क्या 50% आत्मविश्वास अंतराल 95% आत्मविश्वास अंतराल की तुलना में अधिक मजबूती से अनुमानित हैं?

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मेरा प्रश्न से बाहर बहती है इस टिप्पणी , एक एंड्रयू गेल्मैन के ब्लॉग पोस्ट पर जिसमें उन्होंने 95% विश्वास अंतराल के बजाय 50% विश्वास के अंतराल के उपयोग की वकालत करता है, हालांकि इस आधार पर कि वे और अधिक मजबूती के साथ होने का अनुमान है नहीं:

मैं 3 कारणों से 50% से 95% अंतराल पसंद करता हूं:

कम्प्यूटेशनल स्थिरता,

अधिक सहज मूल्यांकन (आधे 50% अंतराल में सही मूल्य होना चाहिए),

ऐसा भाव जो किसी भी स्थिति में एक अवास्तविक-निश्चितता का प्रयास करने के लिए नहीं, जहां मानकों और अनुमानित मूल्यों के बारे में जानने के लिए सबसे अच्छा है।

टिप्पणीकार के विचार से लगता है कि विश्वास अंतराल के निर्माण में अंतर्निहित मान्यताओं के साथ समस्याओं का प्रभाव अधिक होगा यदि यह 50% सीआई की तुलना में 95% सीआई है। हालाँकि, वह वास्तव में क्यों नहीं समझाता है।

[...] जैसा कि आप बड़े अंतराल पर जाते हैं, आप अपने मॉडल के विवरण या मान्यताओं के प्रति सामान्य रूप से अधिक संवेदनशील हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, आप कभी नहीं मानेंगे कि आपने 99.9995% अंतराल की सही पहचान की है। या कम से कम मेरा अंतर्ज्ञान है। यदि यह सही है, तो यह तर्क दिया जाता है कि 95 प्रतिशत की तुलना में 50 प्रतिशत बेहतर होना चाहिए। या शायद "अधिक मजबूती" का अनुमान है, क्योंकि यह शोर के बारे में मान्यताओं के प्रति कम संवेदनशील है, शायद?

क्या यह सच है? क्यों नहीं?

confidence-interval assumptions robust

— user1205901 - मोनिका को बहाल करें
स्रोत

आमतौर पर, हाँ, कम आत्मविश्वास का स्तर अधिक मजबूत होता है। 100 अवलोकनों के साथ नमूने पर एक माध्य बनाम 99 प्रतिशत का अनुमान लगाने पर विचार करें। कोई भी एक बड़ा अवलोकन 99 परसेंटाइल को स्थानांतरित करने वाला है, जबकि मंझला बहुत आगे नहीं बढ़ेगा। मुझे यकीन है कि आप एक काउंटर उदाहरण पा सकते हैं, लेकिन यह असामान्य लगेगा।

— अक्षल

19

यह उत्तर उद्धरण के अर्थ का विश्लेषण करता है और इसे वर्णन करने के लिए एक सिमुलेशन अध्ययन के परिणाम प्रदान करता है और समझने में मदद करता है कि यह क्या कहना चाह रहा है। Rअन्य आत्मविश्वास अंतराल प्रक्रियाओं और अन्य मॉडलों का पता लगाने के लिए अध्ययन को आसानी से (अल्पविकसित कौशल के साथ ) बढ़ाया जा सकता है ।

इस काम में दो दिलचस्प मुद्दे सामने आए। एक चिंता यह है कि आत्मविश्वास अंतराल प्रक्रिया की सटीकता का मूल्यांकन कैसे किया जाए। मजबूती जिस पर मिलती है, वह उसी पर निर्भर करती है। मैं दो अलग-अलग सटीकता के उपाय प्रदर्शित करता हूं ताकि आप उनकी तुलना कर सकें।

दूसरा मुद्दा यह है कि हालांकि कम आत्मविश्वास के साथ एक आत्मविश्वास अंतराल प्रक्रिया मजबूत हो सकती है, लेकिन संबंधित आत्मविश्वास सीमाएं मजबूत नहीं हो सकती हैं। अंतराल अच्छी तरह से काम करते हैं क्योंकि वे एक छोर पर होने वाली त्रुटियों को अक्सर दूसरे पर होने वाली त्रुटियों का प्रतिकार करते हैं। एक व्यावहारिक बात के रूप में, आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि आपके विश्वास अंतराल में से लगभग आधे अपने मापदंडों को कवर कर रहे हैं, लेकिन वास्तविक पैरामीटर लगातार प्रत्येक अंतराल के एक विशेष छोर के पास हो सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वास्तविकता आपके मॉडल मान्यताओं से कैसे निकलती है। $50\%$

आंकड़ों में रोबस्ट का एक मानक अर्थ है:

आम तौर पर एक अंतर्निहित संभाव्य मॉडल के आसपास की धारणाओं से प्रस्थान करने के लिए रोबस्टनेस का अर्थ असंवेदनशीलता है।

(होआग्लिन, मोस्टेलर और टुकी, अंडरस्टैंडिंग रोबस्ट एंड एक्सप्लोसिटरी डेटा एनालिसिस । जे। विली (1983), पी। 2.)

यह प्रश्न में उद्धरण के अनुरूप है। उद्धरण को समझने के लिए हमें अभी भी एक आत्मविश्वास अंतराल के इच्छित उद्देश्य को जानना होगा । इसके लिए, आइए समीक्षा करते हैं कि गेलमैन ने क्या लिखा।

मैं 3 कारणों से 50% से 95% अंतराल पसंद करता हूं:

कम्प्यूटेशनल स्थिरता,

अधिक सहज मूल्यांकन (आधे 50% अंतराल में सही मूल्य होना चाहिए),

एक ऐसा अर्थ जो अनुप्रयोगों में यह समझ पाने के लिए सबसे अच्छा है कि मापदंडों और अनुमानित मूल्यों के बारे में क्या होगा, न कि अवास्तविक निकटता का प्रयास करने के लिए।

चूँकि अनुमानित मूल्यों की समझ नहीं है, इसलिए आत्मविश्वास के अंतराल (CI) के लिए इरादा नहीं है, मैं पैरामीटर मानों की समझ पाने पर ध्यान केंद्रित करूँगा , जो कि CI करते हैं। चलो इन "लक्ष्य" मूल्यों को कहते हैं। जिस कारण से, परिभाषा के द्वारा, एक सीआई एक निर्दिष्ट संभावना (अपने आत्मविश्वास का स्तर) के साथ अपने लक्ष्य को कवर करने का इरादा है। किसी भी CI प्रक्रिया की गुणवत्ता का मूल्यांकन करने के लिए अपेक्षित कवरेज दरें प्राप्त करना न्यूनतम मानदंड है। (इसके अतिरिक्त, हमें विशिष्ट CI चौड़ाई में रुचि हो सकती है। पोस्ट को एक उचित लंबाई तक रखने के लिए, मैं इस मुद्दे की उपेक्षा करूंगा।)

ये विचार हमें इस बात का अध्ययन करने के लिए आमंत्रित करते हैं कि लक्ष्य पैरामीटर मान के विषय में एक विश्वास अंतराल गणना हमें कितना भ्रमित कर सकती है। उद्धरण को यह सुझाव देते हुए पढ़ा जा सकता है कि डेटा से मॉडल द्वारा भिन्न प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न किए जाने पर भी कम-से-कम CI अपने कवरेज को बनाए रख सकते हैं। यही कुछ हम परीक्षण कर सकते हैं। प्रक्रिया है:

संभावना मॉडल को अपनाएं जिसमें कम से कम एक पैरामीटर शामिल हो। क्लासिक एक अज्ञात माध्य और विचरण के सामान्य वितरण से नमूना है।
मॉडल के एक या अधिक मापदंडों के लिए CI प्रक्रिया का चयन करें। एक उत्कृष्ट एक नमूना माध्य और नमूना मानक विचलन से सीआई का निर्माण करता है, एक छात्र टी वितरण द्वारा दिए गए कारक से उत्तरार्द्ध को गुणा करता है।
उस प्रक्रिया को विभिन्न अलग-अलग मॉडलों पर लागू करें - एक को गोद लेने से बहुत ज्यादा नहीं - आत्मविश्वास के स्तर की सीमा पर इसकी कवरेज का आकलन करने के लिए।

$50\%$ $99.8\%$

$\alpha$ $p$ , फिर

लॉग (\frac{पी}{1 - पी}) - लॉग (\frac{α}{1 - α})

$\log\left(\frac{p}{1-p}\right) - \log\left(\frac{\alpha}{1-\alpha}\right)$

अच्छी तरह से अंतर पर कब्जा करता है। जब यह शून्य होता है, तो कवरेज बिल्कुल इच्छित मूल्य होता है। जब यह नकारात्मक होता है, तो कवरेज बहुत कम होता है - जिसका अर्थ है कि सीआई बहुत आशावादी है और अनिश्चितता को कम करता है।

फिर सवाल यह है कि इन एरर रेट्स में कॉन्फिडेंस लेवल अलग-अलग कैसे होता है क्योंकि इनरोलड मॉडल खराब है? हम अनुकार परिणामों की साजिश रचकर इसका उत्तर दे सकते हैं। ये भूखंड इस बात की परिमाणित करते हैं कि कैसे "अवास्तविक" सीआई के "निकट-निश्चितता" इस कट्टरपंथी अनुप्रयोग में हो सकता है।

$(1/30,1/30)$

$\alpha$ $95\%$ $3$

$\alpha=50\%$ $50\%$ $95\%$ $5\%$ उस समय, तब हमें अपनी त्रुटि दर के लिए तैयार रहना चाहिए जब दुनिया हमारे मॉडल को जिस तरह से दबाती है उससे बहुत अधिक काम नहीं होता है।

$50\%$ $50\%$

यह वह Rकोड है जो भूखंडों का उत्पादन करता है। यह अन्य वितरण, आत्मविश्वास की अन्य श्रेणियों और अन्य CI प्रक्रियाओं का अध्ययन करने के लिए आसानी से संशोधित किया गया है।

#
# Zero-mean distributions.
#
distributions <- list(Beta=function(n) rbeta(n, 1/30, 1/30) - 1/2,
                      Uniform=function(n) runif(n, -1, 1),
                      Normal=rnorm, 
                      #Mixture=function(n) rnorm(n, -2) + rnorm(n, 2),
                      Exponential=function(n) rexp(n) - 1,
                      Lognormal=function(n) exp(rnorm(n, -1/2)) - 1
)
n.sample <- 12
n.sim <- 5e4
alpha.logit <- seq(0, 6, length.out=21); alpha <- signif(1 / (1 + exp(-alpha.logit)), 3)
#
# Normal CI.
#
CI <- function(x, Z=outer(c(1,-1), qt((1-alpha)/2, n.sample-1))) 
  mean(x) + Z * sd(x) / sqrt(length(x))
#
# The simulation.
#
#set.seed(17)
alpha.s <- paste0("alpha=", alpha)
sim <- lapply(distributions, function(dist) {
  x <- matrix(dist(n.sim*n.sample), n.sample)
  x.ci <- array(apply(x, 2, CI), c(2, length(alpha), n.sim),
                dimnames=list(Endpoint=c("Lower", "Upper"),
                              Alpha=alpha.s,
                              NULL))
  covers <- x.ci["Lower",,] * x.ci["Upper",,] <= 0
  rowMeans(covers)
})
(sim)
#
# The plots.
#
logit <- function(p) log(p/(1-p))
colors <- hsv((1:length(sim)-1)/length(sim), 0.8, 0.7)
par(mfrow=c(1,2))         
plot(range(alpha.logit), c(-2,1), type="n", 
     main="Confidence Interval Accuracies (Logit Scales)", cex.main=0.8,
     xlab="Logit(alpha)", 
     ylab="Logit(coverage) - Logit(alpha)")
abline(h=0, col="Gray", lwd=2)
legend("bottomleft", names(sim), col=colors, lwd=2, bty="n", cex=0.8)
for(i in 1:length(sim)) {
  coverage <- sim[[i]]
  lines(alpha.logit, logit(coverage) - alpha.logit, col=colors[i], lwd=2)
}

plot(range(alpha), c(-0.2, 0.05), type="n", 
     main="Raw Confidence Interval Accuracies", cex.main=0.8,
     xlab="alpha", 
     ylab="coverage-alpha")
abline(h=0, col="Gray", lwd=2)
legend("bottomleft", names(sim), col=colors, lwd=2, bty="n", cex=0.8)
for(i in 1:length(sim)) {
  coverage <- sim[[i]]
  lines(alpha, coverage - alpha, col=colors[i], lwd=2)
}

— व्हीबर
स्रोत

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यह एक दिलचस्प विचार है, और मैं देख सकता हूं कि यह कैसे सहज रूप से सम्मोहक है, लेकिन मुझे लगता है कि यह सच या गलत होने के लिए बहुत अस्पष्ट है। यहाँ कुछ प्रश्न दिए गए हैं, जो मैं चाहता हूँ कि टिप्पणीकार स्पष्ट करे:

क्या (एक माध्य, एक विचरण, कुछ और) के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल ?
अंतराल की गणना कैसे की गई (बड़े नमूना सिद्धांत, बूटस्ट्रैपिंग, आदि का उपयोग करके)?
किस मायने में 50% सीआई "अधिक मजबूत" या "कम संवेदनशील" होगा, और किन मान्यताओं के लिए?

उन सवालों के अलग-अलग जवाबों के साथ, मुझे लगता है कि हम बयान को स्पष्ट रूप से सच या गलत बना सकते हैं।

मेरा अनुमान है कि टिप्पणीकार इसका जिक्र कर रहा है:

बड़े नमूना सिद्धांत का उपयोग करके गणना किए गए माध्य के लिए एक आत्मविश्वास अंतराल,
जहां डेटा का वितरण आउटलेर्स से दूषित नहीं होता है, लेकिन सामान्य के अलावा अन्य वितरण से आता है जो बीच में सामान्य के समान है, लेकिन पूंछ नहीं है,
और विचार यह है कि सच्ची स्पर्शोन्मुख कवरेज अधिक बारीकी से नाममात्र कवरेज का अनुमान लगाती है।

यदि वे हैं जो टिप्पणी करने वाले के दिमाग में हैं, तो इस बात पर निर्भर करता है कि वितरण कंधों की पूंछ अपने कंधों के साथ कैसे बंद होती है, यह कथन सही हो सकता है।

$t$ $\Phi^{-1}(.25)$ $\Phi^{-1}(.75)$ $t$ $t_{df = 1}$

— गुंग - को पुनः स्थापित मोनिका
स्रोत