ओआरएस का अनुमानक एआर (1) गुणांक पक्षपाती क्यों है?

Question

मैं यह समझने की कोशिश कर रहा हूं कि ओएलएस एक एआर (1) प्रक्रिया का एक पक्षपाती अनुमानक क्यों देता है। विचारणीय इस मॉडल में, सख्त अतिशयोक्ति का उल्लंघन किया जाता है, यानी और सहसंबद्ध होते हैं, लेकिन और असंबद्ध होते हैं। लेकिन अगर यह सच है, तो निम्न सरल व्युत्पत्ति क्यों नहीं पकड़ती है?

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Comments

क्रॉस मान्य पर कुछ संबंधित प्रश्न किए गए हैं। आप उन्हें देख कर लाभ उठा सकते हैं।

— रिचर्ड हार्डी

मैंने उन्हें देखा, लेकिन उन्होंने वास्तव में मेरी मदद नहीं की। मुझे एक प्रमाण और सिमुलेशन मिला जो इस परिणाम को दिखाता है। मुझे जिस चीज में दिलचस्पी है, वह मेरे तर्क के ऊपर गलत है।

— फ्लोरिस्टन

जब आप उपयोग कर रहे हैं $\text{plim}$क्या आप (un) पक्षपात के बजाय स्थिरता को संबोधित नहीं कर रहे हैं? के लिए (संयुक्त राष्ट्र) पक्षपात आप अपेक्षाओं का उपयोग किया जाना चाहिए।

— रिचर्ड हार्डी

आप पूरी तरह से सही हैं, जो पहेली को हल कर सकता है। इसलिए यदि ऊपर का समीकरण बिना परिवाद के पकड़ में नहीं आता है, तो यह छोटे नमूनों में ओएलएस की पक्षपातपूर्णता का खंडन नहीं करेगा और एक ही समय में ओएलएस की निरंतरता दिखाएगा। हालांकि मैं थोड़ा अनिश्चित हूं: क्या विचरण फॉर्मूले पर यह सहूलियत वास्तव में केवल वाद के लिए है और अपेक्षा में भी नहीं है? बहुत पहले से धन्यवाद!

— फ्लोरेस्टन

ओएलएस के अनुमानक स्वयं को शामिल नहीं करते हैं $\text{plim}$एस, तुम सिर्फ परिमित नमूनों में उम्मीदों को देखना चाहिए।

— रिचर्ड हार्डी

Answer 1

जैसा कि टिप्पणियों में अनिवार्य रूप से चर्चा की गई है, निष्पक्षता एक परिमित नमूना संपत्ति है, और यदि इसे आयोजित किया जाता है तो इसे व्यक्त किया जाएगा

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(जहां अपेक्षित मूल्य परिमित-नमूना वितरण का पहला क्षण है)

जबकि संगति के रूप में व्यक्त की गई एक विषम संपत्ति है

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

ओपी दर्शाता है कि भले ही इस संदर्भ में ओएलएस पक्षपाती है, फिर भी यह सुसंगत है।

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

यहां कोई विरोधाभास नहीं।

Answer 2

@ एलेकोस अच्छी तरह से बताता है कि एक सही प्लिम और निष्पक्षता समान क्यों नहीं हैं। अंतर्निहित कारण के लिए क्यों अनुमानक निष्पक्ष नहीं है, याद रखें कि एक अनुमानक की निष्पक्षता के लिए आवश्यक है कि सभी त्रुटि शब्द सभी रजिस्ट्रार मानों से स्वतंत्र हों ,$E(\epsilon|X)=0$।

वर्तमान मामले में, प्रतिगामी मैट्रिक्स में मूल्य होते हैं $y_1,\ldots,y_{T-1}$, इसलिए कि - mpiktas की टिप्पणी देखें - हालत में अनुवाद करता है $E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$ सबके लिए $s=2,\ldots,T$।

हमारे पास है

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ धारणा के तहत भी $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ हमारे पास वह है $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ परंतु, $y_t$ ऐन एआर मॉडल में भविष्य के मूल्यों के लिए एक रजिस्ट्रार भी है, जैसा कि $y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$।

Comments

मैं स्पष्टीकरण जोड़ूंगा $E(\varepsilon | X)$ इस मामले में अनुवाद करता है $E(\varepsilon_s|y_{1},...,y_T)$ प्रत्येक के लिए $s$। फिर आगे की चर्चा थोड़ी स्पष्ट हो जाती है।

— ६:५६ पर एमपिकटास

अच्छी बात है, मैंने एक संपादन किया

— क्रिस्टोफ़ हनक

Answer 3

दो अच्छे उत्तरों पर विस्तार। OLS अनुमानक लिखें:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

निष्पक्षता के लिए हमें चाहिए

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

लेकिन इसके लिए हमें वह चाहिए $E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$ प्रत्येक के लिए $t$। एआर (1) मॉडल के लिए यह स्पष्ट रूप से विफल हो जाता है, क्योंकि$\varepsilon_t$ भविष्य के मूल्यों से संबंधित है $y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$।

Comments

बस यह जांचने के लिए कि क्या मैं सही हो गया हूं: समस्या अंश नहीं है, प्रत्येक टी के लिए $y_{t-1}$ तथा $\epsilon_{t}$असंबद्ध हैं। समस्या यह है कि उच्चतर टी की विशेषता यह है कि वहाँ अंश और हर के बीच संबंध है ताकि मैं अंश के योग के भीतर अपेक्षा नहीं ले सकता (सख्त अतिशयोक्ति के तहत मैं ऐसा कर सकता था?)। क्या यह सही गणितीय अंतर्ज्ञान है?

— फ्लोरेस्टन

हाँ यह सही अंतर्ज्ञान है। ध्यान दें कि इस मामले में सख्त अतिशयता संभव नहीं है, लेकिन निष्पक्षता के लिए सख्त अतिशयता एक आवश्यकता बन जाती है।

— mpiktas