जब 52 के डेक से 20 कार्ड निकाले जाते हैं, तो चार तरह के चित्र बनाने की संभावना क्या है?

Question

कल मेरे घरवाले और मैं कार्ड गेम खेल रहे थे और किसी ने इस सवाल को पॉप किया। हमने समस्या को हल करने की कोशिश की, लेकिन हम इसका पता नहीं लगा सके। आज सुबह मैं उठा और मैं अभी भी सोच रहा था कि इसे कैसे हल किया जाए। क्या आप कृपया मेरी मदद करेंगे?

Answer 1

13 प्रकार हैं, इसलिए हम एक ही तरह की समस्या को हल कर सकते हैं और फिर वहां से आगे बढ़ सकते हैं।

तब सवाल यह है कि, 4 सफलताओं (राजाओं) के एक ही वितरण से 20 नमूनों में 4 सफलताओं (जैसे राजाओं) को खींचने की संभावना क्या है और प्रतिस्थापन के बिना 48 विफलताएं हैं?

Hypergeometric वितरण (विकिपीडिया) हमें इस सवाल का जवाब देता है, और यह 1.8% है।

यदि एक दोस्त 4 राजाओं को पाने के लिए दांव लगाता है, और चार रानी पाने के लिए दूसरा दांव लगाता है, तो दोनों के पास जीतने का 1.8% मौका है। हमें यह जानने की जरूरत है कि जीतने के लिए कम से कम एक की संभावना क्या है, यह कहने के लिए दोनों दांव ओवरलैप करते हैं।

दोनों जीत का ओवरलैप पहले सवाल के समान है, अर्थात्: 8 सफलताओं (राजाओं और रानियों) के वितरण से 20 नमूनों में 8 सफलताओं (राजाओं और रानियों) को आकर्षित करने की संभावना क्या है, और प्रतिस्थापन के बिना 44 विफलताएं हैं?

जवाब फिर से प्रचार है, और मेरी गणना से यह 0.017% है।

तो जीतने वाले दो दोस्तों में से कम से कम एक की संभावना 1.8% + 1.8% है - 0.017% = 3.6%

तर्क की इस पंक्ति को जारी रखने में, आसान भाग व्यक्तिगत प्रकार (13 * 1.8% = 23.4%) के लिए संभावनाओं को योग करता है, और कठिन भाग यह पता लगाने के लिए है कि ये सभी 13 परिदृश्य ओवरलैप कितने हैं।

4 राजाओं या 4 रानियों या 4 इक्के मिलने की संभावना है, उनमें से प्रत्येक के चार-एक प्रकार के ऋण प्राप्त करने का योग है। ओवरलैप में 4 राजा और 4 रानी (लेकिन 4 इक्के नहीं), 4 राजा और 4 इक्के (लेकिन 4 रानियां नहीं), 4 रानियां और 4 इक्के (लेकिन 4 राजा नहीं) और 4 राजा और 4 रानियां प्राप्त होती हैं। और 4 इक्के।

यह वह जगह है जहाँ इसे जारी रखने के लिए मेरे लिए बहुत अधिक बाल हो जाते हैं, लेकिन विकिपीडिया पर हाइपरजोमेट्रिक फॉर्मूला के साथ इस तरह आगे बढ़ना, आप आगे बढ़ सकते हैं और इसे सभी को लिख सकते हैं।

शायद कोई हमें समस्या को कम करने में मदद कर सकता है?

Comments

आप लगभग वहाँ हैं: PIE का उपयोग करें । जवाब है । $64545257011/293693771315\approx 0.219771$

— whuber

Answer 2

कम से कम निर्दिष्ट चार-प्रकारों को आकर्षित करने के लिए, हमें सभी आवश्यक कार्डों को आकर्षित करना चाहिए । यह एक hypergeometric वितरण, जहाँ हम सभी को आकर्षित करना होगा आकार की आबादी से सफलताओं रहे हैं इस तरह के चार में से एक प्रकार के सेट। इसलिए, होने की संभावना कम से कम चार की एक प्रकार है$k$$4k$$4k$$52.$$\binom{13}{k}$$k$

$\binom{13}{k} \frac{\binom{4k}{4k}\binom{52-4k}{20-4k}}{\binom{52}{20}} = \binom{52}{20}^{-1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} ,$ के लिए$0\leq k\leq5.$

समावेश-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा, इसलिए कम से कम एक चार-प्रकार के चित्र बनाने की संभावना बराबर होती है

$\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^{k+1} \binom{13}{k} \binom{52-4k}{20-4k} = -\binom{52}{20}^{-1} \sum_{k=1}^5 (-1)^k \binom{13}{k} \binom{4(13-k)}{4\times 8} .$

यह संख्यात्मक रूप से लगभग गणना की जा सकती है$0.2197706.$

उपर्युक्त योग में फॉर्म यदि हम शब्द को बाद में घटाते हैं। , क्योंकि लिए शब्द शून्य के बराबर हैं। मुझे आश्चर्य है कि अगर उस राशि को सरल बनाने का कोई तरीका है।$\sum_{k=0}^n (-1)^k \binom{n}{k} \binom{r(n-k)}{rm},$$k=0$$5<k\leq 13$

Comments

अतिरिक्त क्रेडिट :-) के लिए, 50% (4 के कम से कम एक सेट के लिए) की संभावना तक पहुंचने के लिए कार्ड की अपेक्षित संख्या क्या है? :-)

— कार्ल विटथॉफ्ट

@CarlWitthoft आइए देखते हैं। कार्ड्स खींचना , आप , या । यह के क्वाड-रूट से थोड़ा अधिक है , इसलिए आप से शुरू होने वाले मूल्यों के माध्यम से कदम बढ़ा सकते हैं, जल्दी से कार्ड बनाने की आवश्यकता पर पहुंच सकते हैं। यह आपको संभावना देता है । $d$$13 \binom{48}{d-4} \geq \frac{1}{2} \binom{52}{d}$$d(d-1)(d-2)(d-3) \geq \frac{1}{26} \frac{52!}{48!} = 249900$$22$$d$$23$$24$$0.5102521$

— एक्सीडेंटल स्टेटिस्टिशियन