स्ट्रिंग-लंबाई और संभव-वर्णों पर आधारित सरल संयोजन / संभावना प्रश्न

"पूर्ण यादृच्छिकता" मानते हुए और 20 वर्णों की लंबाई के साथ एक स्ट्रिंग दी गई है, जहां प्रत्येक वर्ण 62 संभावित वर्णों में से एक हो सकता है:

संयोजनों की कुल संख्या क्या संभव है? (62 की शक्ति के लिए 20 अनुमान लगाते हुए।)
इसके अलावा, यदि नए तार एक के बाद एक बेतरतीब ढंग से चुने गए हैं और अब तक चुने गए तार की सूची में जोड़ दिए गए हैं, तो पहले से ही चयनित स्ट्रिंग का चयन करने की संभावना से पहले कितने तार का चयन किया जाना चाहिए, 1-इन -100000 से नीचे है ( $10^{-5}$ )?

नोट: 62 से आता है: संख्यात्मक अंक (0-9), अपरकेस अक्षर (AZ), और निचले अक्षर (az)।

probability combinatorics

— भूलों
स्रोत

आपके दूसरे बुलेट पॉइंट को (कम से कम) दो संभावित तरीकों से पढ़ा जा सकता है। मैं सोच रहा हूँ जो आप में रुचि रखते हैं। ( 1 ) संभावना है कि

n

$n$ वें स्ट्रिंग पिछले स्ट्रिंग्स या ( 2 ) में से एक से मेल खाती है

n

$n$ वें स्ट्रिंग का चयन वहाँ मौजूद स्ट्रिंग्स के संग्रह के भीतर कुछ डुप्लिकेट मौजूद है । इन दोनों सवालों के जवाब बहुत अलग होंगे। :)

— कार्डिनल

शायद दो-वर्ण वर्णमाला पर विचार करने से अंतर स्पष्ट हो जाएगा। अक्षर होने दो

H

$H$ तथा

T

$T$ । हम पूछ सकते हैं: ( 1 ) किस लिए

n

$n$ क्या हमारे पास कम से कम 99% मौका है

n

$n$ वें स्ट्रिंग पिछले स्ट्रिंग का डुप्लिकेट है?

n

$n$ यहाँ 8 के बाद से एकमात्र तरीका है कि हम असफल है अगर हमारे अनुक्रम या तो है

T T T \dots T H

$TTT \cdots TH$ या

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$ , जिसकी कुल संभावना है

2^{- (n - 1)}

$2^{-(n-1)}$ । या, हम पूछते हैं ( 2 ) किस लिए

n

$n$ क्या हमारे पास कुछ डुप्लिकेट देखने का कम से कम 99% मौका है? इस मामले में

n = 3

$n = 3$ तब से हम तीन तार देख चुके हैं

H

$H$ या

T

$T$ कम से कम एक बार दोहराया गया है।

— कार्डिनल

मैट का उत्तर हैंडल ( 1 ), जो अनिवार्य रूप से इस सवाल का जवाब देता है कि "मेरा" स्ट्रिंग किसी और से मेल खाता है या नहीं। लेकिन, यदि आप कुछ अन्य दो लोगों के तार भी संभावित रूप से मिलान के बारे में चिंतित हैं , तो आप ( 2 ) में रुचि रखते हैं । यह नीचे आता है कि क्या आपके पास एक विशेष स्ट्रिंग ऑफ इंटरेस्ट है, जिसकी आप सभी दूसरों से तुलना कर रहे हैं या क्या आप एक दूसरे से सभी तार की तुलना कर रहे हैं। मुझे यकीन नहीं है कि मैं कर रहा हूँ कि किसी भी स्पष्ट, हालांकि। (आपकी समस्या प्रसिद्ध तथाकथित "जन्मदिन की समस्या" के दो संस्करणों में से एक को उबालती है।)

— कार्डिनल

कार्डिनल, हमेशा की तरह, सही है। मैंने मान लिया कि आपके पास एक "लक्ष्य" स्ट्रिंग है, जिसके लिए आप अनुमानों की एक सूची तैयार कर रहे थे। यदि इसके बजाय, आप बेतरतीब ढंग से तार पैदा कर रहे हैं और यह जानना चाहते हैं कि यह संख्या किसी भी दो तार के मेल से पहले उत्पन्न करना सुरक्षित है, तो इसका उत्तर वास्तव में बहुत अलग है। मैं उस मामले को संबोधित करने के लिए अपने जवाब में संशोधन करूंगा, अगर यह आपके साथ ठीक है।

— मैट क्रुसे

मैंने अपना पिछला उदाहरण पूरी तरह से स्पष्ट नहीं किया। उसके लिए माफ़ करना। मैं दो अक्षर की वर्णमाला के बारे में सोच रहा था

{H, T}

$\{H,T\}$ और लंबाई के तार खींचना । इसलिए, जब मैंने लिखा

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$ , वह खड़ा था

s_{1} = H

$s_1 = H$ ,

s_{2} = H

$s_2 = H$ ,, ...

s_{n - 1} = H

$s_{n-1} = H$ ,

s_{n} = T

$s_n = T$ ।

— कार्डिनल

संभावनाओं की कुल संख्या

1) बंद करो! आपको पहले चरित्र के लिए 62, 2 वें के लिए 62 आदि मिले हैं, इसलिए आप समाप्त करते हैं $62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$ , जो एक बहुत बड़ी संख्या है।

एक "लक्ष्य" स्ट्रिंग के साथ टकराव

2) जैसा कि हमने ऊपर स्थापित किया है, वहाँ हैं $62^{20}$ संभावित तार। आप जानना चाहते हैं कि "लक्ष्य" स्ट्रिंग का अनुमान लगाने में आपको 100,000 से अधिक बाधाओं में से कितने का अनुमान लगाना बेहतर होगा। अनिवार्य रूप से, आप पूछ रहे हैं कि क्या

\frac{x}{62^{20}} \geq \frac{1}{10^{5}}

$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$ इसे प्राप्त करने के लिए, आपको x को गोल करना होगा (या एक को जोड़ना होगा, यदि वे ठीक बराबर हैं), लेकिन जैसा कि आप एक दूसरे में देखेंगे, यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता।

मूल बीजगणित के माध्यम से, हम इसे फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं

\begin{aligned} 10^{5} x & \geq 62^{20} \\ 10^{5} x & \geq (6.2 \cdot 10)^{20} \\ 10^{5} x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{20} \\ x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}

$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$

गणित कर रहा है, $6.2^{20}$ के बारे में है $7 \cdot 10^{15}$ , तो चलो पूरी बात कहते हैं $7 \cdot 10^{30}$ या, अधिक संक्षेप में, एक बहुत की पूरी बिल्ली।

यह निश्चित रूप से है, क्यों लंबे पासवर्ड वास्तव में अच्छी तरह से काम करते हैं :-) असली पासवर्ड के लिए, निश्चित रूप से, आपको लंबाई के तार के बारे में कम या बीस के बराबर चिंता करनी होगी, जिससे संभावनाओं की संख्या और भी अधिक बढ़ जाती है।

सूची में डुप्लिकेट

अब, अन्य परिदृश्य पर विचार करें। स्ट्रिंग्स यादृच्छिक पर उत्पन्न होती हैं और हम यह निर्धारित करना चाहते हैं कि किसी भी दो स्ट्रिंग्स के मिलान का 1: 100,000 मौका होने से पहले कितने उत्पन्न हो सकते हैं। इस समस्या के क्लासिक संस्करण को जन्मदिन की समस्या (या 'विरोधाभास') कहा जाता है और पूछता है कि दो लोगों के एक ही जन्मदिन पर क्या संभावना है। विकिपीडिया लेख [1] सभ्य दिखता है और इसमें कुछ सारणियाँ हैं जो आपको उपयोगी लग सकती हैं। फिर भी, मैं आपको यहाँ उत्तर के लिए स्वाद देने की कोशिश करूँगा।

ध्यान रखने योग्य कुछ बातें:

-एक मैच की संभावना और एक मैच न होने की संभावना 1 के बराबर होनी चाहिए $P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$ और इसके विपरीत।

दो स्वतंत्र घटनाओं के लिए $A$ तथा $B$ की संभावना $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$ ।

उत्तर प्राप्त करने के लिए, हम निश्चित संख्या में तार के लिए एक मैच न देखने की संभावना की गणना करके शुरू करने जा रहे हैं $k$ । एक बार जब हम जानते हैं कि ऐसा कैसे करना है, तो हम उस समीकरण को दहलीज (1 / 100,000) के बराबर सेट कर सकते हैं और हल कर सकते हैं $k$ । सुविधा के लिए, कॉल करें $N$ संभावित तारों की संख्या ( $62^{20}$ )।

हम सूची को 'चलने' के लिए जा रहे हैं और इस संभावना की गणना करते हैं कि $k$ ^ {th} स्ट्रिंग किसी भी स्ट्रिंग्स से "ऊपर" सूची में मेल खाता है। पहली स्ट्रिंग के लिए, हमें मिल गया है $N$ कुल तार और सूची में कुछ भी नहीं है, इसलिए $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$ । दूसरे तार के लिए, अभी भी हैं $N$ कुल संभावनाएं, लेकिन उनमें से एक को पहले स्ट्रिंग द्वारा "उपयोग" किया गया है, इसलिए इस स्ट्रिंग के लिए एक मैच की संभावना है $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ तीसरे स्ट्रिंग के लिए, इसके लिए दो तरीके हैं एक मैच और इसलिए $N-2$ नहीं करने के तरीके, तो $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$ और इसी तरह। सामान्य तौर पर, की संभावना $k$ वें स्ट्रिंग दूसरों से मेल नहीं खाते

P_{k} (no match) = \frac{N - k + 1}{N}

$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$

हालाँकि, हम चाहते हैं कि इनमें से किसी के बीच कोई मैच न हो $k$ तार। चूंकि सभी घटनाएँ स्वतंत्र हैं (प्रश्न के अनुसार), हम इन संभावनाओं को एक साथ गुणा कर सकते हैं, जैसे:

P (No Matches) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N} \dots \frac{N - k + 1}{N}

$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$ इसे थोड़ा सरल किया जा सकता है:

\begin{aligned} P (No Matches) & = \frac{N \cdot (N - 1) \cdot (N - 2) \dots (N - k + 1)}{N^{k}} \\ P (No Matches) & = \frac{N!}{N^{k} \cdot (N - k)!} \\ P (No Matches) & = \frac{k! \cdot (\binom{N}{k})}{N^{k}} \end{aligned}

$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$ पहला कदम सिर्फ एक साथ अंशों को गुणा करता है, दूसरा तथ्य की परिभाषा का उपयोग करता है (

k! = (k) \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 1

$k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$ ) के उत्पादों को बदलने के लिए

N - k + 1 \dots N

$N-k+1 \cdots N$ कुछ अधिक प्रबंधनीय है, और एक द्विपद गुणांक में अंतिम चरण स्वैप होता है। यह हमें उत्पन्न होने के बाद किसी भी मैच होने की संभावना के लिए एक समीकरण देता है

k

$k$ तार। सिद्धांत रूप में, आप इसके बराबर सेट कर सकते हैं

\frac{1}{100, 000}

$\frac{1}{100,000}$ और के लिए हल

k

$k$ । व्यवहार में, यह एक उत्तर के लिए कठिन होने जा रहा है क्योंकि आप बड़ी संख्या से गुणा / भाग करेंगे - वास्तव में बहुत जल्दी ()

100!

$100!$ 150 अंकों से अधिक लंबा है)।

हालांकि, इस तथ्य की गणना करने और पूरी समस्या के लिए दोनों सन्निकटन हैं। यह पत्र [2] बताता है

k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2 N \ln (p)}

$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$ जहाँ p एक मैच न देखने की संभावना है। उनकी परीक्षाएं अधिकतम होती हैं

N = 48, 000

$N=48,000$ , लेकिन यह अभी भी बहुत सटीक है। आपकी संख्याओं में प्लगिंग, मुझे लगभग मिलती है

3.7 \cdot 10^{15}

$3.7 \cdot 10^{15}$ ।

संदर्भ

[१] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[२] मैथिस, फ्रैंक एच। (जून १ ९९ १)। "एक सामान्यीकृत जन्मदिन की समस्या"। SIAM की समीक्षा (सोसायटी फॉर इंडस्ट्रियल एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स) 33 (2): 265-270। JSTOR लिंक

— मैट क्रूस
स्रोत

+1 भयानक, स्पष्ट रूप से मेरे खराब गणित कौशल को देखते हुए प्रश्न पूछा गया था, इसलिए मैं एक दिन के लिए अनुत्तरित प्रश्न छोड़ दूंगा, लेकिन मुझे अच्छा लग रहा है, और मुझे उम्मीद से अधिक उत्तर का रास्ता स्पष्ट है - धन्यवाद!

— ब्लंडर्स

मदद करने में खुशी! अगर कुछ अस्पष्ट है तो मुझे बताएं। किक के लिए, मैंने नंबर चलाए। आपको 7044234255469980229683302646164 अनुमानों की आवश्यकता होगी; जैसे मैंने कहा - बहुत कुछ!

— मैट क्राउज

+1 @Matt Krause: +1 आपकी टिप्पणी के उत्तर के नीचे; आपका उत्तर और सर्वोत्तम उत्तर संभव देने की प्रतिबद्धता अनुकरणीय, ध्यान देने योग्य है, और आपकी कड़ी मेहनत के लिए धन्यवाद!

— ब्लंडरर्स