हर गैर स्थिर श्रृंखला विभेदकों के माध्यम से एक स्थिर श्रृंखला में परिवर्तनीय है

Question

क्या हर गैर स्थिर समय श्रृंखला को अलग-अलग लागू करके एक स्थिर समय श्रृंखला में परिवर्तित किया जा सकता है? इसके अलावा, आप अलग-अलग लागू होने के क्रम को कैसे तय करते हैं?

क्या आप अंतराल 1,2 ... n के साथ अंतर करते हैं, और हर बार स्थिर होने के लिए यूनिट का रूट टेस्ट करते हैं कि परिणामी श्रृंखला स्थिर है या नहीं?

Answer 1

नहीं। प्रतिधारण के रूप में, को किसी भी यादृच्छिक चर के रूप में जाने दें और समय श्रृंखला को समय t पर मान exp ( t X ) मान दें । कश्मीर वें समय में अंतर मैं = 0 , 1 , 2 , ... एक रेखीय संयोजन है$X$$\exp(t X)$$t$$k^\text{th}$$i=0, 1, 2, \ldots$

$$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$$

गुणांक के लिए (जो गणना की जा सकती है, लेकिन जिनके मान इस चर्चा के लिए अप्रासंगिक हैं)। जब तक एक्स स्थिर नहीं होता है, तब तक बाएं और दाएं पक्षों के अलग-अलग वितरण होते हैं, यह साबित करता है कि के वें अंतर स्थिर नहीं है। इसलिए अलग-अलग कोई राशि इस बार श्रृंखला को स्थिर नहीं बनाएगी।$w_j$$X$$k^\text{th}$

Comments

तो एक टाइम सीरीज़ (रैखिक) को देखते हुए, आप कैसे जानते हैं कि क्या इसे कभी भी स्थिर श्रृंखला बनाने के लिए अलग किया जा सकता है?

— विक्टर

कृपया समझाएं कि "लीनियर" टाइम सीरीज़ से आपका क्या मतलब है। सामान्य तौर पर, श्रृंखला को स्थिर बनाने के लिए आवश्यक विभेदकों की मात्रा का आकलन करने के लिए एआर मॉडल मात्राओं को फिट करने की प्रक्रिया ।

— whuber

धन्यवाद..मुझे उस बारे में सोचना है। मुझे नहीं पता कि मैं कितना जानता हूँ

— विक्टर

यह इस तथ्य का परिणाम प्रतीत होता है कि घातीय कार्य अपने स्वयं के व्युत्पन्न हैं, और यह तुरंत मुझे सुझाव देता है कि एक बार श्रृंखला को बार-बार विभेदित करके स्थिर बनाया जा सकता है यदि और केवल "सच" फ़ंक्शन होने पर यह एक बहुपद है ( या, समकक्ष रूप से, इसकी टेलर श्रृंखला का विस्तार परिमित है)।

— zwol

@zwol यह अच्छी जानकारी है - और यही कारण है कि घातीय प्रतिघात सबसे पहले दिमाग में आया था - लेकिन यह कहानी का केवल एक हिस्सा है। यदि अपेक्षा समय का बहुपद है, तो पर्याप्त भिन्नता समय श्रृंखला को पहले क्रम में प्रस्तुत करेगी : यानी, वितरण के पहले क्षण समय के साथ अपरिवर्तित होंगे। हालांकि, अलग-अलग आवश्यक रूप से उच्चतर क्षणों या बहुभिन्नरूपी क्षणों को स्थिर नहीं करेंगे।

— व्हिबर

Answer 2

व्हीबर द्वारा उत्तर सही है; बहुत सी समय-श्रृंखलाएँ हैं जिन्हें अलग-अलग करके स्थिर नहीं बनाया जा सकता है। इसके बावजूद कि यह आपके प्रश्न का कड़ाई से जवाब देता है, यह भी ध्यान देने योग्य हो सकता है कि सफेद शोर के साथ ARIMA मॉडल के व्यापक वर्ग के भीतर, भिन्नता उन्हें ARMA मॉडल में बदल सकती है, और उत्तरार्द्ध (asymptotically) स्थिर हैं जब शेष जड़ें ऑटो-प्रतिगामी विशेषता बहुपद इकाई चक्र के अंदर हैं। यदि आप अवलोकन योग्य श्रृंखला के लिए एक उपयुक्त प्रारंभिक वितरण निर्दिष्ट करते हैं जो स्थिर वितरण के बराबर है, तो आपको एक सख्ती से स्थिर समय-श्रृंखला प्रक्रिया मिलती है ।

इसलिए एक सामान्य नियम के रूप में, नहीं, हर समय-श्रृंखला विभेदकों द्वारा एक स्थिर श्रृंखला में परिवर्तनीय नहीं है। हालाँकि, यदि आप ARIMA वर्ग में समय-श्रृंखला मॉडल के व्यापक वर्ग को सफेद शोर और उचित रूप से निर्दिष्ट आरंभिक वितरण (और यूनिट सर्कल के अंदर अन्य AR मूल) के साथ अपना दायरा सीमित करते हैं, तो स्टेशनरिटी प्राप्त करने के लिए हां का उपयोग किया जा सकता है।

Comments

+1 तर्क, कुछ (कई?) अनुप्रयोगों के लिए यह विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक एक की तुलना में अधिक उपयोगी उत्तर है जो मैंने पेश किया था।

— whuber

हाँ - मुझे लगता है कि कभी-कभी यह "आपके प्रश्न का उत्तर है, और अब यहाँ एक अलग प्रश्न का उत्तर है जो आपको भी पूछना चाहिए था।"

— बेन -