मैं कैसे साबित कर सकता हूं कि संचयी वितरण फ़ंक्शन सही है?

Question

मैं अपने संभावना पाठ्यक्रमों में सीखा है संचयी बंटन फ़ंक्शन कि एक यादृच्छिक चर का एक्स सही निरंतर है। क्या यह साबित करना संभव है?$F$$X$

Answer 1

वितरण फ़ंक्शन की सही निरंतरता साबित करने के लिए आपको $P$ ऊपर से निरंतरता का उपयोग करना होगा , जिसे आपने संभवतः अपने विकलांगता पाठ्यक्रमों में से एक में साबित किया था।

लेम्मा। घटनाओं की एक अनुक्रम तो $\{A_n\}_{n\geq 1}$ कम हो रही है, इस अर्थ में कि $A_n\supset A_{n+1}$ हर के लिए $n\geq 1$ , तो $P(A_n)\downarrow P(A)$ , जिसमें $A=\cap_{n=1}^\infty A_n$ ।

लेम्मा का उपयोग करते हैं। वितरण समारोह $F$ सही कुछ बिंदु पर निरंतर है $a$ तभी वास्तविक संख्या के हर घटते अनुक्रम के लिए करता है, तो $\{x_n\}_{n\geq 1}$ ऐसी है कि $x_n\downarrow a$ हमारे पास $F(x_n)\downarrow F(a)$ ।

घटनाओं को परिभाषित $A_n=\{\omega : X(\omega)\leq x_n\}$ , के लिए $n\geq 1$ । हम चाहते हैं कि साबित होगा

$$\bigcap_{n=1}^\infty A_n=\{\omega:X(\omega)\leq a\}\, .$$

एक ही दिशा में, यदि $X(\omega)\leq x_n$ हर के लिए $n\geq 1$ , के बाद से $x_n\downarrow a$ , हमारे पास $X(\omega)\leq a$ ।

दूसरी दिशा में, यदि $X(\omega)\leq a$ , के बाद से $a\leq x_n$ प्रत्येक के लिए $n\geq 1$ , हमारे पास $X(\omega)\leq x_n$ , हर के लिए $n\geq 1$ ।

लेम्मा का उपयोग करना, परिणाम इस प्रकार है:

$$F(x_n) = P\{X\leq x_n\} = P(A_n) \downarrow P\left( \cap_{n=1}^\infty A_n \right) = P\{X\leq a\} = F(a) \, .$$