समान वितरण से घातीय वितरण और इसके विपरीत

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यह शायद एक तुच्छ प्रश्न है, लेकिन मेरी खोज अब तक बेकार रही है, जिसमें इस विकिपीडिया लेख , और "डिस्ट्रीब्यूशन ऑफ़ डिस्ट्रिब्यूशन" दस्तावेज़ शामिल हैं ।

यदि का एक समान वितरण है, तो क्या इसका मतलब है कि एक घातीय वितरण का अनुसरण करता है? $X$ $e^X$

इसी तरह, यदि एक घातांक वितरण का अनुसरण करता है, तो क्या इसका मतलब है कि एक समान वितरण का अनुसरण करता है? $Y$ $ln(Y)$

— luchonacho
स्रोत

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आप ऐसा होने की उम्मीद क्यों करेंगे? नाम के कारण? चेक en.wikipedia.org/wiki/... देखना चाहते हैं कि अन्य वितरण घातीय से संबंधित हैं। इसके अलावा ...

\exp (X) \notin [0, \infty)

$\exp(X) \not\in [0, \infty)$

— टिम

नहीं, मुझे लगता है कि मैं मानक फ़ंक्शन परिवर्तनों के साथ एनालॉग्स का पालन कर रहा हूं, यह भूल जाते हैं कि वितरण के साथ, चीजें अलग हैं।

— ल्यूकोनाचो

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ऐसा नहीं है कि एक समान यादृच्छिक चर का घातांक एक घातांक देता है, और न ही घातीय यादृच्छिक चर का लॉग एक समान लेता है।

चलो पर समान होने और जाने । $U$ $(0,1)$ $X=\exp(U)$

$F_X(x) = P(X \leq x) = P(\exp(U)\leq x) = P(U\leq \ln x) = \ln x\,,\quad 1<x<e$

तो । $f_x(x) = \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}\,,\quad 1<x<e$

यह एक घातीय संस्करण नहीं है। एक समान गणना से पता चलता है कि घातांक का लॉग एक समान नहीं है।

को मानक घातांक होने दें , इसलिए । $Y$ $F_Y(y)=P(Y\leq y) = 1-e^{-y}\,,\quad y>0$

Let । फिर । $V=\ln Y$ $F_V(v) = P(V\leq v) = P(\ln Y\leq v) = P(Y\leq e^v) = 1-e^{-e^v}\,,\quad v<0$

यह एक समान नहीं है। (वास्तव में एक Gumbel -distributed यादृच्छिक चर है, इसलिए आप के वितरण को 'फ़्लिप्ड Gumbel' कह सकते हैं ।) $-V$ $V$

हालाँकि, प्रत्येक मामले में हम यादृच्छिक चर पर सीमा पर विचार करके इसे और अधिक तेज़ी से देख सकते हैं। यदि एकसमान (0,1) है तो यह 0 और 1 के बीच स्थित है, इसलिए और बीच स्थित है ... इसलिए यह घातीय नहीं है। इसी तरह, घातांक के लिए, चालू है , ताकि वर्दी (0,1) न हो, और न ही वास्तव में कोई अन्य वर्दी। $U$ $X=\exp(U)$ $1$ $e$ $Y$ $\ln Y$ $(-\infty,\infty)$

हम भी अनुकरण कर सकते हैं, और फिर से इसे तुरंत देख सकते हैं:

सबसे पहले, एक वर्दी का घातांक -

[नीला वक्र घनत्व है (संकेत अंतराल पर 1 / x) हमने ऊपर काम किया ...]

दूसरा, एक घातांक का लॉग:

जो हम देख सकते हैं वह वर्दी से बहुत दूर है! (यदि हम उस cdf को अलग करते हैं जो हमने पहले काम किया था, जो घनत्व देगा, तो यह हमारे द्वारा देखे गए आकार से मेल खाता है।)

वास्तव में व्युत्क्रम cdf विधि यह बताती है कि एक समान (0,1) वेरिएंट के लॉग का ऋणात्मक ले लेना एक मानक घातांक चर देता है, और इसके विपरीत, एक मानक घातांक के ऋणात्मक का घातांक एक समान देता है। [इसके अलावा प्रायिकता अभिन्न परिवर्तन देखें ]

यह विधि हमें बताती है कि यदि , । यदि हम पर रूपांतरण के रूप में cdf के व्युत्क्रम को लागू करते हैं , तो एक मानक वर्दी, जिसके परिणामस्वरूप यादृच्छिक चर में वितरण फ़ंक्शन । $U=F_Y(Y)$ $Y = F^{-1}(U)$ $U$ $F_Y$

यदि हम को एक समान बनाते हैं (0,1), तो । चलो । (ध्यान दें कि भी समान है (0,1) इसलिए आप वास्तव में , लेकिन हम यहां उलटा cdf विधि का पालन कर रहे हैं) $U$ $P(U\leq u) = u$ $Y=-\ln (1-U)$ $1-U$ $Y=-\ln U$

फिर , जो एक मानक घातांक की cdf है। $P(Y\leq y) = P(-\ln (1-U) \leq y) = P( 1-U \geq e^{-y}) = P( U \leq 1-e^{-y}) = 1-e^{-y}$

[ उलटा cdf ट्रांसफ़ॉर्म की यह संपत्ति इस कारण है कि वास्तव में घातीय वितरण प्राप्त करने के लिए ट्रांसफ़ॉर्मेशन की आवश्यकता होती है, और प्रायिकता इंटीग्रल ट्रांसफ़ॉर्मेशन यही है कि नकारात्मक घातांक के ऋणात्मक का घातांक एक समान हो जाता है।] $\log$

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब! धन्यवाद। मुझे अब दिख रहा है। मैंने दोनों मामलों में सीडीएफ की गणना की, और मुझे पूर्व के मामले में लॉग के नकारात्मक और एक व्युत्क्रम के निरपेक्ष मान से उत्तरार्ध में मिला। मुझे लगता है कि मेरा भ्रम मानक फ़ंक्शन परिवर्तनों के संदर्भ में सोचने पर है, जो वितरण के समय आता है। रेखांकन के लिए +1!

— ल्यूकोनाचो

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आप लगभग इसे वापस सामने है। तुम ने पूछा था:

$X$ $e^X$
$Y$ $\ln(Y)$

असल में

$X$ $[0,1]$ $-\log_e(X)$ $1$
$Y$ $1$ $e^{-Y}$ $[0,1]$

आम तौर पर आप कह सकते हैं:

$X$ $[a,b]$ $-\frac1k \log_e\left(\frac{X-a}{b-a}\right)$ $k$
$Y$ $k$ $e^{-kY}$ $[0,1]$ $a+(b-a)e^{-kY}$ $[a,b]$

— हेनरी
स्रोत