जन्मदिन की उलटी समस्या: 1 मिलियन एलियंस में से कोई भी जोड़ा जन्मदिन नहीं साझा करता है; उनकी साल की लंबाई क्या है?

बहुत दिनों के दिनों के साथ एक ग्रह मान लें । एक कमरे में एक पार्टी में 1 मिलियन एलियंस होते हैं, और जन्मदिन पर कोई भी साझा नहीं करता है। के आकार के बारे में क्या अनुमान लगाया जा सकता है ? $N$ $N$

(यह अधिक कॉम्पैक्ट प्रश्न इस खराब रूप से व्यक्त किए गए एक को मिलाता है। )

probability birthday-paradox

— पॉल उस्ज़क
स्रोत

जन्मदिन की समस्या आपको एन के मूल्य को बताती है जहां कम से कम एक मैच की संभावना एक निर्दिष्ट मूल्य से अधिक है। जब पी = 1/2 यह अंतर्ज्ञान के लिए आश्चर्य की बात है कि यह n = 23 देता है .. यह मानता है कि प्रत्येक जन्मदिन में समान वर्दी संभावना (1/365) है। गैर-समरूपता केवल n को छोटा बनाती है। अब आपकी समस्या में ऐसा लगता है कि N 365 को प्रतिस्थापित करता है और मुझे लगता है कि एकरूपता धारणा बनी हुई है।

— माइकल आर। चेर्निक

यदि N <= 1,000,000 है तो कम से कम 1 मैच में प्रायिकता = 1 है और इसलिए 0 मैचों में प्रायिकता = 0 है।

— बजे माइकल आर। चेर्निक

इसलिए जब N> 1,000,000 में कम से कम 1 मैच की संभावना <1 होती है और इसलिए शून्य मैचों की संभावना बढ़ने लगती है।

— बजे माइकल आर। चेरिक

@ मिचेल कृपया स्पष्टीकरण और अन्य आकस्मिक चर्चाओं के अनुरोधों के लिए टिप्पणियां आरक्षित करें, और एक समय में सिर्फ एक पोस्ट करने की कोशिश करें: चरित्र सीमा के लिए अच्छा कारण है। यदि आप अपने आप को किसी ऐसी चीज़ के बारे में चर्चा करते हुए पाते हैं जिसके लिए कई टिप्पणियों की आवश्यकता होती है, तो आप शायद सवाल का जवाब देने की कोशिश कर रहे हैं, इसलिए आप एक उत्तर भी दे सकते हैं।

— whuber

मान लें कि सभी जन्मदिन समान रूप से होने की संभावना है और जन्मदिन स्वतंत्र हैं, तो मौका है कि $k+1$ एलियंस एक जन्मदिन साझा नहीं करते हैं

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{एन}) \dots (1 - \frac{क}{एन}) ।

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

इसके लघुगणक को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है बशर्ते कि तुलना में बहुत छोटा हो $k$ $N$ :

\begin{matrix} (1) & लॉग (पी (क; एन)) = - \frac{क (क + 1)}{2 एन} - \frac{क + 3 क^{2} + 2 क^{3}}{12 {एन}^{2}} - हे (क^{4} {एन}^{- 3}) । \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

होना करने के लिए विश्वास है कि कुछ मूल्य से कम नहीं है , हम की जरूरत है से अधिक होना । छोटा यह सुनिश्चित कि , तुलना में बहुत बड़ा है , जिसे हम लगभग सही रूप में समझ सकते हैं $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ । यह प्रदान करता है $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

जिसका अर्थ

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

छोटे के लिए । $\alpha$

उदाहरण के लिए, साथ प्रश्न में और ( विश्वास के अनुरूप एक पारंपरिक मूल्य ), देता है $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ । $N \gt 10^{13}$

यहां इस परिणाम की अधिक विस्तार से व्याख्या की गई है। सूत्र में सन्निकटन के बिना , हम प्राप्त करते हैं $(2)$ । इस लिए एक लाख जन्मदिन में कोई टकराव की संभावना नहीं है (सन्निकटन के बिना गणना), अनिवार्य रूप से की हमारी सीमा के बराबर है। इस प्रकार किसी भी यह बड़ा या बड़ा यह $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ या अधिक संभावना है कि कोई टकराव नहीं होगा, जो कि हम जानते हैं के अनुरूप है, लेकिन किसी भी छोटे लिए टक्कर का मौका ऊपर हो जाता है , जो हमें डर लगना शुरू कर देता है जिसे हमने कम करके आंका हो सकता है $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$ ।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, पारंपरिक जन्मदिन की समस्या में लोगों में कोई टक्कर नहीं होने की संभावना है और लोगों में कोई टक्कर नहीं होने की संभावना है । इन नंबरों का सुझाव है कि को क्रमशः के सही मान की सीमा में और से अधिक होना चाहिए । इससे पता चलता है कि ये अनुमानित, विषम परिणाम बहुत छोटे लिए भी हो सकते हैं (बशर्ते हम छोटे से चिपके हों )। $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— whuber
स्रोत

मैं इस तरह से जवाब देने के लिए तैयार नहीं था। संख्याओं के साथ इस बड़े अनुमान की गणना आसान हो सकती है। विकिपीडिया सामान्यीकृत जन्मदिन की समस्या को k लोगों (एलियन) के साथ N पर सन्निकटन और सीमा दिखाती है। मेरे पास आपके पहले समीकरण के समान सूत्र था।

— माइकल आर। चेर्निक

मेरा प्रश्न यह होगा कि 100% आत्मविश्वास तक पहुँचने के लिए N को कितना बड़ा होना चाहिए। मुझे लगता है कि यह 10 ^ 18 जैसा कुछ है।

— माइकल आर। चेर्निक

@MichaelChernick एन के लिए 100% आत्मविश्वास अनंत है। किसी भी परिमित वर्ष और 2 या अधिक एलियंस वाले किसी भी पार्टी के लिए, एक ही जन्मदिन के साथ दो एलियंस की संभावना हमेशा 0. से अधिक होती है

— Pere

@Pere हाँ, यह देखने के लिए धन्यवाद। मैं इसे ठीक कर दूँगा। इससे बाकी पोस्ट पर कोई फर्क नहीं पड़ा।

— whuber

@Paul Uszak मुझे लगता है कि Pere के जवाब (अब हटाए गए) के बारे में आपकी टिप्पणी बहुत कठोर थी। मुझे लगता है कि उनका जवाब अच्छे विश्वास में दिया गया था। वह उपयोगी सन्निकटन प्रदान करके आपके लिए सहायक होने की कोशिश कर रहा था। बाद में उन्होंने व्हॉबर के उत्तर को देखा और फैसला किया कि यह अधिक पूर्ण था और अपने उत्तर को हटाने के लिए सहमत हो गया। एक विस्तृत जवाब की उम्मीद नहीं करने के बारे में उनकी टिप्पणी का मतलब यह नहीं था कि आप इसकी व्याख्या करते हैं। यह एक कठिन समस्या है। आपको इसे समझने के लिए पोस्ट को फिर से लिखना पड़ा। मुझे यकीन है कि वह इस तरह की समस्या को मजाक के रूप में हल नहीं करता है।

— माइकल आर। चेरिक