पॉइसन वितरण से डेटा के लिए लॉजिस्टिक रिग्रेशन

कुछ मशीन लर्निंग नोट्स से, कुछ भेदभावपूर्ण वर्गीकरण विधियों के बारे में, विशेष रूप से लॉजिस्टिक रिग्रेशन में, जहां y क्लास लेबल (0 या 1) है और x डेटा है, के बारे में कहा जाता है कि:

अगर $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ , और $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , तो $p(y|x)$ लॉजिस्टिक होगा।

यह सच क्यों है?

logistic poisson-distribution statistical-learning

— sambajetson
स्रोत

$Y$ किसी भी मान के लिए के दो संभावित मूल्य हैं । मान्यताओं के अनुसार, $X$

Pr (X = x | Y = 0) = \exp (- λ_{0}) \frac{λ_{0}^{x}}{x!}

$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$

तथा

Pr (X = x | Y = 1) = \exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!} .

$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$

इसलिए (यह बेयस प्रमेय का एक तुच्छ मामला है) मौका है कि पर सशर्त उत्तरार्द्ध की सापेक्ष संभावना है, अर्थात् $Y=1$ $X=x$

Pr (Y = 1 | X = x) = \frac{\exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!}}{\exp (- λ_{1}) \frac{λ_{1}^{x}}{x!} + \exp (- λ_{0}) \frac{λ_{0}^{x}}{x!}} = \frac{1}{1 + \exp (β_{0} + β_{1} x)}

$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$

कहाँ पे

β_{0} = λ_{1} - λ_{0}

$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$

तथा

β_{1} = - \log (λ_{1} / λ_{0}) .

$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$

यह वास्तव में मानक लॉजिस्टिक प्रतिगमन मॉडल है।

— व्हीबर
स्रोत