क्या AR (1) एक मार्कोव प्रक्रिया है?

Question

क्या AR (1) प्रक्रिया जैसे एक मार्कोव प्रक्रिया है?$y_t=\rho y_{t-1}+\varepsilon_t$

यदि यह है, तो VAR (1) मार्कोव प्रक्रिया का वेक्टर संस्करण है?

Answer 1

निम्न परिणाम रखता है: यदि और में स्वतंत्र मान ले रहे हैं फ़ंक्शंस तक रूप में फिर से परिभाषित किया गया हैई एफ 1 , एफ 2 , … एफ एन : एफ × ई → एफ एक्स $\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$E$$f_1, f_2, \ldots$$f_n: F \times E \to F$$X_n$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n), \quad X_0 = x_0 \in F$$

प्रक्रिया में से शुरू एक मार्कोव प्रक्रिया है । यह प्रक्रिया सम-सजातीय है यदि की पहचान समान रूप से वितरित की जाती है और सभी -functions समान हैं। एफ एक्स 0 ε $(X_n)_{n \geq 0}$$F$$x_0$$\epsilon$$f$

AR (1) और VAR (1) दोनों प्रक्रियाएं इस रूप में दी गई हैं

$$f_n(x, \epsilon) = \rho x + \epsilon.$$

इस प्रकार वे सजातीय मार्कोव प्रक्रियाएं हैं यदि के iid हैं$\epsilon$

तकनीकी रूप से, रिक्त स्थान और को एक मापने योग्य संरचना की आवश्यकता होती है और -functions को मापने योग्य होना चाहिए। यह काफी दिलचस्प है कि यदि बोरेल स्थान है तो एक परिणामी परिणाम होता है । के लिए किसी भी मार्कोव प्रक्रिया एक बोरेल स्थान पर वहाँ आईआईडी वर्दी यादृच्छिक परिवर्तनीय हैं में और कार्यों ऐसा है कि प्रायिकता के साथ एक Kallenberg में प्रस्ताव 8.6 देखें, आधुनिक संभावना की नींव ।एफ एफ एफ ( एक्स एन ) एन ≥ 0 एफ ε 1 , ε 2 , ... [ 0 , 1 ] च n : $E$$F$$f$$F$$(X_n)_{n \geq 0}$$F$$\epsilon_1, \epsilon_2, \ldots$$[0,1]$एक्स एन = च n ( एक्स एन - 1 , ε n ) $f_n : F \times [0, 1] \to F$

$$X_n = f_n(X_{n-1}, \epsilon_n).$$

Answer 2

एक प्रक्रिया एक एआर (1) प्रक्रिया है अगर$X_{t}$

$$X_{t} = c + \varphi X_{t-1} + \varepsilon_{t}$$

जहां त्रुटियां, iid हैं। एक प्रक्रिया में मार्कोव संपत्ति है अगर$\varepsilon_{t}$

$$P(X_{t} = x_t | {\rm entire \ history \ of \ the \ process }) = P(X_{t}=x_t| X_{t-1}=x_{t-1})$$

पहले समीकरण से, की संभावना वितरण स्पष्ट रूप से पर निर्भर करता है , इसलिए, हाँ, एक AR (1) प्रक्रिया एक मार्कोव प्रक्रिया है। एक्स टी - $X_{t}$$X_{t-1}$

Comments

$\varepsilon_t$

$X_t=c+\phi c+\phi^2X_{t-2}+\phi\varepsilon_{t-1}+\varepsilon_{t}$$P(X_t=x_t|\text{entire history})=P(X_{t}=x_t|X_{t-2}=x_{t-2})$।

— एमपिकेटस

$X_{t-2}$$X_{t-1}$$X_{t-2}$$X_{t-1}$

$X_{t-2}$$X_{t-1}$$\varepsilon_{t-1}$$X_t$$X_{t-2}$$X_{t-1}$, यह स्पष्ट रूप से नहीं करता है। (ps मैं एक एआर का एक मानक परिभाषा का उपयोग किया गया (1) प्रति शुमवे और Stoeffer के समय श्रृंखला पुस्तक प्रक्रिया)

— मैक्रो

नोट मैं यह नहीं कहता कि उत्तर गलत है। मैं केवल विवरणों पर भरोसा कर रहा हूं, अर्थात दूसरी समानता सहज रूप से स्पष्ट है, लेकिन यदि आप इसे औपचारिक रूप से साबित करना चाहते हैं तो यह इतना आसान नहीं है, आईएमएचओ।

— म्प्पिकटस

Answer 3

मार्कोव प्रक्रिया क्या है? (शिथिल स्पिकिंग) यदि स्थिति हो तो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया मार्कोव प्रक्रिया है

$$P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( 0 \right )= x\left ( 0 \right ),...,X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]=P\left [ X\left ( t \right )= x\left ( t \right ) | X\left ( t-1 \right )= x\left ( t-1 \right )\right ]$$

$AR(1)$

वही VAR (1) के लिए पहला ऑर्डर मल्टीवीरेट मार्कोव प्रक्रिया है।

Comments

$\varepsilon_t$

मुझे लगा कि मार्कोव प्रक्रिया निरंतर मामले को संदर्भित करती है। सामान्य एआर समय श्रृंखला असतत हैं, इसलिए इसे मार्कोव प्रक्रिया के बजाय एक मार्कोव श्रृंखला के अनुरूप होना चाहिए।

— संयुक्त_प

$X_t$$X_{t-1},X_{t-2},...$

@joint_p, शब्दावली साहित्य में पूरी तरह से सुसंगत नहीं है। ऐतिहासिक रूप से, जैसा कि मैं इसे देखता हूं, "प्रक्रिया" के बजाय "चेन" का उपयोग आम तौर पर प्रक्रिया के राज्य स्थान के संदर्भ में होता है, लेकिन कभी-कभी असतत होने का समय भी होता है। मार्कोव चेन मोंटे कार्लो के रूप में कई बार "चेन" का उपयोग असतत समय को संदर्भित करने के लिए करते हैं लेकिन एक सामान्य राज्य स्थान के लिए अनुमति देते हैं। हालांकि, "प्रक्रिया" का उपयोग करना भी सही है।

— NRH

$t$$t-1, t-2,...$$t+1$$t+1$