अंतर्ज्ञान (ज्यामितीय या अन्य)

19

विचरण की प्रारंभिक पहचान पर विचार करें:

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [(X - E [X])^{2}] \\ = & . . . \\ = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[(X - E[X])^2]\\ &=& ...\\ &=& E[X^2] - (E[X])^2 \end{eqnarray}$

यह गैर-केंद्रीय क्षणों में केंद्रीय क्षण की परिभाषा का एक सरल बीजगणितीय हेरफेर है।

यह अन्य संदर्भों में सुविधाजनक हेरफेर की अनुमति देता है। यह दो पासों के बजाय एक एकल पास डेटा के माध्यम से विचरण की गणना करने की अनुमति देता है, पहले माध्य की गणना करता है, और फिर विचरण की गणना करता है। $Var(X)$

लेकिन इसका क्या मतलब है ? मेरे लिए कोई तात्कालिक ज्यामितीय अंतर्ज्ञान नहीं है जो लगभग 0. के प्रसार के माध्यम के बारे में फैलता है। जैसा कि एक एकल आयाम पर सेट है, आप एक मतलब के चारों ओर फैले हुए प्रसार को मूल और चौकोर के बीच के अंतर के रूप में कैसे देखते हैं। क्या मतलब है? $X$

क्या कोई अच्छी रेखीय बीजगणित व्याख्या या भौतिक व्याख्याएं या अन्य हैं जो इस पहचान में अंतर्दृष्टि देंगे?

variance descriptive-statistics intuition

— मिच
स्रोत

7

संकेत: यह पायथागॉरियन प्रमेय है।

— whuber

1

@ मैथ्यू मुझे आश्चर्य है कि " " का मतलब क्या है। मुझे संदेह है कि यह एक उम्मीद नहीं है, लेकिन अंकगणित के लिए सिर्फ शॉर्टहैंड है। अन्यथा समीकरण गलत होंगे (और लगभग निरर्थक, क्योंकि वे तब संख्याओं के साथ यादृच्छिक चर की बराबरी करेंगे)।

E

$E$

— whuber

2

@ जब से आंतरिक उत्पादों से दूरी और कोणों का विचार शुरू होता है, और वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के वेक्टर अंतरिक्ष के आंतरिक उत्पाद को (?) के रूप में परिभाषित किया जाता है , मुझे आश्चर्य है कि क्या कुछ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान के माध्यम से दिया जा सकता है? त्रिकोण असमानता। मुझे नहीं पता कि कैसे आगे बढ़ना है, लेकिन मैं सोच रहा था कि क्या इसका कोई मतलब है।

E [X Y]

$\mathbb E[XY]$

— एंटोनी परेलाडा

1

@Antoni त्रिभुज असमानता बहुत सामान्य है। एक आंतरिक उत्पाद एक बहुत अधिक विशेष वस्तु है। सौभाग्य से, उपयुक्त ज्यामितीय अंतर्ज्ञान ठीक यूक्लिडियन ज्यामिति का है। इसके अलावा, यादृच्छिक चर और के मामले में भी , आवश्यक ज्यामिति को और द्वारा उत्पन्न दो-आयामी वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष तक सीमित किया जा सकता है : अर्थात्, यूक्लिडियन विमान में ही। वर्तमान उदाहरण में एक RV प्रतीत नहीं होता है: यह सिर्फ एक ट्रैक्टर है। यहाँ, और द्वारा फैला हुआ स्थान यूक्लिडियन विमान है जिसमें सभी ज्यामिति होती हैं।

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

n

$n$

X

$X$

(1, 1, \dots, 1)

$(1,1,\ldots, 1)$

— व्हीबर

3

मेरे द्वारा लिंक किए गए उत्तर में को सेट करना और (यदि आप चाहें तो सभी शर्तों को विभाजित करना) आपको विचरण के लिए पूर्ण बीजगणितीय समाधान देगा: इसे फिर से कॉपी करने का कोई कारण नहीं है। क्योंकि उस के का समांतर माध्य है , जिस कारण से है सिर्फ बार विचरण के रूप में आप इसे यहाँ परिभाषित किया है, है बार वर्ग समांतर माध्य, और है बार वर्ग मूल्यों का समांतर माध्य।

{\hat{β}}_{1} = 0

$\hat\beta_1=0$

n

$n$

{\hat{β}}_{0}

$\hat\beta_0$

y

$y$

| | y - \hat{y} | |^{2}

$||y-\hat y||^2$

n

$n$

| | \hat{y} | |^{2}

$||\hat y||^2$

n

$n$

| | y | |^{2}

$||y||^2$

n

$n$

— whuber

21

टिप्पणियों में @ व्हीबर के बिंदु पर विस्तार करते हुए, यदि और ऑर्थोगोनल हैं, तो आपके पास पायथागॉरियन प्रमेय है : $Y$ $Z$

‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2}

$\|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2$

ध्यान रखें कि एक वैध आंतरिक उत्पाद है और है आदर्श है कि आंतरिक उत्पाद से प्रेरित । $\langle Y, Z \rangle \equiv \mathrm{E}[YZ]$ $\|Y\| = \sqrt{\mathrm{E}[Y^2]}$

को कुछ रैंडम वैरिएबल होने दें । आज्ञा देना , । यदि और ओर्थोगोनल हैं: $X$ $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$ $Y$ $Z$

\begin{aligned} ‖ Y ‖^{2} + ‖ Z ‖^{2} = ‖ Y + Z ‖^{2} \\ \Leftrightarrow & E [E [X]^{2}] + E [(X - E [X])^{2}] = E [X^{2}] \\ \Leftrightarrow & {E [X]}^{2} + V a r [X] = E [X^{2}] \end{aligned}

$\begin{align*} & \|Y\|^2 + \|Z\|^2 = \|Y + Z\|^2 \\ \Leftrightarrow \quad&\mathrm{E}[\mathrm{E}[X]^2] + \mathrm{E}[(X - \mathrm{E}[X])^2] = \mathrm{E}[X^2] \\ \Leftrightarrow \quad & \mathrm{E[X]}^2 + \mathrm{Var}[X]= \mathrm{E}[X^2] \end{align*}$

और यह दिखाना आसान है कि और इस आंतरिक उत्पाद के अंतर्गत रूढ़िवादी हैं : $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$

⟨ Y, Z ⟩ = E [E [X] (X - E [X])] = E [X]^{2} - E [X]^{2} = 0

$\langle Y, Z \rangle = \mathrm{E}[\mathrm{E}[X]\left(X - \mathrm{E}[X] \right)] = \mathrm{E}[X]^2 - \mathrm{E}[X]^2 = 0$

त्रिकोण का एक पैर , दूसरा पैर , और कर्ण । और पाइथागोरस प्रमेय को लागू किया जा सकता है क्योंकि एक विधमान यादृच्छिक चर इसके अर्थ के लिए ओर्थोगोनल है। $X - \mathrm{E}[X]$ $\mathrm{E}[X]$ $X$

तकनीकी टिप्पणी:

$Y$ इस उदाहरण में वास्तव में वेक्टर होना चाहिए , यह है कि, अदिश बार लगातार वेक्टर (जैसे असतत, परिमित परिणाम मामले में)। , निरंतर वेक्टर पर का वेक्टर प्रक्षेपण है । $Y = \mathrm{E}[X] \mathbf{1}$ $\mathrm{E}[X]$ $\mathbf{1}$ $\mathbf{1} = [1, 1, 1, \ldots, 1]'$ $Y$ $X$ $\mathbf{1}$

सरल उदाहरण

उस मामले पर विचार करें जहां एक बर्नौली यादृच्छिक चर है जहां । हमारे पास है: $X$ $p = .2$

X = [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] P = [\begin{matrix} .2 \\ .8 \end{matrix}] E [X] = \sum_{i} P_{i} X_{i} = .2

$X = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad P = \begin{bmatrix} .2 \\ .8 \end{bmatrix} \quad \mathrm{E}[X] = \sum_i P_iX_i = .2$

Y = E [X] 1 = [\begin{matrix} .2 \\ .2 \end{matrix}] Z = X - E [X] = [\begin{matrix} .8 \\ - .2 \end{matrix}]

$Y = \mathrm{E}[X]\mathbf{1} = \begin{bmatrix} .2 \\ .2 \end{bmatrix} \quad Z = X - \mathrm{E}[X] = \begin{bmatrix} .8 \\ -.2 \end{bmatrix}$

और चित्र है:

लाल सदिश का वर्गीय परिमाण का प्रसरण है , नीले सदिश का परिमाण , और पीले वेक्टर का चुकता परिमाण is । $X$ $\mathrm{E}[X]^2$ $\mathrm{E}[X^2]$

याद रखें कि हालांकि ये परिमाण, ऑर्थोगोनलिटी आदि ... सामान्य डॉट उत्पाद संबंध में नहीं हैं, लेकिन आंतरिक उत्पाद । पीले वेक्टर का परिमाण 1 नहीं है, यह 2 है। $\sum_i Y_iZ_i$ $\sum_i P_iY_iZ_i$

लाल वेक्टर और नीले वेक्टर आंतरिक उत्पाद लेकिन परिचय में लंबवत नहीं हैं हाई स्कूल ज्यामिति भावना। याद रखें कि हम आंतरिक उत्पाद के रूप में सामान्य डॉट उत्पाद का उपयोग नहीं कर रहे हैं ! $Y = \mathrm{E}[X]$ $Z = X - \mathrm{E}[X]$ $\sum_i P_i Y_i Z_i$ $\sum_i Y_i Z_i$

— मैथ्यू गुन
स्रोत

वह वास्तव में अच्छा है!

— एंटोनी परेलाडा

1

अच्छा उत्तर (+1), लेकिन इसमें एक आकृति का अभाव है, और ओपी के लिए थोड़ा भ्रमित करने वाला भी हो सकता है क्योंकि आपका जेड उनका एक्स है ...

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

@ मट्टूगुन, शानदार जवाब। जहाँ यूक्लिडियन अर्थ में ऑर्थोगोनलिटी है, आप प्रतिनिधित्व के लिए नीचे मेरे उत्तर की जाँच कर सकते हैं।

— YBE

मैं अभद्र होने से नफरत करता हूं, लेकिन मुझे , , और तर्क की दिशा सीधी रखने में परेशानी हो रही है ('क्योंकि' उन जगहों पर आता है जो मेरे लिए कोई मतलब नहीं है)। ऐसा लगता है कि बहुत सारे (अच्छी तरह से प्रमाणित) तथ्यों को यादृच्छिक रूप से कहा गया है। आंतरिक उत्पाद किस स्थान पर है? क्यों 1 ?

Z

$Z$

V a r (X)

$Var(X)$

— मिच

@ मिच तार्किक क्रम है: (1) देखें कि एक संभाव्यता स्थान एक वेक्टर स्थान को परिभाषित करता है; हम वैक्टर के रूप में यादृच्छिक चर का इलाज कर सकते हैं। (2) यादृच्छिक चर और के आंतरिक उत्पाद को रूप में परिभाषित करें । एक आंतरिक उत्पाद अंतरिक्ष में, वैक्टर और को ऑर्थोगोनल के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है। (3a) को कुछ रैंडम वैरिएबल होने दें । (3 बी) लेट और । (४) गौर करें कि और ने इस तरह परिभाषित किया है कि वे ऑर्थोगोनल हैं। (5) चूंकि और

Y

$Y$

Z

$Z$

E [Y Z]

$E[YZ]$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

Y = E [X]

$Y = E[X]$

Z = X - E [X]

$Z = X - E[X]$

Y

$Y$

Z

$Z$

Y

$Y$

Z

$Z$ ऑर्थोगोनल हैं, पाइथोगोरस प्रमेय लागू होता है (6) सरल बीजगणित द्वारा, पाइथागोरस प्रमेय पहचान के बराबर है।

— मैथ्यू गुन

8

मैं बहुत विशिष्ट परिदृश्य के लिए विशुद्ध रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण के लिए जाऊंगा। हमें एक असतत मूल्यवान यादृच्छिक चर पर विचार करें लेने मूल्यों संभावनाओं के साथ । हम आगे मानेंगे कि इस यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व में वेक्टर के रूप में किया जा सकता है , । $X$ $\{x_1,x_2\}$ $(p_1,p_2)$ $\mathbb{R}^2$ $\mathbf{X} = \left(x_1\sqrt{p_1},x_2\sqrt{p_2} \right)$

सूचना है कि की लंबाई वर्ग है जो के बराबर है । इस प्रकार, । $\mathbf{X}$ $x_1^2p_1+x_2^2p_2$ $E[X^2]$ $\left\| \mathbf{X} \right\| = \sqrt{E[X^2]}$

चूंकि , वेक्टर की नोक वास्तव में एक दीर्घवृत्त का पता लगाती है। अगर एक reparametrizes यह देखने के लिए आसान हो जाता है और के रूप में और । इसलिए, हमारे पास और । $p_1+p_2=1$ $\mathbf{X}$ $p_1$ $p_2$ $\cos^2(\theta)$ $\sin^2(\theta)$ $\sqrt{p_1} =\cos(\theta)$ $\sqrt{p_2} = \sin(\theta)$

दीर्घवृत्त खींचने का एक तरीका ट्रिममेल ऑफ आर्किमिडीज नामक एक तंत्र के माध्यम से है । जैसा कि विकी में वर्णित है: इसमें दो शटर होते हैं जो लंबवत चैनलों (या चैनलों) तक सीमित होते हैं ("ट्रामेल्ड"), और एक रॉड जो रॉड के साथ निश्चित पदों पर पिवोट्स द्वारा शटल से जुड़ी होती है। जैसे ही शटल आगे-पीछे चलती है, प्रत्येक उसके चैनल के साथ, रॉड का अंत एक अण्डाकार पथ में चलता है। यह सिद्धांत नीचे दिए गए आंकड़े में चित्रित किया गया है।

अब हम ज्यामितीय रूप से इस ट्रमेल के एक उदाहरण का विश्लेषण करते हैं जब ऊर्ध्वाधर शटल और क्षैतिज शटल के लिए का कोण बनाता है । निर्माण के कारण, और , (यहाँ को मान लिया गया है)। $A$ $B$ $\theta$ $\left|BX\right| = x_2$ $\left| AB \right| = x_1-x_2$ $\forall \theta$ $x_1\geq x_2$

हमें मूल से एक रेखा खींचते हैं, , जो कि छड़ के लंबवत है। एक दिखा सकता है कि । इसके लिए विशिष्ट रैंडम वैरिएबल इसलिए | लंबवत दूरीमूल से छड़ वास्तव में मानक विचलन, बराबर है । $OC$ $\left| OC \right|=(x_1-x_2) \sin(\theta) \cos(\theta)$

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & (x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2}) - (x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2})^{2} \\ = & x_{1}^{2} p_{1} + x_{2}^{2} p_{2} - x_{1}^{2} p_{1}^{2} - x_{2}^{2} p_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & x_{1}^{2} (p_{1} - p_{1}^{2}) + x_{2}^{2} (p_{2} - p_{2}^{2}) - 2 x_{1} x_{2} p_{1} p_{2} \\ = & p_{1} p_{2} (x_{1}^{2} - 2 x_{1} x_{2} + x_{2}^{2}) \\ = & {[(x_{1} - x_{2}) \sqrt{p_{1}} \sqrt{p_{2}}]}^{2} = {| O C |}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& (x_1^2p_1 +x_2^2p_2) - (x_1p_1+x_2p_2)^2 \\ &=& x_1^2p_1 +x_2^2p_2 - x_1^2p_1^2 - x_2^2p_2^2 - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& x_1^2(p_1-p_1^2) + x_2^2(p_2-p_2^2) - 2x_1x_2p_1p_2 \\ &=& p_1p_2(x_1^2- 2x_1x_2 + x_2^2) \\ &=& \left[(x_1-x_2)\sqrt{p_1}\sqrt{p_2}\right]^2 = \left|OC \right|^2 \end{eqnarray}$

| O C |

$\left|OC \right|$

σ

$\sigma$

यदि हम से तक खंड की लंबाई की गणना करते हैं : $C$ $X$

\begin{array}{rcl} | C X | & = & x_{2} + (x_{1} - x_{2}) \cos^{2} (θ) \\ = & x_{1} \cos^{2} (θ) + x_{2} \sin^{2} (θ) \\ = & x_{1} p_{1} + x_{2} p_{2} = E [X] \end{array}

$\begin{eqnarray} \left|CX\right| &=& x_2 + (x_1-x_2)\cos^2(\theta) \\ &=& x_1\cos^2(\theta) +x_2\sin^2(\theta) \\ &=& x_1p_1 + x_2p_2 = E[X] \end{eqnarray}$

त्रिकोण OCX में पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करते हुए, हम अंत में साथ समाप्त होते हैं

E [X^{2}] = V a r (X) + E [X]^{2} .

$\begin{equation} E[X^2] = Var(X) + E[X]^2. \end{equation}$

सारांशित करने के लिए, एक ट्रम्मेल के लिए जो सभी संभावित असतत मूल्यवान यादृच्छिक चर का वर्णन करता है जो मानों को ले रहा है , मूल से तंत्र की नोक और मानक विचलन की दूरी है। छड़ की लंबवत दूरी है। $\{x_1,x_2\}$ $\sqrt{E[X^2]}$ $\sigma$

नोट : सूचना है कि जब है या , पूरी तरह से नियतात्मक है। जब is हम अधिकतम विचरण के साथ समाप्त होते हैं। $\theta$ $0$ $\pi/2$ $X$ $\theta$ $\pi/4$

— ybe
स्रोत

1

+1 अच्छा जवाब। और संभावनाओं के वर्ग द्वारा वैक्टर को गुणा करना ओर्थोगोनलिटी की सामान्य संभाव्य धारणा को ऑर्थोगोनल दिखने के लिए एक शांत / उपयोगी चाल है!

— मैथ्यू गुन

महान ग्राफिक्स। प्रतीक सभी समझ में आते हैं (एक दीर्घवृत्त का वर्णन करने वाला ट्रामेल और फिर पाइथोगोरियन थम लागू होता है) लेकिन किसी तरह मैं सहज ज्ञान नहीं प्राप्त कर रहा हूं कि यह कैसे पता चलता है कि यह 'जादुई' क्षणों (प्रसार और केंद्र) से कैसे संबंधित है।

— मिच

ट्रामेल को एक ऐसी प्रक्रिया के रूप में जो सभी संभावित मूल्यवान यादृच्छिक चर को परिभाषित करती है । जब रॉड क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर है, तो आपके पास एक नियतात्मक आरवी है। बीच में यादृच्छिकता होती है और यह पता चलता है कि मेरे प्रस्तावित ज्यामितीय ढांचे में एक आरवी (इसकी एसटीडी) को यादृच्छिक रूप से रॉड की उत्पत्ति से कितनी दूरी पर मापा जाता है। यहाँ एक गहरा संबंध हो सकता है क्योंकि अण्डाकार वक्र गणित में विभिन्न वस्तुओं को जोड़ता है लेकिन मैं गणितज्ञ नहीं हूं इसलिए मैं वास्तव में उस कनेक्शन को नहीं देख सकता।

(x_{1}, x_{2})

$(x_1,x_2)$

— ybe

3

आप निम्नानुसार व्यवस्था कर सकते हैं:

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [X^{2}] - (E [X])^{2} \\ E [X^{2}] & = & (E [X])^{2} + V a r (X) \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& E[X^2] - (E[X])^2\\ E[X^2] &=& (E[X])^2 + Var(X) \end{eqnarray}$

फिर, निम्नानुसार व्याख्या करें: एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित वर्ग अपने मतलब के वर्ग के बराबर है और इसके अर्थ से अपेक्षित चुकता विचलन है।

— पीटना
स्रोत

ओह। हुह। सरल। लेकिन वर्ग अभी भी थोड़े निर्बाध लगते हैं। मेरा मतलब है कि यह समझ में आता है (तरह, अत्यंत शिथिल) वर्गों के बिना।

— मिच

3

मैं इस पर नहीं बेचा जाता।

— माइकल आर। चेरिक

1

यदि पाइथागोरस प्रमेय लागू होता है, तो किन पक्षों के साथ त्रिभुज होता है और दोनों पैर लंबवत कैसे होते हैं?

— मिच

1

विस्तृत और उचित उत्तर प्रदान करने का कौशल न होने के लिए क्षमा करें, लेकिन मुझे लगता है कि उत्तर क्षणों की भौतिक शास्त्रीय यांत्रिकी अवधारणा में निहित है, विशेष रूप से 0 केंद्रित "कच्चे" क्षणों और मध्य केंद्रित क्षणों के बीच रूपांतरण। इस बात को ध्यान में रखें कि भिन्नता यादृच्छिक क्रम का दूसरा क्रम है।

— एस। डायक्सो
स्रोत

1

सामान्य अंतर्ज्ञान यह है कि आप पाइथागोरस प्रमेय (पीटी) का उपयोग करके उपयुक्त रूप से परिभाषित वेक्टर अंतरिक्ष में इन क्षणों को संबंधित कर सकते हैं, यह दिखाते हुए कि दो पल लंबवत हैं और तीसरा कर्ण है। केवल बीजगणित की जरूरत है यह दिखाने के लिए कि दो पैर वास्तव में ऑर्थोगोनल हैं।

निम्नलिखित के लिए मैं मान लूंगा कि आप पूर्ण वितरण के लिए क्षणों के बजाय गणना के उद्देश्यों के लिए नमूना साधन और रूपांतर का मतलब है। अर्थात्:

\begin{array}{rcll} E [X] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}, & m e a n, f i r s t c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \\ E [X^{2}] & = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2}, & s e c o n d s a m p l e m o m e n t (n o n - c e n t r a l) \\ V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2}, & v a r i a n c e, s e c o n d c e n t r a l s a m p l e m o m e n t \end{array}

$\begin{array}{rcll} E[X] &=& \frac{1}{n}\sum x_i,& \rm{mean, first\ central\ sample\ moment}\\ E[X^2] &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i,& \rm{second\ sample\ moment\ (non-central)}\\ Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2,& \rm{variance, second\ central\ sample\ moment} \end{array}$

(जहां सभी रकम आइटम से अधिक हैं )। $n$

संदर्भ के लिए, का प्राथमिक प्रमाण केवल प्रतीक है: $Var(X) = E[X^2] - E[X]^2$

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & \frac{1}{n} \sum (x_{i} - E [X])^{2} \\ = & \frac{1}{n} \sum (x_{i}^{2} - 2 E [X] x_{i} + E [X]^{2}) \\ = & \frac{1}{n} \sum x_{i}^{2} - \frac{2}{n} E [X] \sum x_{i} + \frac{1}{n} \sum E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - 2 E [X]^{2} + \frac{1}{n} n E [X]^{2} \\ = & E [X^{2}] - E [X]^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) &=& \frac{1}{n}\sum (x_i - E[X])^2\\ &=& \frac{1}{n}\sum (x^2_i - 2 E[X]x_i + E[X]^2)\\ &=& \frac{1}{n}\sum x^2_i - \frac{2}{n} E[X] \sum x_i + \frac{1}{n}\sum E[X]^2\\ &=& E[X^2] - 2 E[X]^2 + \frac{1}{n} n E[X]^2\\ &=& E[X^2] - E[X]^2\\ \end{eqnarray}$

यहाँ थोड़ा अर्थ है, बीजगणित का सिर्फ प्राथमिक हेरफेर। एक नोटिस हो सकता है कि समन के अंदर एक स्थिर है, लेकिन यह इसके बारे में है। $E[X]$

अब वेक्टर स्पेस / ज्यामितीय व्याख्या / अंतर्ज्ञान में, जो हम दिखाएंगे वह थोड़ा पीछे का समीकरण है जो PT से मेल खाता है,

\begin{array}{rcl} V a r (X) + E [X]^{2} & = & E [X^{2}] \end{array}

$\begin{eqnarray} Var(X) + E[X]^2 &=& E[X^2] \end{eqnarray}$

तो पर विचार करें , आइटम्स का नमूना , में एक वेक्टर के रूप में । और चलो दो वैक्टर और बनाएं । $X$ $n$ $\mathbb{R}^n$ $E[X]{\bf 1}$ $X-E[X]{\bf 1}$

सदिश के नमूने का मतलब उसके प्रत्येक निर्देशांक के रूप में है। $E[X]{\bf 1}$

वेक्टर is । $X-E[X]{\bf 1}$ $\langle x_1-E[X], \dots, x_n-E[X]\rangle$

ये दो वैक्टर लंबवत हैं क्योंकि दोनों वैक्टरों का डॉट उत्पाद 0:

\begin{array}{rcl} E [X] 1 \cdot (X - E [X] 1) & = & \sum E [X] (x_{i} - E [X]) \\ = & \sum (E [X] x_{i} - E [X]^{2}) \\ = & E [X] \sum x_{i} - \sum E [X]^{2} \\ = & n E [X] E [X] - n E [X]^{2} \\ = & 0 \end{array}

$\begin{eqnarray} E[X]{\bf 1}\cdot(X-E[X]{\bf 1}) &=& \sum E[X](x_i-E[X])\\ &=& \sum (E[X]x_i-E[X]^2)\\ &=& E[X]\sum x_i - \sum E[X]^2\\ &=& n E[X]E[X] - n E[X]^2\\ &=& 0\\ \end{eqnarray}$

तो दो वैक्टर लंबवत हैं जिसका अर्थ है कि वे एक दाहिने त्रिकोण के दो पैर हैं।

फिर पीटी (जो कि ) में होता है, दो पैरों की लंबाई के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है। $\mathbb{R}^n$

शीर्ष पर बोरिंग बीजीय प्रमाण में प्रयुक्त उसी बीजगणित द्वारा, हमने दिखाया कि हमें यह पता चलता है कि कर्ण वेक्टर का वर्ग है: $E[X^2]$

$(X-E[X])^2 + E[X]^2 = ... = E[X^2]$ जहां स्क्वेरिंग डॉट उत्पाद है (और यह वास्तव में और है । $E[x]{\bf 1}$ $(X-E[X])^2$ $Var(X)$

इस व्याख्या के बारे में दिलचस्प हिस्सा आयामों के वेक्टर स्थान के लिए एक यूनिवार्इनेट वितरण से आइटम के नमूने से रूपांतरण है । यह बिवरिएट नमूनों के समान है जिसकी व्याख्या चरों में वास्तव में दो नमूनों के रूप में की जाती है । $n$ $n$ $n$ $n$

एक अर्थ में, यह पर्याप्त है, वैक्टर और से सही त्रिकोण कर्ण के रूप में बाहर निकलता है। हमने इन मूल्यों के लिए एक व्याख्या (वैक्टर) दी और दिखाया कि वे किसके अनुरूप हैं। यह काफी ठंडा है, लेकिन सांख्यिकीय या ज्यामितीय रूप से या तो अप्रकाशित है। यह वास्तव में नहीं कहेगा कि क्यों और अंत में ज्यादातर वैचारिक मशीनरी होगी, जो अंत में पहले से ही हमारे पास पहले से मौजूद शुद्ध रूप से बीजीय प्रमाण को पुन: पेश करती है। $E[X^2]$

एक और दिलचस्प हिस्सा यह है कि माध्य और विचरण, हालांकि वे सहज रूप से केंद्र को मापते हैं और एक आयाम में फैलते हैं, आयामों में ऑर्थोगोनल हैं । इसका क्या मतलब है, कि वे ऑर्थोगोनल हैं? मुझे नहीं पता! क्या अन्य क्षण हैं जो ऑर्थोगोनल हैं? क्या संबंधों की एक बड़ी प्रणाली है जिसमें यह ओर्थोगोनलिटी शामिल है? केंद्रीय क्षण बनाम गैर-केंद्रीय क्षण? मुझे नहीं पता! $n$

— मिच
स्रोत

मुझे सतही तौर पर इसी तरह के पूर्वाग्रह के व्यापार के समीकरण के पीछे एक व्याख्या / अंतर्ज्ञान में भी दिलचस्पी है। क्या किसी को वहाँ संकेत है?

— मिच

बता दें कि होने वाली राज्य की संभावना है । यदि तो , केवल और बीच का डॉट उत्पाद है जो द्वारा विभाजित है। । यदि , जो मैंने एक आंतरिक उत्पाद के रूप में उपयोग किया है ( ) मूल रूप से द्वारा विभाजित डॉट उत्पाद है । यह पूरी पाइथागोरस व्याख्या आपको अभी भी विशेष आंतरिक उत्पाद उपयोग करने की आवश्यकता है (हालांकि यह संभावना संभावना लिए क्लासिक डॉट उत्पाद के करीब है।

p_{i}

$p_i$

i

$i$

p_{i} = \frac{1}{n}

$p_i = \frac{1}{n}$

\sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i} = \frac{1}{n} \sum_{i} X_{i} Y_{i}

$\sum_i p_i X_i Y_i = \frac{1}{n} \sum_i X_i Y_i$

E [X Y]

$E[XY]$

X

$X$

Y

$Y$

n

$n$

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

E [X Y] = \sum_{i} p_{i} X_{i} Y_{i}

$E[XY] = \sum_i p_i X_i Y_i$

n

$n$

E [X Y]

$E[XY]$

P

$P$ इस तरह के )।

\forall_{i} p_{i} = \frac{1}{n}

$\forall_i p_i = \frac{1}{n}$

— मैथ्यू गुन

Btw, चाल @YBE ने नए वैक्टर और को परिभाषित किया है, जैसे कि और । फिर डॉट उत्पाद । का डॉट उत्पाद। और से मेल खाता है (जो कि मैंने एक आंतरिक उत्पाद के रूप में उपयोग किया है)।

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{y}

$\hat{y}$

{\hat{x}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{x}_i = x_i \sqrt{p_i}$

{\hat{y}}_{i} = x_{i} \sqrt{p_{i}}

$\hat{y}_i = x_i \sqrt{p_i}$

\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_{i} x_{i} \sqrt{p_{i}} y_{i} \sqrt{p_{i}} = \sum_{i} p_{i} x_{i} y_{i} = E [x y]

$\hat{x} \cdot \hat{y} = \sum_i x_i \sqrt{p_i} y_i \sqrt{p_i} = \sum_i p_i x_i y_i = E[xy]$

\hat{x}

$\hat{x}$

\hat{y}

$\hat{y}$

E [x y]

$E[xy]$

— मैथ्यू गुन