यदि मेरे पास आरवी के लघुगणक का अपेक्षित मूल्य है, तो क्या मैं आरवी का अपेक्षित मूल्य प्राप्त कर सकता हूं?

Question

मान लो की $\text{E}[\log(X)]$ दिया गया है, क्या मैं प्राप्त कर सकता हूं $\text{E}[X]$ एक बंद स्वरूप में?

Comments

क्या आप लॉग x या x का वितरण जानते हैं ? उदाहरण के लिए। है$x$सामान्य रुप से वितरित? के साथ सबसे सामान्य मामले में$x$कुछ मनमाने वितरण के बाद, आप ज्यादा कुछ नहीं कह पाएंगे।

— मैथ्यू गन

नहीं, केवल लॉग (x) का माध्य मान दिया गया है।

— थियोडेन

बहुत ही सब आप कह सकते हैं कि है $\mathrm{E}[\log(x)] \leq \log \left( \mathrm{E}[x] \right)$जेन्सेन की असमानता के कारण ।

— मैथ्यू गन

Answer 1

नहीं।

उदाहरण के लिए, यदि $X$ लॉग सामान्य वितरण का अनुसरण करता है, जहां $\log(X) \sim N(\mu,\sigma)$, फिर $E[\log(x)] = \mu$ और स्वतंत्र है $\sigma$। हालाँकि, इसका मतलब है$E[X] = \exp \left(\mu + \frac{\sigma^2}{2} \right)$। स्पष्ट रूप से, आप इसे प्राप्त नहीं कर सकते$\sigma$ एक से निर्भर संख्या $\sigma$ स्वतंत्र संख्या।

Comments

यह समझ में आता है। मुझे तब और अधिक जानकारी चाहिए।

— थियोडेन

या एक सुपर-सरल उदाहरण के लिए, असतत यादृच्छिक चर X पर विचार करें (मान 1/3 के साथ मान 1 और 10 संभावना 2/3 के साथ), और Y (संभाव्यता 1/3 के साथ संभाव्यता 2/3 और 100 के साथ मान 1 ले रहा है) । फिर ई [लॉग एक्स] = ई [लॉग वाई] = 1/3 (या कुछ अन्य संख्या यदि आप अपने लॉगरिदम को 10 से अधिक समझदार आधार पर ले जाना पसंद करते हैं, लेकिन अभी भी किसी भी आधार लॉग 100 = 2 लॉग 10 के बराबर है)। हालाँकि E [X]! = E [Y]

— स्टीव जेसप