_t से जोड़ा जा सकता है $N_t$।

N_t के साथ विचरण भी बढ़ सकता है $N_t$।

यहाँ एक चित्रमय उदाहरण है

साथ में

K<-0.8
r<-1
N0<-0.01
t<-1:10
max<-1

जिसका उत्पादन r के साथ किया जा सकता है

library(devtools)
source_url("https://raw.github.com/edielivon/Useful-R-functions/master/Growth%20curves/example%20plot.R")

• आसपास सैद्धांतिक त्रुटि वितरण क्या होगा (दोनों मॉडल और प्रदान की गई अनुभवजन्य जानकारी पर विचार करें)?$N_t$

• इस वितरण के पैरामीटर या समय के मान से कैसे संबंधित हैं (यदि मापदंडों का उपयोग कर रहे थे तो मोड सीधे संबद्ध नहीं हो सकता है । logis normal)?$N_t$$N_t$

• क्या इस वितरण का में घनत्व समारोह लागू है ?$R$

अब तक खोजे गए दिशा-निर्देश:

• आसपास सामान्यता मान ( अनुमानों की ओर जाता है )$N_t$$K$
• N_t आसपास सामान्य वितरण इन करें, लेकिन आकार के मापदंडों अल्फा और बीटा को फिट करने में कठिनाई$N_t/max$
• के तर्क के आसपास सामान्य वितरण$N_t/max$

Comments

त्रुटि के वितरण पर ध्यान केंद्रित करने से यह प्रश्न किसी मॉडल के बारे में परिष्कृत सोच को दर्शाता है, लेकिन कृपया ध्यान दें कि कार्यात्मक रूप के लिए त्रुटि वितरण के लिए आवश्यक रूप से स्वयं फॉर्म से कोई संबंध नहीं है। एक वैध उत्तर के अवयव इसकी बजाय जानकारी में पाए जाते हैं कि विकास कैसे होता है, और में प्राकृतिक बदलावों के बारे में और समय के साथ (जो आवश्यक रूप से त्रुटि में अवशोषित हो जाएगा), संभावित मॉडल गलत-विनिर्देश के बारे में, और कैसे ( और ) मापा जाता है। $K$$r$$N_t$$t$

— व्हिबर

@whuber, मैंने आपके कुछ टिप्पणियों को हाल ही में संपादित करने की कोशिश की।

— एटिएन लो-डेकेरी

5 सोचें कि यदि आप जिस तरह से हैं, तो आप शोर वितरण के गुणों को चिह्नित कर सकते हैं, तो आप उन गुणों के साथ एक पैरामीट्रिक फॉर्म चुन सकते हैं। मुझे लगता है कि परिवार को संक्षेप में प्रस्तुत करना होगा 1. एक परिमित अंतराल पर परिभाषित किया जाना चाहिए, 2. बाएं तिरछा, दाहिने तिरछा और समरूपता की अनुमति दें। और 3. एक भिन्नता है जो Nt के रूप में बढ़ती है। बीटा वितरण 1 और 2 के लिए बिल फिट करता है। निश्चित अंतराल [0, 1] है। इसलिए विचरण को बढ़ाने के लिए हम एक पैरामीटर c जोड़ सकते हैं जो वितरण को इंटरव्लस में फैलाता है [0, c]।

— माइकल आर। चेरिक

Answer 1

जैसा कि माइकल चेरिक ने बताया है, स्केल्ड बीटा वितरण इसके लिए सबसे अच्छा अर्थ है। हालांकि, सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, और उम्मीद है कि आप कभी नहीं करेंगेमॉडल को पूरी तरह से सही पाएं, आप अपने लॉजिस्टिक ग्रोथ इक्वेशन के अनुसार नॉनलाइन रिग्रेशन के माध्यम से माडलिंग को बेहतर बना सकते हैं और इसे स्टैंडर्ड एरर के साथ रैप कर सकते हैं जो कि हेट्रोसेकेडसिटी के लिए मजबूत है। इसे अधिकतम संभावना के संदर्भ में रखने से महान सटीकता की झूठी भावना पैदा होगी। यदि पारिस्थितिक सिद्धांत एक वितरण का उत्पादन करेगा, तो आपको उस वितरण को फिट करना चाहिए। यदि आपका सिद्धांत केवल माध्य के लिए भविष्यवाणी का उत्पादन करता है, तो आपको इस व्याख्या से चिपके रहना चाहिए और पूर्ण-विकसित वितरण की तरह इससे अधिक के साथ आने की कोशिश नहीं करनी चाहिए। (100 साल पहले कर्व्स के पियर्सन की प्रणाली निश्चित रूप से फैंसी थी, लेकिन यादृच्छिक प्रक्रियाएं घनत्व घटता का उत्पादन करने के लिए अंतर समीकरणों का पालन नहीं करती हैं, जो इन घनत्व घटता के साथ उनकी प्रेरणा थी - बल्कि,$N_t$ ही - मैं एक उदाहरण के रूप में वितरण के बारे में सोच रहा हूं - और मुझे पूरी तरह से यकीन नहीं है कि यह प्रभाव स्केल किए गए बीटा वितरण द्वारा कब्जा कर लिया जाएगा; यह, इसके विपरीत, संकुचित हो जाता है क्योंकि आप इसके सैद्धांतिक ऊपरी हिस्से की ओर खींचते हैं, जो आपको करना पड़ सकता है। यदि आपके माप उपकरण में मापों की ऊपरी सीमा है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि आपकी वास्तविक प्रक्रियाएक ऊपरी सीमा होनी चाहिए; मैं इसके बजाय यह कहूंगा कि आपके उपकरणों द्वारा शुरू की गई माप त्रुटि महत्वपूर्ण हो जाती है क्योंकि प्रक्रिया उस ऊपरी सीमा तक पहुंच जाती है जिसे उचित रूप से सटीक रूप से मापा जाता है। यदि आप अंतर्निहित प्रक्रिया के साथ माप को भ्रमित करते हैं, तो आपको उस स्पष्ट रूप से पहचानना चाहिए, लेकिन मुझे लगता है कि आपके डिवाइस के काम करने के तरीके की तुलना में आपको इस प्रक्रिया में अधिक रुचि होगी। (यह प्रक्रिया अब से 10 साल बाद होगी; नए माप उपकरण उपलब्ध हो सकते हैं, इसलिए आपका काम पुराना हो जाएगा।)

Comments

बहुत बहुत धन्यवाद! मैं सहमत हूं कि प्रक्रिया और माप का एक अलगाव दिलचस्प है। मैं हालांकि सुझाव दूंगा कि अधिकांश माप विधियों में यह मजबूत ऊपरी सीमा होती है, लेकिन इसे अलग करना महत्वपूर्ण हो सकता है। यदि मुझे MLE फिटिंग आत्मविश्वास के बारे में आपकी चेतावनी के बावजूद, स्केल्ड बीटा का उपयोग करना है, तो MLE के लिए अनुमति देने के लिए वैरिएबल को इस सिस्टम के आकार मापदंडों से कैसे संबंधित किया जाए?

— इटियेन लो-डेकेरी

यदि आप आश्वस्त हैं कि आपके आवेदन में आपकी सीमाएं वास्तव में महत्वपूर्ण हैं, तो आप बस इस स्केल किए गए बीटा से चिपके रह सकते हैं। मैं केवल इतना कह रहा हूं कि मैं आश्वस्त नहीं हूं। काटे गए डेटा के लिए मॉडल हैं, जहां आप सभी जानते हैं कि वास्तविक मूल्य आपके द्वारा मापा जा सकने वाले अधिकतम से अधिक है; उन्हें कभी-कभी आय के शीर्ष-कोडिंग के साथ एक साथ उपयोग किया जाता है, जबकि गोपनीयता कारणों से USD 100K / वर्ष से अधिक आय के कारण आय 100K / वर्ष तक कम हो जाती है।

— StasK

Answer 2

@ वाउचर सही है कि त्रुटि मॉडल के वितरण के लिए इस मॉडल के संरचनात्मक भाग का कोई आवश्यक संबंध नहीं है। तो सैद्धांतिक त्रुटि वितरण के लिए आपके प्रश्न का कोई उत्तर नहीं है।

इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक अच्छा सवाल नहीं है - बस इसका जवाब काफी हद तक अनुभवजन्य होना चाहिए।

आपको लगता है कि यादृच्छिकता additive है। ऐसा होने के लिए मुझे कोई कारण नहीं लगता (कम्प्यूटेशनल सुविधा के अलावा)। क्या एक विकल्प है कि मॉडल में कहीं और एक यादृच्छिक तत्व है? उदाहरण के लिए निम्नलिखित देखें, जहां यादृच्छिकता को 1 के अर्थ के साथ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, केवल अनुमान लगाने के लिए विचरण। मेरे पास यह सोचने का कोई कारण नहीं है कि यह सही है कि इसके अलावा यह बहुत ही सुखद परिणाम पैदा करता है जो कि आप जो देखना चाहते हैं उससे मेल खाते हैं। यह एक मॉडल है जो मैं नहीं जानता के आकलन के आधार के रूप में इस तरह से कुछ का उपयोग करने के लिए व्यावहारिक होगा।

loggrowth <- function(K, N, r, time, rand=1){
    K*N*exp(rand*r*time)/(K+N*exp(rand*r*time-1)))}

plot(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100, rnorm(100,1,0.1)), 
    type="p", ylab="", xlab="time")
lines(1:100, loggrowth(100,20,.08,1:100))

Comments

इस स्थिति में, आप शून्य से नीचे और कठिन ऊपरी सीमा के ऊपर Nt मान रख सकते हैं। इसके अलावा, शोर सभी मापदंडों में अपेक्षित है (जरूरी नहीं कि समय के साथ एक पैरामीटर के उत्पाद में), इसलिए प्रतिक्रिया चर पर शोर। मैं अभी भी आप दृष्टिकोण की अधिकतम संभावना व्याख्या में रुचि होगी।

— एटिने लो-डेकेरी

यह वितरण को प्रत्येक Nt के लिए बाध्य नहीं होने देता है और शोर घटक को तिरछा नहीं होने देता है। मुझे नहीं पता कि साहित्य में एक स्केल किए गए बीटा वितरण का मेरा विचार इस्तेमाल किया गया है या नहीं, लेकिन यह प्रतिबंधों को अच्छी तरह से संतुष्ट करता है। मैंने इसकी कोशिश नहीं की है, लेकिन शायद अधिकतम संभावना की कोशिश की जा सकती है। मुझे यकीन नहीं है लेकिन शायद एक समस्या होगी अगर सी संभावना अनुमान में शामिल है। शायद c को केवल Nt के आधार पर अलग से अनुमानित किया जा सकता है और फिर बाकी मॉडल प्रत्येक निश्चित Nt के लिए अधिकतम संभावना द्वारा फिट किया जा सकता है।

— माइकल आर। चेरिक

मैं सिर्फ जोर से सोच रहा हूं। क्या किसी को लगता है कि इस समस्या को एक अच्छे शोध पत्र में बदल दिया जा सकता है?

— माइकल आर। चेरिक

1966 के एक पेपर ने इस पर थोड़ा गौर किया, हालांकि मैंने हाल ही में एक नहीं देखा। मैं शायद चीजों को बदल दिया है? jstor.org/discover/10.2307/…

— एटिएन लो-

यदि आप इस मार्ग पर जाने का निर्णय लेते हैं तो कृपया मुझे बताएं।

— इटियेन लो-डेकेरी