ऐसा क्यों है कि प्राकृतिक लॉग परिवर्तन प्रतिशत परिवर्तन हैं? लॉग के बारे में क्या है जो ऐसा करता है?

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क्या कोई समझा सकता है कि लॉग के गुण इसे कैसे बनाते हैं ताकि आप रैखिक परिवर्तन कर सकें जहां गुणांक प्रतिशत परिवर्तन के रूप में व्याख्या किए गए हैं?

regression logarithm mathematical-statistics

— thewhitetie
स्रोत

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l o g (y_{t}) - l o g (y_{t - 1}) = l o g (y_{t} / y_{t - 1})

$log(y_t) -log(y_{t-1})=log(y_t/y_{t-1})$ , और

y_{t} / y_{t - 1}

$y_t/y_{t-1}$ 1 है प्रतिशत परिवर्तन।

एक्स 1 के सापेक्ष समीकरण को अलग करना मुझे लगता है कि हमें श्रृंखला के भावों पर विचार करने से बेहतर सवाल के जवाब में ट्रैक पर रखता है।

— चार्ल्स

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के लिए और एक दूसरे के करीब, प्रतिशत परिवर्तन लॉग अंतर का अनुमान लगाती है । $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2-x_1}{x_1}$ $\log x_2 - \log x_1$

प्रतिशत परिवर्तन लॉग अंतर को अनुमानित क्यों करता है?

पथरी का एक विचार यह है कि आप एक लाइन के साथ एक चिकनी फ़ंक्शन का अनुमान लगा सकते हैं। रेखीय सन्निकटन टेलर सीरीज़ की पहली दो शर्तें हैं । आसपास का पहला ऑर्डर टेलर विस्तार द्वारा दिया गया है: $\log(x)$ $x=1$

\log (x) \approx \log (1) + \frac{d}{d x} {\log (x) |}_{x = 1} (x - 1)

$\log(x) \approx \log(1) + \frac{d}{dx} \left. \log (x) \right|_{x=1} \left( x - 1 \right)$ दाहिने हाथ की ओर को सरल इसलिए:

0 + \frac{1}{1} (x - 1)

$0 + \frac{1}{1}\left( x - 1\right)$

\log (x) \approx x - 1

$\log(x) \approx x-1$

तो 1 के पड़ोस में लिए , हम लाइन साथ को अनुमानित कर सकते हैं, नीचे और ग्राफ है । $x$ $\log(x)$ $y = x - 1$ $y = \log(x)$ $y = x - 1$

उदाहरण: । $\log(1.02) = .0198 \approx 1.02 - 1$

अब दो चर और पर विचार करें जैसे कि । फिर लॉग अंतर लगभग प्रतिशत परिवर्तन : $x_2$ $x_1$ $\frac{x_2}{x_1} \approx 1$ $\frac{x_2}{x_1} - 1 = \frac{x_2 - x_1}{x_1}$

\log x_{2} - \log x_{1} = \log (\frac{x_{2}}{x_{1}}) \approx \frac{x_{2}}{x_{1}} - 1

$\log x_2 - \log x_1 = \log\left( \frac{x_2}{x_1} \right) \approx \frac{x_2}{x_1} - 1$

प्रतिशत परिवर्तन लॉग अंतर का एक रैखिक सन्निकटन है!

लॉग मतभेद क्यों?

अक्सर जब आप प्रतिशत में बदलाव के बारे में सोच रहे होते हैं, तो गणितीय रूप से क्लीनर अवधारणा को लॉग मतभेदों के संदर्भ में सोचना पड़ता है। जब आप बार-बार शब्दों को एक साथ गुणा कर रहे हैं, तो लॉग में काम करना अक्सर अधिक सुविधाजनक होता है और इसके बजाय शब्दों को एक साथ जोड़ते हैं।

मान लें कि समय पर हमारा धन द्वारा दिया गया है: तब यह लिखना अधिक सुविधाजनक हो सकता है: जहाँ । $T$

W_{T} = \prod_{t = 1}^{T} (1 + R_{t})

$W_T = \prod_{t=1}^T (1 + R_t)$

\log W_{T} = \sum_{t = 1}^{T} r_{t}

$\log W_T = \sum_{t=1}^T r_t$

r_{t} = \log (1 + R_{t}) = \log W_{t} - \log W_{t - 1}

$r_t = \log (1 + R_t) = \log W_t - \log W_{t-1}$

प्रतिशत परिवर्तन और लॉग अंतर समान नहीं हैं?

बड़े प्रतिशत परिवर्तनों के लिए, लॉग अंतर एक समान बात नहीं है क्योंकि प्रतिशत में परिवर्तन होता है क्योंकि लाइन साथ वक्र अनुमान लगाने से से आगे और भी बदतर हो जाता है । उदाहरण के लिए: $y = \log(x)$ $y = x - 1$ $x=1$

\log (1.6) - \log (1) = .47 \neq 1.6 - 1

$\log\left(1.6 \right) - \log(1) = .47 \neq 1.6 - 1$

इस मामले में लॉग अंतर क्या है?

इसके बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि .47 के लॉग में एक अंतर 47 विभिन्न .01 लॉग के अंतर के संचय के बराबर है, जो लगभग 47 1% सभी यौगिकों को एक साथ बदल देता है।

\begin{aligned} \log (1.6) - \log (1) & = 47 (.01) \\ \approx 47 (\log (1.01)) \end{aligned}

$\begin{align*} \log(1.6) - \log(1) &= 47 \left( .01 \right) \\ & \approx 47 \left( \log(1.01) \right) \end{align*}$

फिर दोनों पक्षों को प्राप्त करने के लिए घातांक करें:

1.6 \approx {1.01}^{47}

$1.6 \approx 1.01 ^{47}$

.47 का एक लॉग अंतर लगभग 47 भिन्न 1% के बराबर है, या इससे भी बेहतर, 470 अलग .1% सभी यौगिकों को बढ़ाता है ...

यहाँ कई उत्तर इस विचार को और स्पष्ट करते हैं।

— मैथ्यू गुन
स्रोत

+1, आशा है कि इस उत्तर की नियोजित निरंतरता उन स्थितियों पर चर्चा करेगी जहाँ सन्निकटन टूट जाता है।

— whuber

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+1। मामूली बिंदु को जोड़ने के लिए, 1.6 से 1 37.5% की कमी है, 1 से 1.6 में 60% की वृद्धि है, लॉग अंतर 0.47 परिवर्तन की दिशा से स्वतंत्र है, और हमेशा 0.375 और 0.6 के बीच होता है। जब हम परिवर्तन की दिशा के बारे में नहीं जानते या परवाह नहीं करते हैं, तो लॉग अंतर दो प्रतिशत परिवर्तनों के औसत का एक विकल्प हो सकता है, भले ही प्रतिशत परिवर्तन बड़ा हो।

— पॉल

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यहाँ dummies के लिए एक संस्करण है ...

हमारे पास मॉडल - डेटा क्लाउड के माध्यम से एक सरल सीधी रेखा - और हम जानते हैं कि एक बार जब हम गुणांक का अनुमान लगाते हैं, तो एक के पूर्व मूल्य में वृद्धि होगी। से, के मूल्य में की वृद्धि के , as । लेकिन इकाइयाँ वास्तव में निरपेक्ष मूल्यों में निरर्थक हो सकती हैं। $Y= \beta_o+\beta_1X+\varepsilon$ $1\text{-unit}$ $X=x_1$ $\hat \beta_1$ $Y$ $Y=y_1$ $\hat\beta_1(x_1+1) -\hat\beta_1x_1= \hat\beta_1$

इसलिए हम इसके बजाय मॉडल को (ब्रांड नए गुणांक) में बदल सकते हैं। अब उसी इकाई के लिए में वृद्धि हुई है , हमारे पास एक परिवर्तन है $\ln(Y)= \delta_o+\delta_1X+\varepsilon$ $\hat\delta_1$

\begin{matrix} (*) & \ln (y_{2}) - \ln (y_{1}) = \ln (\frac{y_{2}}{y_{1}}) = {\hat{δ}}_{1} (x_{1} + 1) - {\hat{δ}}_{1} x_{1} = {\hat{δ}}_{1} \end{matrix}

$\ln(y_2)-\ln(y_1)=\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=\hat\delta_1(x_1+1) -\hat\delta_1x_1= \hat\delta_1 \tag{*}$

प्रतिशत में परिवर्तन के निहितार्थ को देखने के लिए, हम प्रतिनियुक्ति कर सकते हैं : $(*)$

\begin{matrix} (**) & \exp ({\hat{δ}}_{1}) = \frac{y_{2}}{y_{1}} = \frac{y_{1} + y_{2} - y_{1}}{y_{1}} = 1 + \frac{y_{2} - y_{1}}{y_{1}} \end{matrix}

$\exp(\hat\delta_1)=\frac{y_2}{y_1}=\frac{\color{blue}{y_1}+y_2\color{blue}{-y_1}}{y_1}= 1+\frac{y_2-y_1}{y_1}\tag{**}$

$\frac{y_2-y_1}{y_1}$ सापेक्ष परिवर्तन है, और , प्रतिशत बदल जाता है। $(**)$ $\small 100\,\frac{y_2-y_1}{y_1}=100(\exp(\hat\delta_1)-1)$

इस सवाल का जवाब करने के लिए कुंजी को देखने के लिए है कि के छोटे मूल्यों के लिए , जो टेलर विस्तार के प्रथम दो शब्द का एक ही उपयोग के बराबर है मैथ्यू का इस्तेमाल किया, लेकिन इस बार ( मैक्लॉरिन श्रृंखला ) का मूल्यांकन शून्य पर किया गया क्योंकि हम घाघों के साथ काम कर रहे हैं, जैसा कि लघुगणक के विपरीत है: $\exp(\hat\delta_1)-1=\hat\delta_1$ $\hat\delta_1$ $e^x$

e^{x} = 1 + x + \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{3}}{3!} + \dots

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$

या रूप में साथ : $\delta_1$ $x$

\exp ({\hat{δ}}_{1}) = 1 + {\hat{δ}}_{1}

$\exp(\hat\delta_1)=1+\hat\delta_1$

so लगभग शून्य (हमने टेलर श्रृंखला के दौरान शून्य पर बहुपद विस्तार का मूल्यांकन किया)। दिखने में, $\hat\delta_1=\exp(\hat\delta_1)-1$

— एंटोनी परेलाडा
स्रोत

आपका उत्तर बिल्कुल स्पष्ट है: हमें छोटे-छोटे गुणांकों की आवश्यकता है जो लॉग-डिफरेंस को प्रतिशत परिवर्तन के रूप में व्याख्यायित करने में सक्षम हों, लेकिन @aksakal के उत्तर से पता चलता है कि हमें केवल छोटे परिवर्तन (यानी lim Δx --> 0) की आवश्यकता है। क्या आप बता सकते हैं कि दोनों कैसे समान हैं?

— टॉवी_परेलिज्म

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मान लें कि आपके पास एक मॉडल है एक लॉग का व्युत्पन्न लें:

\ln y = A + B x

$\ln y = A+B x$

\frac{d}{d x} \ln y \equiv \frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = B

$\frac{d}{dx}\ln y\equiv\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=B$

अब आप देख सकते हैं कि ढलान अब के सापेक्ष परिवर्तन का ढलान है : $b$ $y$

\frac{d y}{y} = B d x

$\frac{dy}{y}=B dx$

यदि आपके पास लॉग ट्रांसफ़ॉर्म नहीं है, तो आपको : के पूर्ण परिवर्तन का ढलान मिलेगा $y$

d y = B d x

$dy=B dx$

मैंने प्रतिस्थापित नहीं किया साथ पर बल दिया कि यह छोटे बदलावों के लिए काम करता है । $dx,dy$ $\Delta x,\Delta y$

— Aksakal
स्रोत

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वर्तमान उत्तरों में कई महान व्याख्याएं हैं, लेकिन यहां एक और एक प्रारंभिक निवेश पर ब्याज के उपार्जन के वित्तीय विश्लेषण के संदर्भ में तैयार किया गया है। मान लें कि आपके पास एक इकाई की प्रारंभिक राशि है जो वर्ष में अवधियों पर "चक्रवृद्धि" ब्याज के साथ (नाममात्र) दर प्रति वर्ष की दर से अर्जित करती है । एक वर्ष के अंत में, एक इकाई के प्रारंभिक निवेश का मूल्य है: $r$ $n$

I (n) = (1 + \frac{r}{n})^{n} .

$I(n) = \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n.$

अधिक बार यह ब्याज "कंपाउंडेड" होता है जितना अधिक पैसा आपको अपने शुरुआती निवेश पर मिलता है (क्योंकि कंपाउंडिंग का मतलब है कि आपको आपकी ब्याज पर ब्याज मिल रहा है)। सीमा को रूप में लेते हुए हमें "निरंतर चक्रवृद्धि ब्याज" मिलता है, जो देता है: $n \rightarrow \infty$

I (\infty) = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{r}{n})^{n} = \exp (r) .

$I(\infty) = \lim_{n \rightarrow \infty} \Big( 1+\frac{r}{n} \Big)^n = \exp(r).$

दोनों पक्षों का लघुगणक लेना , जिसका अर्थ है कि प्रारंभिक निवेश के अंतिम निवेश के अनुपात का लघुगणक लगातार चक्रवृद्धि ब्याज दर है। इस परिणाम से, हम देखते हैं कि समय-श्रृंखला परिणामों में लघुगणकीय अंतर को परिवर्तन की निरंतर यौगिक दरों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है । (यह व्याख्या अक्साकाल के उत्तर द्वारा भी उचित है , लेकिन वर्तमान कार्य आपको इसे देखने का एक और तरीका देता है।) $r = \ln I(\infty)$

— मोनिका को बहाल करो
स्रोत