प्रतिगमन के लिए परिभाषा प्राकृतिक घन विभाजन

Question

मैं हेस्टी एट अल की पुस्तक "द एलिमेंट्स ऑफ़ स्टैटिस्टिकल लर्निंग डेटा माइनिंग, इनर्विज़न एंड प्रेडिक्शन" से स्प्लिन्स के बारे में सीख रहा हूँ। मैंने पृष्ठ १४५ पर पाया कि प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लीन सीमा गांठों से परे रैखिक होते हैं। कर रहे हैं $K$ समुद्री मील, में splines और निम्नलिखित पुस्तक में इस तरह के एक पट्टी के बारे में दिया जाता है।$\xi_1, \xi_2, ... \xi_K$

प्रश्न 1: स्वतंत्रता की 4 डिग्री को कैसे मुक्त किया जाता है? मुझे यह हिस्सा नहीं मिला।

प्रश्न 2 : की परिभाषा में जब$d_k(X)$$k=K$ तब । लेखक इस सूत्र में क्या करने की कोशिश कर रहा है? यह सुनिश्चित करने में कैसे मदद करता है कि बाउंड्री नॉट्स से परे स्प्लीन रैखिक हैं?$d_K(X) = \frac 0 0$

Answer 1

1. आइए साधारण क्यूबिक स्प्लिन पर विचार करके शुरू करें। वे गाँठों के हर जोड़े के बीच घन हैं और सीमा गाँठ के बाहर घन हैं। हम पहले घन के लिए 4df (पहली सीमा गाँठ के बाईं ओर) से शुरू करते हैं, और प्रत्येक गाँठ एक नया पैरामीटर जोड़ता है (क्योंकि घन विभाजन और डेरिवेटिव और दूसरे डेरिवेटिव की निरंतरता तीन बाधाओं को जोड़ती है, एक मुक्त पैरामीटर को छोड़कर), कुल मिलाकर के लिए मानकों $K+4$$K$ समुद्री मील।

   एक प्राकृतिक घन रेखा दोनों सिरों पर रैखिक होती है। यह घन और द्विघात भागों को 0 तक कम करता है, प्रत्येक को df कम करता है 1. यह वक्र के दो छोरों में से प्रत्येक पर 2 df है, जो से K को कम करता है $K+4$$K$ ।

   कल्पना करें कि आप तय करते हैं कि आप अपने गैर-पैरामीट्रिक वक्र अनुमान पर स्वतंत्रता की कुल संख्या ( , कहते हैं) खर्च कर सकते हैं । चूंकि एक प्राकृतिक स्पान लगाने से साधारण क्यूबिक स्लाइन (नॉट्स की समान संख्या) की तुलना में स्वतंत्रता की 4 कम डिग्री का उपयोग किया जाता है, उन पी मापदंडों के साथ सीमा 4 के बीच वक्र को मॉडल करने के लिए आपके पास 4 और समुद्री मील (और इसलिए 4 और पैरामीटर) हो सकते हैं। ।$p$$p$

2. ध्यान दें कि के लिए परिभाषा के लिए है कश्मीर = 1 , 2 , । । । , K - 2 (क्योंकि सभी में K आधार कार्य हैं)। तो उस सूची में अंतिम आधार फ़ंक्शन, एन के = डी के - 2 - डी के - 1 । उच्चतम तो कश्मीर की परिभाषा के लिए आवश्यक घ कश्मीर के लिए है कश्मीर = कश्मीर - $N_{k+2}$$k=1,2,...,K-2$$K$$N_{K}=d_{K-2}-d_{K-1}$$k$$d_k$$k=K-1$। (यह है, हमें यह पता लगाने की ज़रूरत नहीं है कि कुछ क्या कर सकते हैं, क्योंकि हम इसका उपयोग नहीं करते हैं।)$d_K$

Answer 2

मैं विस्तार दावा: "स्वतंत्रता के चार डिग्री ऊपर यह मुक्त करता है (दो की कमी दोनों सीमा क्षेत्रों में प्रत्येक)" के साथ एक उदाहरण में समुद्री मील ξ 1 , ξ 2 । संबंधित अंतराल हैं ] - ∞ , inter 1 [ , ] ξ 1 , vals 2 [ और ] ∞ 2 , + ξ [ (इसलिए वहाँ हैं | I | = 3 अंतराल और | I | - 1 = $2$$\xi_1, \xi_2$$]-\infty, \xi_1[$$]\xi_1, \xi_2[$$]\xi_2, +\infty[$$|I|=3$$|I|-1=2$ समुद्री मील)।

के लिए (आम) घन विभाजन

नियमितता की कमी के बिना, हम समीकरण:$4|I|=12$

1 ( ξ 1 ≤ एक्स < ξ 2 ) ; 1 ( ξ 1 ≤ एक्स < ξ 2 ) एक्स ;

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^2~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X^3~~;$$ 1 ( ξ 2 ≤ X ) ; 1 ( ξ 2 ≤ एक्स ) एक्स ; 1 ( ξ 2 ≤ एक्स ) एक्स 2 ; 1 ( ξ 2 ≤ एक्स ) एक्स $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X^3.$$

बाधाओं को जोड़कर (क्यूबिक स्प्लिन्स आर = 2 के साथ एक नियमितता मान लेता है ), हमें जोड़ने की जरूरत है ( आर + 1 ) × ( | I | - 1 ) = 3 × ( | I | - 1 ) = 6 बाधाओं पर रैखिक गुणांक।$\mathcal{C}^r$$r=2$$(r+1)\times(|I|-1) = 3\times(|I|-1) = 6$

हम डिग्री स्वतंत्रता के साथ समाप्त होते हैं ।$12-6=6$

प्राकृतिक घन विभाजन के लिए

"एक प्राकृतिक क्यूबिक स्प्लीन अतिरिक्त बाधाओं को जोड़ता है, अर्थात् यह कार्य सीमा गांठों से परे रैखिक है।"

$4|I|-4=12-4$$4$$2$

$$\mathbf{1}(X < \xi_1)~~;~~\mathbf{1}(X < \xi_1)X~~;~~$$ $$\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^2~~;~~\mathbf{1}(\xi_1 \leq X < \xi_2)X^3~~;$$ $$\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)~~;~~\mathbf{1}(\xi_2 \leq X)X.$$

The constraints are the same as before, so we still need to add $3\times(|I|-1) = 6$ constraints on the linear coefficients.

We end up with $8-6=2$ degree of freedom.