काउंटरएक्सैम्पल जहां मेडियन बाहर है [मोड-मीन]

यह लेख मेरी लीग से ऊपर है, लेकिन यह एक ऐसे विषय के बारे में बात करता है, जिसमें मुझे दिलचस्पी है, मीन, मोड और माध्य के बीच संबंध। इसे कहते हैं :

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि एक असमान वितरण का मध्य माध्य और मोड के बीच "आमतौर पर" होता है। हालांकि, यह हमेशा सच नहीं है...

मेरा प्रश्न : क्या कोई निरंतर अनिमॉडल (आदर्श रूप से सरल) वितरण के उदाहरण प्रदान कर सकता है, जहां औसतन [मोड, मीनिंग] अंतराल के बाहर है? उदाहरण के लिए एक वितरण जैसे mode < mean < median।

=== EDIT =======

ग्लेन_ बी और फ्रांसिस द्वारा पहले से ही अच्छे उत्तर हैं, लेकिन मुझे एहसास हुआ कि मैं वास्तव में किस चीज में दिलचस्पी रखता हूं, एक उदाहरण है जहां मोड <माध्य <या मंझला <का मतलब है <मोड (दोनों माध्यिका बाहर है [मोड, माध्य] और माध्य "एक ही तरफ" मोड के साधन के रूप में (यानी मोड के ऊपर या नीचे दोनों))। मैं उत्तर स्वीकार कर सकता हूं कि यहां एक नया प्रश्न खुला है या शायद कोई व्यक्ति यहां समाधान का सुझाव दे सकता है?

mean median mode

— Janthelme
स्रोत

अधिक प्रतिबंधित मामले को कवर करने के लिए उत्तर का विस्तार करने में कोई परेशानी नहीं है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

यहां आंकड़ा 6 देखें: ww2.amstat.org/publications/jse/v13n2/vonhippel.html जो एक (निरंतर असमान ) वेइबुल उदाहरण देता है जहां माध्यिका मोड और माध्य के बीच नहीं होती है।

— मैथ्यू टावर्स

जवाबों:

निश्चित रूप से, उदाहरणों को ढूंढना कठिन नहीं है - यहां तक कि निरंतर असमान वाले भी - जहां माध्य माध्य और मोड के बीच नहीं है।

पर विचार करें फार्म की एक त्रिकोणीय वितरण से आईआईडी $T_1,T_2$ $f_T(t) = 2(1-t) \mathbb{1}_{0<t<1}$

आइए अब के एक 60-40 मिश्रण हो और । $X$ $T_1$ $-4T_2$

का घनत्व इस तरह दिखता है: $X$

माध्य 0 से नीचे है, मोड 0 पर है, लेकिन माध्यिका 0. से ऊपर है। इसका एक मामूली संशोधन एक उदाहरण प्राप्त करेगा जहां घनत्व (सिर्फ cdf के बजाय) निरंतर था, लेकिन स्थान-उपायों के बीच संबंध था वही (संपादित करें: देखें 3. नीचे)।
सामान्यकरण, चलो दाएं हाथ की ओर त्रिकोण में कुल संभावना का एक अनुपात ( ) और बाएं हाथ की ओर त्रिकोण में एक अनुपात डालते हैं (0.6 और 0.4 के स्थान पर) हम पहले थे)। इसके अलावा, बाएं आधे हिस्से पर स्केलिंग फैक्टर बनाएं ( बजाय ) के साथ: $p$ $0<p<1$ $(1-p)$ $-\beta$ $-4$ $\beta>0$

अब मानते हुए , माध्यिका हमेशा समकोण त्रिभुज द्वारा कवर अंतराल में होगी, इसलिए माध्यिका मोड से अधिक होगी (जो हमेशा पर रहेगी )। विशेष रूप से, जब , माध्य । $p>\frac12$ $0$ $p>\frac12$ $1-1/\sqrt{2p}$

माध्य । $(p - \beta(1-p))/3$

यदि तो माध्य मोड के नीचे होगा, और if माध्य मोड से ऊपर होगा। $\beta>p/(1-p)$ $\beta< p/(1-p)$

दूसरी ओर, हम माध्य से नीचे माध्य रखने के लिए चाहते हैं। $(p - \beta(1-p))/3 < 1-1/\sqrt{2p}$

विचार करें ; यह मोड के ऊपर माध्यिका डालता है। $p=0.7$

तब को संतुष्ट करेगा इसलिए इसका मतलब मोड से ऊपर है। $\beta=2$ $\beta<p/(1-p)$

माध्य वास्तव में जबकि माध्य । इसलिए और , हमारे पास मोड <माध्य <माध्य है। $1-1/\sqrt{1.4}\approx 0.1548$ $\frac{0.7-2(0.3)}{3}\approx 0.0333$ $p=0.7$ $\beta=2$

(एनबी मेरी संकेतन के साथ संगति के लिए, दोनों भूखंडों के लिए x- अक्ष पर चर बजाय होना चाहिए, लेकिन मैं वापस जाने और इसे ठीक करने नहीं जा रहा हूं।) $x$ $t$
यह एक ऐसा उदाहरण है जहाँ घनत्व ही निरंतर है। यह 1 और 2 से ऊपर के दृष्टिकोण पर आधारित है, लेकिन "कूद" के साथ एक खड़ी ढलान के साथ बदल गया (और फिर संपूर्ण घनत्व 0 के बारे में फ़्लिप हो गया क्योंकि मैं एक उदाहरण चाहता हूं जो राइट-तिरछा दिखता है)।

[ "त्रिकोणीय घनत्व के मिश्रण" का उपयोग दृष्टिकोण है, यह के रूप में त्रिकोणीय फार्म के 3 स्वतंत्र स्केल variates का एक मिश्रण खंड 1 में वर्णित अब हम 15% है उत्पन्न किया जा सकता , 60% और 25% ।] $T_1$ $-3T_2$ $5T_3$

जैसा कि हम ऊपर दिए गए चित्र में देखते हैं, माध्य बीच में है, जैसा कि अनुरोध किया गया है।

ध्यान दें कि m_t_ ने टिप्पणियों में वेइबुल का उल्लेख किया है (जिसके लिए मंझला बाहर है आकार पैरामीटर की एक छोटी श्रृंखला के लिए अंतराल )। यह संभावित रूप से संतोषजनक है क्योंकि यह सरल कार्यात्मक रूप के साथ एक प्रसिद्ध अनिमॉडल निरंतर (और चिकनी) वितरण है। $[\text{mode},\text{mean}]$ $k$

विशेष रूप से, वेइबुल आकार पैरामीटर के छोटे मूल्यों के लिए, वितरण सही-तिरछा है, और हमारे पास मोड और माध्य के बीच औसतन स्थिति है, जबकि वीबुल आकार पैरामीटर के बड़े मूल्यों के लिए, वितरण बाएं-तिरछा है। , और हमारे पास फिर से "मध्य में स्थित" स्थिति है (लेकिन अब माध्य के बजाय दाईं ओर मोड के साथ)। उन मामलों के बीच में एक छोटा क्षेत्र होता है, जहां माध्य माध्य-मोड अंतराल से बाहर होता है, और उसके बीच में माध्य और मोड पार होता है:
```
      k                 order
 (0,3.2589)      mode < median < mean
  ≈ 3.2589       mode = median < mean
(3.2589,3.3125)  median < mode < mean    (1)
  ≈ 3.3215       median < mode = mean
(3.3215,3.4395)  median < mean < mode    (2)
  ≈ 3.4395       median = mean < mode
  3.4395+        mean < median < mode
  (≈3.60235      moment-skewness = 0)
```
ऊपर दिए गए अंतराल (1) और (2) में आकार पैरामीटर के लिए सुविधाजनक मान चुनना - वे जहां स्थान-आंकड़ों के बीच अंतराल समान हैं - हम प्राप्त करते हैं:

जबकि ये आवश्यकताओं को पूरा करते हैं, दुर्भाग्य से तीन स्थान-पैरामीटर एक साथ इतने करीब हैं कि हम नेत्रहीन उन्हें अलग नहीं कर सकते हैं (वे सभी एक ही पिक्सेल में आते हैं), जो थोड़ा निराशाजनक है - मेरे पहले के उदाहरणों के मामले बहुत अधिक हैं अलग कर दिया। (फिर भी यह अन्य वितरणों के साथ जांच करने के लिए स्थितियों का सुझाव देता है, जिनमें से कुछ परिणाम दे सकते हैं जो अधिक नेत्रहीन हैं।)

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

यह काम करता है, धन्यवाद। जिज्ञासा से बाहर, एक समान "त्रिकोणीय वितरण" कहाँ होगा जहां मोड <माध्य <माध्य? (यहाँ माध्य <मोड <माध्य)

— जन्थेलमे

वास्तव में मेरे मूल उदाहरण का अर्थ है <मोड <मध्य; आप वहां की विषमताओं में पिछड़े हुए थे। मैं अब, तो आप बस मूल प्रतिस्थापित किया जा सकता था एक ऐसी ही उदाहरण जोड़ लिया है जहां मतलब मोड ऊपर, लेकिन मंझला (वास्तव में नीचे है कहते हैं के साथ में और रखा मिश्रण अनुपात किरदार के लिए सही और के लिए बायां भाग)।

- 4 T_{2}

$-4T_2$

- 1.25 T_{2}

$-1.25T_2$

0.6

$0.6$

0.4

$0.4$

— Glen_b -Reinstate मोनिका

निम्नलिखित उदाहरण प्रोबेबिलिटी में जॉर्डन स्टोयानोव के काउंटरटेक्सम से लिया गया है ।

सकारात्मक निरंतर और को देखते हुए , घनत्व साथ यादृच्छिक चर पर विचार करें का मतलब , माध्यिका और मोड का रूप में नोट एक घनत्व है केवल तभी तो अगर हम करते हैं तो । नतीजतन, हम चुनते हैं एक जो करीब है $c$ $\lambda$ $X$

f (x) = {\begin{cases} c e^{- λ (x - c)}, & x \in (c, \infty) \\ x, & x \in (0, c] \\ 0, & x \in (- \infty, 0] . \end{cases}

$f(x)=\begin{cases}ce^{-\lambda(x-c)}, & x\in(c, \infty) \\ x, & x\in(0, c] \\ 0, & x\in(-\infty,0].\end{cases}$

μ

$\mu$

m

$m$

M

$M$

X

$X$

μ = \frac{c^{3}}{3} + \frac{c^{2}}{λ} + \frac{c}{λ^{2}}, m = 1, M = c .

$\mu=\frac{c^3}{3}+\frac{c^2}{\lambda}+\frac{c}{\lambda^2},\qquad m=1,\qquad M=c.$

f (x)

$f(x)$

\frac{c^{2}}{2} + \frac{c}{λ} = 1.

$\frac{c^2}{2}+\frac{c}{\lambda}=1.$

c \to 1

$c\to1$

λ \to 2

$\lambda\to2$

c > 1

$c>1$

1

$1$ (कहते हैं ), हम उस और को खोज सकते हैं , इसलिए माध्य और बीच नहीं आता है ।

1.0001

$1.0001$

μ > c

$\mu>c$

M = c

$M=c$

m

$m$

μ

$\mu$

M

$M$

— फ्रांसिस
स्रोत

एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन को रेट पैरामीटर a और घनत्व a (-ax) के साथ 0 <= x <infinity के लिए लें। मोड शून्य पर है। बेशक औसत और माध्य 0. से अधिक है। cdf 1-exp (-ax) है। तो औसत (एक्स) के लिए माध्य हल के लिए = x के लिए 0.5। तब-ax = ln (0.5) या x = -ln (0.5) / a। 0 से अनंत तक अक्षीय एक्सएक्सएक्स (-ax) को एकीकृत करने के लिए। एक = 1 लें और हमारे पास एक माध्य = -ln (0.5) = ln (2) और माध्य = 1 है।

तो मोड <माध्य <का मतलब है।

— माइकल आर
स्रोत

क्षमा करें, लेकिन क्या हम उन वितरणों की तलाश नहीं कर रहे हैं जहां मोड <माध्य <(या अधिक आम तौर पर जहां माध्यिका [मोड, औसत]) के बाहर है?

— जन्थेलमे

भ्रम के लिए खेद है, मैंने मूल प्रश्न में जोड़ा, लेकिन जो मैं पूछ रहा था वह मूल रूप से उन उदाहरणों के लिए है, जहां औसत [मोड, माध्य] से बाहर है, जबकि मुझे लगता है कि आपके उदाहरण में मेडियन [मोड, माध्यियन] के अंदर है।

— जन्थेलमे

माइकल, सवाल नहीं है कि एक मामले के लिए जहां औसत मोड और माध्य के बीच है पूछते हैं। आप इस एक के ऊपर अपनी टिप्पणी में मूल को गलत बताते हैं; सवाल यह नहीं कहता है कि "मोड <माध्य <मीन" जहां आप यह कहते हैं कि यह (और संपादन में किसी भी बिंदु पर ऐसा कभी नहीं किया है)। नतीजतन, आपका जवाब एक ऐसे मामले की आपूर्ति करता है, जिसके लिए नहीं पूछा जाता है; वास्तव में यह सामान्य स्थिति है (अन्य दो के मध्य में) यह सवाल अपवाद है। लगभग किसी भी प्रसिद्ध तिरछी असमान वितरण के मध्य में मध्य है - चाल उन लोगों को ढूंढ रही है जो ऐसा नहीं करते हैं।

— Glen_b -Reinstate Monica

संपादित इतिहास उस प्रश्न के निचले भाग पर लाल लिंक पर क्लिक करके उपलब्ध है जहां वह वर्तमान में कहता है "18 घंटे पहले संपादित किया गया" (यह इन टिप्पणियों को टाइप करते समय 19 में बदल गया)। आप वहाँ क्लिक करके संपादन का इतिहास देख सकते हैं। प्रश्न 22 घंटे पहले पोस्ट किया गया था (जैसा कि मैं अब यह टाइप करता हूं), और जब आप संपादन इतिहास पर क्लिक करते हैं तो मूल प्रश्न "1" लेबल के नीचे देखा जा सकता है। आपका उत्तर लगभग 2 घंटे बाद (20 घंटे पहले) दिखाई दिया, जब वही प्रश्न था जो अभी भी कहा गया है। आपकी पोस्ट के लगभग 1-2 घंटे बाद, ओपी ने उनके प्रश्न को एक बार संपादित किया, जिसे देखा जा सकता है ...

— Glen_b -Reinstate Monica

ctd ... संपादन इतिहास के शीर्ष पर .. परिवर्तन संपादित करने के लिए प्रत्येक संपादन के बाद दो मिनट की विंडो है, जो उस संपादन के भाग के रूप में गिना जाता है (यानी 22 घंटे पहले और 18-19 घंटे पहले एक दो था- मिनट विंडो हर बार जहां एक टाइपो तय किया गया हो सकता है) लेकिन ~ 20 घंटे पहले जब आप पोस्ट करते हैं, तो सवाल लगभग 2 घंटे तक अपरिवर्तित रहता था, और आपके पोस्ट किए जाने के एक घंटे से अधिक समय तक यह अपरिवर्तित रहा, जब एक प्रमुख संपादन ( प्रदर्शन इतिहास में दिखाया गया था)। उन संक्षिप्त दो मिनट के संपादन के बाद की खिड़कियों के बाहर कोई भी संपादन संपादित इतिहास में होगा।

— Glen_b -Reinstate Monica