कैसे है

Question

चलो कार्तीय $x,y$ एक यादृच्छिक बिंदु के निर्देशांकों का चयन किया जाना सेंट $(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$ ।

इस प्रकार, त्रिज्या, $\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$ , समान रूप से$\rho$केपीडीएफद्वारा निहित के रूप में वितरित नहीं किया गया है।

फिर भी मैं ar = arctan y की उम्मीद करूंगा$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$किनारों पर 4 बचे होने के कारण कलाकृतियों को छोड़कर, x लगभग एक समान होना चाहिए:

बाद grafically गणना कर रहे हैं प्रायिकता घनत्व कार्यों की $\theta$ और $\rho$ :

अब अगर मैं जाने $x,y$ वितरित सेंट जा $x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$ तो $\theta$ समान रूप से वितरित लगता है:

क्यों वर्दी जब नहीं है ( एक्स , वाई ) ~ यू ( - 10 , 10 ) × यू ( - 10 , 10 ) और एक समान है जब एक्स , वाई ~ एन ( 0 , 20 2 ) × एन ( 0 , 20 2 ) ?$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

मैटलैब कोड जिसका मैंने उपयोग किया:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

3 लाइन स्थानापन्न: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);साथ r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;के वितरण बदल जाएगा वर्दी के लिए सामान्य से।$(x,y)$

Comments

यह प्रश्न हर संपादन के साथ सुंदर और सुंदर दिखता है और प्रश्न का शीर्षक स्पष्ट और अधिक संक्षिप्त होता है। शाबाश @ 0x90।

— माइकल आर। चेर्निक

+1। यह दिलचस्प है कि सामान्य वितरण केवल एक ही है जो समान रूप से वितरित कोण (यानी एक घूर्णी सममित 2 डी वितरण के लिए) की ओर जाता है, आँकड़े देखें ।stackexchange.com/a/255417/28666 ।

— अमीबा का कहना है कि

Answer 1

आप स्वतंत्र चर की एक जोड़ी से ध्रुवीय प्रतिनिधित्व ( आर , θ ) (त्रिज्या और कोण) में परिवर्तन का उल्लेख कर रहे हैं , और फिर θ के सीमांत वितरण को देख रहे हैं ।$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

मैं कुछ हद तक सहज व्याख्या की पेशकश करने जा रहा हूं (हालांकि घनत्व का एक गणितीय व्युत्पत्ति अनिवार्य रूप से जो मैं अनौपचारिक रूप से वर्णन करता हूं)।

ध्यान दें कि यदि आप दो चर, X और Y को कुछ सामान्य पैमाने से मापते हैं (जैसे U (-1,1) से U (-10,10) या N (0,1) से N (0,20) एक ही समय में दोनों चर पर) जो कोण के वितरण पर कोई फर्क नहीं पड़ता (यह केवल त्रिज्या के वितरण के पैमाने को प्रभावित करता है)। तो चलो बस यूनिट के मामलों पर विचार करें।

पहले विचार करें कि वर्दी मामले के साथ क्या हो रहा है। ध्यान दें कि वितरण इकाई वर्ग पर एक समान है, ताकि उस क्षेत्र में संभावना घनत्व जो कि भीतर निहित हैक्षेत्र के क्षेत्र के लिए आनुपातिक हो। विशेष रूप से, घनत्व पर नज़र कोण का एक तत्व, के साथ जुड़े घ θ क्षैतिज (पास कोण के पास θ = 0 ) और विकर्ण (पास कोण पर θ = π / 4 ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

जाहिर संभावना तत्व (यानी क्षेत्र) कोण (का एक तत्व के लिए इसी घ θ ) जब कोण विकर्णों के पास से एक है बड़ा है। वास्तव में वर्ग के अंदर एक सर्कल का वर्णन करने पर विचार करें; सर्कल के भीतर एक दिए गए छोटे कोण द्वारा फैलाया गया क्षेत्र स्थिर है, और फिर सर्कल के बाहर का हिस्सा बढ़ता है क्योंकि हम विकर्ण के पास पहुंचते हैं, जहां यह अपने अधिकतम पर है।$df_\theta$$d\theta$

यह पूरी तरह से सिमुलेशन में आपके द्वारा देखे जाने वाले पैटर्न के लिए है।

वास्तव में, हम देख सकते हैं कि घनत्व वर्ग के केंद्र से इसके किनारे तक की लंबाई के लिए आनुपातिक होना चाहिए; सरल त्रिकोणमिति घनत्व को वहां से प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है और फिर घनत्व को 1 से एकीकृत करने के लिए आवश्यक स्थिरांक को खोजना आसान है।

[संपादित करें: त्रिज्या पर चर्चा करने के लिए इसे अगले बिट में जोड़ा गया, क्योंकि मेरे मूल उत्तर के बाद से प्रश्न बदल गया है।]

ध्यान दें कि यदि हमारे पास यूनिट सर्कल पर एक समान वितरण था (यानी जिसे हमने पहले स्क्वायर में अंकित किया था) तो उसके लिए त्रिज्या का घनत्व त्रिज्या के आनुपातिक होगा (चौड़ाई के एक छोटे से कुंडली तत्व के क्षेत्र पर विचार करें त्रिज्या r पर - अर्थात r और r + d के बीच$dr$$r$$r$ - के लिए क्षेत्र आनुपातिक है आर )। तब के रूप में हम बाहर चक्र, बड़ा त्रिज्या के साथ नई कुंडलाकार क्षेत्रों से गुजरती हैं केवल, वर्ग में भाग से घनत्व योगदान मिलता है तो घनत्व के बीच कम हो जाती है (शुरू में काफी तेजी से है, तो और अधिक धीरे धीरे) 1 और$r+dr$$r$$1$ । (फिर, काफी सरल ज्यामितीय धारणाएं घनत्व के कार्यात्मक रूप को प्राप्त करने के लिए पर्याप्त हैं यदि यह आवश्यक है।)$\sqrt 2$

---

इसके विपरीत, अगर संयुक्त वितरण मूल के बारे में घूर्णी रूप से सममित है, तो कुछ कोण पर संभाव्यता तत्व कोण पर निर्भर नहीं करता है (यह अनिवार्य रूप से एक टॉटोलॉजी है!)। दो स्वतंत्र मानक गाऊसी लोगों के बीवरिएट वितरण मूल के बारे में घूर्णी रूप से सममित है:

(यहाँ एलान कोहेन के कोड के आधार पर इस छवि के लिए कोड है, लेकिन यहाँ एक अच्छा विकल्प है , और यहाँ दोनों के बीच कुछ है )

नतीजतन मात्रा कुछ कोण में निहित हर के लिए एक ही है $d\theta$$\theta$ , इसलिए कोण के साथ जुड़े घनत्व पर एक समान है ।$[0,2\pi)$

[आम तौर पर वास्तविक लाइन पर सामान्य घनत्व को एकीकृत करने के लिए उपयोग की जाने वाली ध्रुवीय चाल का उपयोग यह पता लगाने के लिए किया जा सकता है कि चौकोर त्रिज्या का घनत्व ऋणात्मक घातांक है, और वहां से त्रिज्या का घनत्व एक साधारण परिवर्तन तर्क द्वारा पहचानना आसान है वितरण समारोह]

Comments

के वितरण में चार कीलें वास्तव में वर्ग के चारों कोनों के कारण होते हैं ( - 10 , 10 ) 2 । ध्यान दें कि किसी भी स्फेरिकली सममित वितरण पर समान वितरण को बढ़ावा मिलेगा θ , क्षेत्रों और हलकों में केन्द्रित पर वर्दी के साथ शुरू ( 0 , 0 ) । $\theta$$(-10,10)^2$$\theta$$(0,0)$

— शीआन

+1। यह दिलचस्प है कि सामान्य वितरण केवल एक ही है जो एक घूर्णी सममित 2 डी वितरण की ओर जाता है, आँकड़े देखें ।stackexchange.com/a/255417/28666 । यह मेरे लिए आश्चर्यजनक था।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@amoeba हाँ, यह केवल गोलाकार सममित वितरण है जो स्वतंत्र मार्जिन का उत्पाद है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

मुझे लगता है कि यह बहुत अद्भुत है। अपने उत्तर में इसका उल्लेख करने पर विचार करें!

— अमीबा का कहना है कि

Answer 2

मैं सामान्य मामले के बारे में सवाल का जवाब दूंगा जो समान वितरण के लिए अग्रणी है । यह सर्वविदित है कि यदि और Y स्वतंत्र हैं और सामान्य रूप से वितरित होने की संभावना को निरंतरता घनत्व के x - y समतल में एक चक्र है । त्रिज्या R = $X$$Y$$x-y$ मेंरेले डिस्ट्रीब्यूशन है। इस विकिपीडिया लेख की एक अच्छी चर्चा के लिए जिसका शीर्षक है रेले डिस्ट्रीब्यूशन।$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

अब हम ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए यादृच्छिक चर और Y को देखते हैं ।$X$$Y$

, वाई = आर पाप ( θ ) । ध्यान दें कि X 2 + Y 2 = r 2 । यदि θ पर समान है ( $X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$ और आर एक रेले वितरण है एक्स और वाई स्वतंत्र normals के साथ प्रत्येक हो जाएगा 0 मतलब है और एक आम विचरण। इसका उलटा भी सच है। आक्षेप का प्रमाण मुझे लगता है कि ओपी सवाल के दूसरे भाग के उत्तर के रूप में चाहता है।$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

यहाँ सबूत का एक स्केच है। व्यापकता के नुकसान के बिना हम मान सकते हैं कि को N ( 0 , 1 ) और Y को N ( 0 , 1 ) और एक-दूसरे से स्वतंत्र वितरित किया गया है ।$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

तब संयुक्त घनत्व । प्राप्त करने के लिए ध्रुवीय निर्देशांक के परिवर्तन का प्रयोग करें जी ( आर , θ ) । के बाद से एक्स = आर पाप ( θ ) और y = r क्योंकि ( θ ) । तो $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ औरθ=arctan(x/y)। रूपांतरण के याकूब की गणना करें औरf(x,y)में उचित प्रतिस्थापन करें। एक परिणाम के रूपजी(आर,θ)हो जाएगाआरexp[(-आर2)/(2π)]के लिएआर≥0और0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ । यह दर्शाता है कि$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$ and theta are independent with $r$ having a Rayleigh distribution and theta has the constant density $1/(2 \pi)$.

Comments

What it means is that if you look at the height of the bivariate density at a fixed radial distance from the center (in this case the origin) it will be the same value on all points on that circle.

— Michael R. Chernick

math.hkbu.edu.hk/~hpeng/stat3710/Lecture_note3.pdf

— 0x90

@0x90 Yes your link shows one way to see this is to look at the quadratic form in the exponent of the density. So in general for the bivariate normal setting that exponent to a constant defines the contours of constant density and that equation is one of an ellipse. in the special case when the covariance matrix is a scaled identity matirix the ellipse simplifies to a circle.

— Michael R. Chernick

I think there is an easier way to see the uniformity: for independent normal $X,Y$ with mean $0$, it's easy to show that their ratio is $\operatorname{Cauchy}(0,1)$. Since CDF of Cauchy is simply scaling and translation of $\arctan$, by probability integral transform $\arctan(X/Y)$ is simply a shifted and scaled standard uniform random variable.

— Francis

@Francis Mostly I am appreciative of your thorough editing of all my equations. I also want to say that your comment above definitely shows an imaginative approach to solving the uniformity issue with theta. I am sure some will agree that it is easier.

— Michael R. Chernick

Answer 3

To complete the fairly good answers given by Glen and Michael, I'll just compute the density of $\theta$ when the distribution of $(X,Y)$ is uniform on the square $[-1,1]\times[-1,1]$. This uniform density is $1 \over 4$ on this square, $0$ elsewhere -- that is, the probability of sampling a point in a given region of the square is $1 \over 4$ the area of this region.

The region of interest for our question is the red sector on this drawing:

It’s a triangle delimited by the angle $\theta$ and $\theta + d\theta$. The probability of sampling a point in this triangle is the probability of sampling a value between $\theta$ and $\theta + d\theta$ — which is the density of $\theta$.

I’ll make the computation for $\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$ -- the whole density can be obtained by extending it by $\pi\over 2$ periodicity.

Elementary trigonometry show that the lower side has length $1\over \cos\theta$. The upper size has length

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$ (We’ll see that the precise value of the derivative doesn’t really matter here!)

Now the area of a triangle with two sides of lengthes $a$ and $b$ forming an angle $\alpha$ is ${1\over 2}ab\sin\alpha$, hence in our case

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ (we neglect higher powers of $d\theta$ and use $\sin d \theta= d\theta$).

Thus the density of $\theta$ is

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ for $\theta$ in $\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$, and is $\pi\over 2$ periodic.

Verification:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )