11

कहें कि $Y$ एक सतत यादृच्छिक चर है, और $X$ एक असतत है।

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}$

जैसा कि हम जानते हैं, $\Pr(Y=y) = 0$ क्योंकि $Y$ एक सतत यादृच्छिक चर है। और इसके आधार पर, मुझे यह निष्कर्ष निकालने के लिए लुभाया जाता है कि संभाव्यता $\Pr(X=x|Y=y)$ अपरिभाषित है।

हालांकि, विकिपीडिया यहाँ का दावा है कि यह वास्तव में इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

Pr (X = x | Y = y) = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)}

$\Pr(X=x|Y=y) = \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

प्रश्न: कोई भी विचार कि विकिपीडिया ने उस संभाव्यता को कैसे परिभाषित किया?

मेरा प्रयास

यहाँ मेरा प्रयास है कि सीमा के संदर्भ में उस विकिपीडिया के परिणाम को प्राप्त करने के लिए:

\begin{aligned} Pr (X = x | Y = y) & = \frac{Pr (X = x) Pr (Y = y | X = x)}{Pr (Y = y)} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = lim_{d \to 0} \frac{Pr (X = x) (d \times f_{Y | X = x} (y))}{(d \times f_{Y} (y))} \\ = \frac{Pr (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \end{aligned}

$\begin{split}\require{cancel} \Pr(X=x|Y=y) &= \frac{\Pr(X=x)\Pr(Y=y|X=x)}{\Pr(Y=y)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(d \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(d \times f_Y(y)\big)}\\ &= \lim_{d \rightarrow 0}\frac{\Pr(X=x) \big(\cancel{d} \times f_{Y|X=x}(y)\big)}{\big(\cancel{d} \times f_Y(y)\big)}\\ &= \frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\\ \end{split}$

अब, प्रतीत होता है कि यह , जो मेल खाता है यह विकिपीडिया का दावा है। $\Pr(X=x|Y=y)$ $\frac{\Pr(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}$

क्या ऐसा विकिपीडिया ने किया है?

लेकिन मुझे अभी भी लग रहा है कि मैं यहां पथरी का दुरुपयोग कर रहा हूं। इसलिए मुझे लगता है कि अपरिभाषित है, लेकिन सीमा में हम जितना संभव हो उतना करीब परिभाषित करने के लिए और , लेकिन प्रत्यक्ष रूप से नहीं, तो को परिभाषित किया गया है। $\Pr(X=x|Y=y)$ $\Pr(Y=y)$ $\Pr(Y=y|X=x)$ $\Pr(X=x|Y=y)$

लेकिन मैं कई चीजों के बारे में काफी हद तक अनिश्चित हूं, जिसमें मैंने वहां की गई सीमा के छल को भी शामिल किया है, मुझे लगता है कि शायद मैं भी पूरी तरह से समझ नहीं पा रहा हूं कि मैंने क्या किया।

conditional-probability pdf

— गुफाओं का आदमी
स्रोत

1

वास्तव में, Pr (X = x) = 0 लेकिन xf (x) में X का घनत्व 0. के बराबर नहीं हो सकता है। क्या आपको 'स्व-अध्ययन' लेबल का उपयोग नहीं करना चाहिए ??

— लील'लॉस्टर

2

@ लिल जहां तक मुझे पता है, होमवर्क हल करते समय 'सेल्फ स्टडी' टैग होता है। मैं ऐसा नहीं कर रहा हूं।

— गुफामान

1

विकिपीडिया पृष्ठ वास्तव में व्युत्पत्ति को संदर्भित करता है: en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem#Derivation

— Ytsen de Boer

3

मुझे डर है कि आपकी व्युत्पत्ति का कोई गणितीय औचित्य नहीं है जैसा कि लिए सभी जब निरंतर है।

P (Y = y) = 0

$\mathbb{P}(Y=y)=0$

y \in Y

$y\in\mathcal{Y}$

Y

$Y$

— शीआन

10

सशर्त संभाव्यता वितरण , , , औपचारिक रूप से समीकरण समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है जहां को दर्शाता है -algebra के वितरण के साथ जुड़े । उन समाधानों में से एक Bayes '(1763) सूत्र द्वारा प्रदान किया गया है जैसा कि विकिपीडिया में इंगित किया गया है : $\mathbb{P}(X=x|Y=y)$ $x\in\mathcal{X}$ $y\in\mathcal{Y}$

P (X = x, Y \in A) = \int_{A} P (X = x | Y = y) f_{Y} (y) d y \forall A \in σ (Y)

$\mathbb{P}(X=x,Y\in A)=\int_{A}\mathbb{P}(X=x|Y=y)f_Y(y)\text{d}y\quad\forall A\in\sigma(\mathcal{Y})$

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

σ

$\sigma$

Y

$Y$

P (X = x | Y = y) = \frac{P (X = x) f_{Y | X = x} (y)}{f_{Y} (y)} \forall x \in X, y \in Y

$\mathbb{P}(X=x|Y=y) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x) f_{Y|X=x}(y)}{f_Y(y)}\qquad\forall x\in\mathcal{X},\ y\in\mathcal{Y}$ हालाँकि ऐसे संस्करण जिन्हें मनमाने ढंग से परिभाषित किया गया है, जो एक माप-शून्य सेट पर में मान्य हैं।

σ (Y)

$\sigma(\mathcal{Y})$

एक पृथक परिकल्पना के संबंध में एक सशर्त प्रायिकता की अवधारणा जिसकी संभाव्यता 0 के बराबर है, अप्राप्य है। हमारे लिए मेरिडियन सर्कल पर [अक्षांश] के लिए एक संभावना वितरण प्राप्त कर सकते हैं, जब हम इस सर्कल को दिए गए डंडे के साथ मेरिडियन सर्कल पर संपूर्ण गोलाकार सतह के अपघटन के एक तत्व के रूप में मानते हैं - आंद्रेई कोलमोरोरोव

जैसा कि Borel-Kolmogorov विरोधाभास द्वारा दिखाया गया है , विशिष्ट मूल्य संभावित लिया , सशर्त प्रायिकता वितरण को इसका कोई सटीक अर्थ नहीं है, केवल इसलिए नहीं कि घटना माप शून्य का है, लेकिन यह भी क्योंकि इस घटना को औसत दर्जे का -algebras के खिलाफ औसत दर्जे का माना जा सकता है । $y_0$ $Y$ $\mathbb{P}(X=x|Y=y_0)$ $\{\omega;\,Y(\omega)=y_0\}$ $\sigma$

नोट: यहाँ एक और भी अधिक औपचारिक परिचय है, टेरी ताओ के ब्लॉग पर संभाव्यता सिद्धांत की समीक्षा से ले लो :

परिभाषा 9 (विघटन) चलो साथ एक यादृच्छिक चर है । नमूना स्थान का संबंध में एक विघटन , एक उपसमुच्चय का है जो पूर्ण माप का (इस प्रकार लगभग निश्चित रूप से), एक साथ एक संभावना उपाय के काम के साथ उपस्पेस पर की प्रत्येक लिए , जो इस अर्थ में औसत दर्जे का है कि मानचित्र $Y$ $R$ $(R', (\mu_y)_{y \in R'})$ $\Omega$ $Y$ $R'$ $R$ $\mu_Y$ $Y \in R'$ ${\bf P}(|Y=y)$ $\Omega_y := \{ \omega \in \Omega: Y(\omega)=y\}$ $\Omega$ $y \in R$ $y \mapsto {\bf P}(F|Y=y)$ हर घटना लिए औसत दर्जे का है , और ऐसे ऐसे सभी आयोजनों के लिए, जहाँ (लगभग निश्चित रूप से परिभाषित) यादृच्छिक चर को बराबर परिभाषित किया गया है जब भी । $F$
$P (F) = E P (F | Y)$ $\displaystyle {\bf P}(F) = {\bf E} {\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ $Y=y$
इस तरह के एक विघटन को देखते हुए, हम कर सकते हैं तो इस घटना के लिए शर्त किसी के लिए की जगह उपस्पेस साथ (प्रेरित के साथ , लेकिन अंतर्निहित संभावना उपाय की जगह -algebra) के साथ । इस प्रकार हम सशर्त घटनाओं और वातानुकूलित स्थान पर यादृच्छिक चर बनाने के लिए इस घटना में यादृच्छिक ) घटनाओं और यादृच्छिक चर की स्थिति को सशर्त संभावनाओं को जन्म दे सकते हैं $Y=y$ $y \in R'$ $\Omega$ $\Omega_y$ $\sigma$ ${\bf P}$ ${\bf P}(|Y=y)$ $F$ $X$ $(F|Y=y)$ $(X|Y=y)$ ${\bf P}(F|Y=y)$ (जो इस अभिव्यक्ति के लिए मौजूदा संकेतन के अनुरूप है) और सशर्त अपेक्षाएँ (इस वातानुकूलित स्थान में पूर्ण पूर्णता प्राप्त करना)। हमने तब को (लगभग निश्चित रूप से परिभाषित) यादृच्छिक चर के बराबर लिए निर्धारित किया है जब भी । ${\bf E}(X|Y=y)$ ${\bf E}(X|Y)$ ${\bf E}(X|Y=y)$ $Y=y$

— शीआन
स्रोत

1

पहले से ही +1 किया, लेकिन ... शायद यह नाइटपैकिंग है, लेकिन बेयस / लाप्लास द्वारा एक सूत्र के रूप में बेयस प्रमेय को संदर्भित करना अधिक सटीक नहीं होगा ..?

— टिम

2

@ टिम: आपको धन्यवाद, लेकिन मैं अतिउत्साही ध्वनि नहीं करना चाहता! और यह एक तथ्य है कि डिस्क्रीट (द्विपद) और निरंतर (बीटा) के लिए बेयस का सूत्र बेयस (1763) पेपर में दिखाई देता है। बेशक, लाप्लास ने बहुत व्यापक व्यापकता में परिणाम निर्धारित किया।

X

$X$

Y

$Y$

— शीआन

4

जब निरंतर होता है और असतत होता है तो मैं एक स्केच दे सकता हूं कि टुकड़े एक साथ कैसे फिट हो सकते हैं । $Y$ $X$

मिश्रित संयुक्त घनत्व:

f_{X Y} (x, y)

$f_{XY}(x,y)$

सीमांत घनत्व और संभावना:

f_{Y} (y) = \sum_{x \in X} f_{X Y} (x, y)

$f_Y(y) = \sum_{x \in X} f_{XY}(x, y)$

P (X = x) = \int f_{X Y} (x, y) d y

$P(X = x) = \int f_{XY}(x, y) \;dy$

सशर्त घनत्व और संभावना:

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{f_{XY}(x, y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{X Y} (x, y)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{XY}(x, y)}{f_Y(y)}$

बे नियम

f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) = \frac{P (X = x ∣ Y = y) f_{Y} (y)}{P (X = x)}

$f_{Y\mid X}(y \mid X = x) = \frac{P(X=x \mid Y = y) f_Y(y)}{P(X=x)}$

P (X = x ∣ Y = y) = \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ X = x) P (X = x)}{f_{Y} (y)}

$P(X=x \mid Y = y) = \frac{f_{Y\mid X}(y \mid X = x)P(X=x)}{f_Y(y)}$

बेशक, संभावना से निपटने का आधुनिक, कठोर तरीका उपाय सिद्धांत के माध्यम से है। एक प्रारंभिक परिभाषा के लिए, शीआन का जवाब देखें।

— मैथ्यू गुन
स्रोत

2

ध्यान दें कि विकिपीडिया लेख वास्तव में निम्नलिखित परिभाषा का उपयोग करता है: यह है, यह परिणाम को एक घनत्व के रूप में मानता है, एक संभावना के रूप में नहीं, जैसा कि आपके पास है। तो मैं कहूंगा कि आप सही हैं कि अपरिभाषित है जब निरंतर है और असतत है, यही कारण है कि हम इसके बजाय उस मामले में पर केवल संभावना घनत्व पर विचार करते हैं ।

f_{X} (x | Y = y) = \frac{P (Y = y | X = x) f_{X} (x)}{p (Y = y)}

$f_X(x|Y=y) = \frac{P(Y=y|X=x)f_X(x)}{p(Y=y)}$

P (X = x | Y = y)

$P(X=x|Y=y)$

X

$X$

Y

$Y$

X

$X$

संपादित करें: संकेतन के बारे में एक भ्रम के कारण (टिप्पणियों को देखें) उपरोक्त वास्तव में विपरीत स्थिति को संदर्भित करता है जो गुफाओं के बारे में पूछ रहा था।

— रूबेन वैन बर्गन
स्रोत