एक मर को रोल करें जब तक कि वह 4 के अलावा किसी भी संख्या पर न उतरे। परिणाम 4> क्या संभावना है?

Question

एक खिलाड़ी को एक निष्पक्ष, छह-पक्षीय मर दिया जाता है। जीतने के लिए, उसे 4 से अधिक (अर्थात, 5 या 6) रोल करना होगा। यदि वह 4 रोल करती है, तो उसे फिर से रोल करना होगा। उसके जीतने के आसार क्या हैं?

मुझे लगता है कि जीतने की संभावना $P(W)$, के रूप में पुन: प्रकट की जा सकती है:

$$P(W) = P(r = 5 \cup r = 6) + P(r = 4) \cdot P(W)$$

मैंने जावा में इस तरह से 1 मिलियन ट्रायल चलाकर को रूप में किया है:$P(W)$$0.3999$

import java.util.Random;
public class Dice {

    public static void main(String[] args) {
        int runs = 1000000000;
        int wins = 0;
        for (int i = 0; i < runs; i++) {
            wins += playGame();
        }
        System.out.println(wins / (double)runs);
    }

    static Random r = new Random();

    private static int playGame() {
        int roll;
        while ((roll = r.nextInt(6) + 1) == 4);
        return (roll == 5 || roll == 6) ? 1 : 0;
    }
}

और मैं देख रहा हूं कि कोई इस तरह विस्तार कर सकता है :$P(W)$

$$P(W) = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\left(\frac{1}{3} + \frac{1}{6}\right)\right)...$$

लेकिन मुझे नहीं पता कि इस प्रकार के सन्निकटन का सहारा लिए बिना इस प्रकार के पुनरावृत्ति संबंध को कैसे हल किया जाए। क्या यह संभव है?

Comments

यह पुनरावृत्ति संबंध स्थापित करने के लिए बहुत प्रयास है। आपके पास यह मानने का अच्छा कारण है कि उत्तर 0.4 है। यह एक मजबूत संकेत है कि समस्या के बारे में सोचने का एक और तरीका है जो आपको सीधे जवाब देता है। ढूँढो। जियोमैट का जवाब आपको वहां मिलेगा, जो बदले में आपको यह समझने में मदद करेगा कि यहां क्या हो रहा है और यहां तक ​​कि इस तरह के प्रयास के बिना आपके द्वारा सामना की जाने वाली अन्य समस्याओं को सरल बनाने में भी मदद मिलेगी। यदि प्रतीत होता है कि जटिल समस्या एक सरल जवाब है, तो आपको हमेशा यह जानने की कोशिश करनी चाहिए कि क्यों। बाद में विशाल लाभांश देता है।

— जोएल

एक बार जब आप महसूस करते हैं कि सभी छह परिणामों की समान संभावनाओं और रोल की स्वतंत्रता के कारण इस प्रयोग के किसी विशेष परिणाम के बारे में कुछ खास नहीं है, तो यह स्पष्ट है कि संभावित परिणामों के सभी पांच समान रूप से संभावित हैं।

— whuber

मैं थोड़ा निराश हूं कि किसी ने भी अभी तक मार्कोव चेन समाधान को अवशोषित नहीं किया है :-) गणित स्टैक एक्सचेंज में "ओवरकिल समाधान" की एक महान परंपरा है जो शायद ही कभी वैधता को पार करने के लिए लगता है ...

— सिल्वरफ़िश

यह 2/5 { 1 , 2 , 3 , 5 , 6 } में से से किसी एक को चुनना है , इसलिए आपका अनुकरण संभवतः सही है। $\{5,6\}$$\{1,2,3,5,6\}$

— मैथडेलर

यह पोस्ट बनाम उत्तर है जो मैं कल्पना करता हूं कि डेटा वैज्ञानिक बनाम सांख्यिकीविदों की तरह हैं।

— bdeonovic

Answer 1

बीजगणित का उपयोग करके इसे हल करें:

$$\begin{aligned} P(W) &= \tfrac 2 6 + \tfrac 1 6 \cdot P(W) \\[7pt] \tfrac 5 6 \cdot P(W) &= \tfrac 2 6 \\[7pt] P(W) &= \tfrac 2 5. \end{aligned}$$

Comments

ध्यान दें कि यह गणना केवल मान्य है क्योंकि मजबूत मार्कोव संपत्ति असतत मार्कोव श्रृंखला के लिए रखती है।

— Chill2Macht

मुझे अपने असतत मार्कोव श्रृंखलाओं की याद नहीं है, लेकिन, मैं सरल गणित से खतरा होगा, इसका मतलब है कि पुनरावृत्ति संबंध केवल मजबूत मार्कोव संपत्ति के कारण मान्य है। संबंध स्थापित होने के बाद, हम सिर्फ x के लिए हल कर रहे हैं।

— josinalvo

क्या ये सही है?

— josinalvo

@josinalvo: तकनीकी रूप से, सवाल यह है कि समीकरण के दोनों किनारों पर P (W) का अर्थ समान है। स्ट्रांग मार्कोव संपत्ति का अर्थ है कि वे करते हैं। उस संपत्ति की अनुपस्थिति में, बाईं ओर पी (डब्ल्यू) का अर्थ है "इस रोल के साथ जीतने का मौका" और दाईं ओर 1/6 * पी (डब्ल्यू) का अर्थ है "4 रोल करने के बाद जीतने का मौका"।

— एमएसलर्स

Answer 2

नोट: यह पुनरावृत्ति के बजाय प्रारंभिक प्रश्न का उत्तर है।

यदि वह एक 4 रोल करती है, तो यह अनिवार्य रूप से गिनती नहीं करता है, क्योंकि अगला रोल स्वतंत्र है। दूसरे शब्दों में, 4 को रोल करने के बाद स्थिति वैसी ही होती है जब वह शुरू होती है। तो आप 4 को नजरअंदाज कर सकते हैं। फिर जो परिणाम सामने आ सकते हैं वे 1-3 और 5-6 हो सकते हैं। 5 अलग-अलग परिणाम हैं, जिनमें से 2 जीत रहे हैं। तो उत्तर 2/5 = 0.4 = 40% है।

Comments

आप इसे थोड़ा और प्रत्यक्ष कर सकते हैं: "पहले रोल पर विचार करें जो 4. नहीं है। फिर परिणाम ..."

— जोएल

जब वे गणित के टन देखते हैं तो ज्यादातर लोगों की आँखें लुढ़क जाती हैं, इसलिए मुझे यह बेहतर लगता है। मूल रूप से आप 4 को परिणामों से हटा रहे हैं, इसलिए यह 1, 2, 3, 5, 6 है। यह स्पष्ट है कि आपके पास उस बिंदु पर 40% संभावना है।

— नेल्सन

मैंने शीर्षक से ऐसा सोचा था, इसलिए मैंने उस पर क्लिक करने के बाद ज्यादातर पूर्ण प्रश्न को छोड़ दिया। अन्यथा मैं शायद खुद को भ्रमित कर लेता और दूसरे अनुमान लगा लेता!

— GeoMatt22

@ नेल्सन मैंने ऐसे अधिक लोगों को देखा है, जिनकी आंखें तब लुढ़कती हैं, जब वे इस तरह की तर्कशीलता की समस्या उन लोगों की तुलना में देखते हैं, जिनकी आंखें देखते हैं । $p=a+bp$

— जीके

हाँ। कहानी का नैतिक है: एक समस्या को कठिन बनाने की कोशिश मत करो, जितना उसे होना चाहिए।

— जे।

Answer 3

Dsaxton ( /stats//a/232107/90759 ) और GeoMatt22 ( /stats//a/232107/90759 ) द्वारा दिए गए उत्तर समस्या के सर्वोत्तम दृष्टिकोण देते हैं। एक और एहसास है कि आपकी अभिव्यक्ति है

$$P(W) = \frac13+\frac16\left(\frac13+\frac16(\cdots)\right)$$

क्या वास्तव में एक ज्यामितीय प्रगति है :

$$\frac13+\frac16\frac13+\frac1{6^2}\frac13+\cdots$$

सामान्य तौर पर हमारे पास है

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_0q^n = \frac{a_0}{1-q}$$

तो यहाँ हमारे पास है

$$P(W) = \frac{\frac13}{1-\frac16} = \frac13:\frac56=\frac{6}{15}=\frac25.$$

बेशक, ज्यामितीय प्रगति के योग के लिए सामान्य सूत्र को साबित करने का तरीका, बीजगणितीय समाधान के समान dsaxton का उपयोग करके है।

Comments

@William, मुझे नहीं लगता कि आपकी टिप्पणी कई कारणों से उपयुक्त है। 1. मैंने कभी नहीं कहा कि आपको इसके लिए ज्यामितीय श्रृंखला की आवश्यकता है । 2. आपके उत्तर में आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली अवधारणाएं बहुत भारी मशीनरी हैं, यह कहना विडंबना है "आपको ज्यामितीय श्रृंखला की आवश्यकता नहीं है! आपको बस अधिक उन्नत और परिष्कृत मजबूत मार्कोव संपत्ति की आवश्यकता है"। 3. एक समाधान जो सरल और कठोर है वह पहले से ही dsaxton द्वारा प्रदान किया गया था। इस समस्या के लिए आपका तरीका अधिक गोल-गोल और ओवरकिल है। 4. ओपी में पहले से ही एक ज्यामितीय श्रृंखला के बराबर एक अभिव्यक्ति थी, किसी को संबोधित करना था, हो सकता है कि मेरे साथ भी हो।

— मेनी रोसेनफेल्ड

@William: अंत में, आपका खुद का जवाब ठीक है, व्यावहारिक है, और सवाल के जवाब के संग्रह के लिए एक उपयोगी अतिरिक्त है। इसका मतलब यह नहीं है कि आपको हर दूसरे जवाब पर जाना चाहिए और कहना चाहिए कि तुम्हारा इतना बेहतर है। वे सब भी ठीक हैं। संभव नहीं है कि सब कुछ सबसे सार और सामान्य तरीके से संपर्क किया जाए।

— मेनी रोसेनफेल्ड

जब मैं गणित प्रमुख था, तब से कुछ समय हो गया है, इसलिए अगर मेरे जवाब में कठोरता का अभाव है, तो मैं माफी चाहता हूं। (बस कृपया मुझे यह मत बताओ कि यह पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है , क्योंकि यह अपमानजनक होगा!) :)

— GeoMatt22

Answer 4

उपरोक्त सभी उत्तर सही हैं, लेकिन वे यह नहीं समझाते हैं कि वे सही क्यों हैं, और आप इतने सारे विवरणों को अनदेखा क्यों कर सकते हैं और एक जटिल पुनरावृत्ति संबंध को हल करने से बच सकते हैं।

कारण क्यों अन्य उत्तर सही हैं है मजबूत मार्कोव संपत्ति है, जो एक असतत मार्कोव श्रृंखला के लिए नियमित रूप से मार्कोव संपत्ति के बराबर है। https://en.wikipedia.org/wiki/Markov_property#Strong_Markov_property

मूल रूप से विचार यह है कि यादृच्छिक चर

$\tau:=($मरने तक पहली बार 4 पर नहीं उतरता है)

एक रोक समय है । https://en.wikipedia.org/wiki/Stopping_time एक रोक समय एक यादृच्छिक चर है जो किसी भी भविष्य की जानकारी पर निर्भर नहीं करता है ।

यह बताने के लिए कि क्या $n$वें रोल ऑफ द डाई पहले वाला है जो 4 पर नहीं उतरा है (यानी यह तय करने के लिए कि क्या है $\tau=n$), आप केवल और मौजूदा रोल के मूल्य पता करने की जरूरत, सभी पिछले रोल के लिए, लेकिन नहीं भविष्य में होने वाले रोल के - इस प्रकार$\tau$ रुकने का समय है, और स्ट्रांग मार्कोव संपत्ति लागू होती है।

स्ट्रांग मार्कोव संपत्ति क्या कहती है? इसमें कहा गया है कि मरने वालों की संख्या कितनी है$\tau$वें रोल, एक यादृच्छिक चर के रूप में, $X_{\tau}$, सभी पिछले रोल के मूल्यों से स्वतंत्र है ।

तो अगर मर 4 एक बार, दो बार, ..., 50 मिलियन बार, ... $\tau -1$ समय से पहले अंत में दूसरे मूल्य पर उतरने से पहले $\tau$वें रोल, यह उस घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करेगा जो$X_{\tau} > 4$।

$$\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=1)=\mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=2)=\dots = \mathbb{P}(X_{\tau}>4|\tau=50,000,000)=\dots$$

इसलिए हम मान सकते हैं, सामान्यता के नुकसान के बिना, कि $\tau=1$. This is just the probability that the die lands a value greater than 4 given that it does not land on 4, which we can calculate very easily:

$$\mathbb{P}(X_1>4|X\not=4) = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4 \cap X_1 \not=4)}{\mathbb{P}(X_1 \not= 4)} = \frac{\mathbb{P}(X_1 > 4)}{\mathbb{P}(X_1 \not=4)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{6}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}$$ which of course is the correct answer.

You can read more about stopping times and the Strong Markov property in Section 8.3 of (the 4th edition of) Durrett's Probability Theory and Examples, p. 365.

Comments

जहां तक ​​मैं विकी प्रविष्टि से बता सकता हूं, एक रोक समय का अस्तित्व आवश्यक है, लेकिन यह कहने के लिए पर्याप्त नहीं है कि घटनाओं की एक श्रृंखला एसएमपी प्रदर्शित करती है। क्षमा करें, यदि मुझे एक मजाक या गहन अंतर्दृष्टि याद आ रही है, लेकिन सिर्फ यह क्यों नहीं मान लें कि रोल स्वतंत्र हैं और इसके साथ हैं?

— जैकब रायल

@JacobRaihle "मजबूत मार्कोव संपत्ति, जो असतत मार्कोव चेन के लिए नियमित मार्कोव संपत्ति के बराबर है।" यह परिदृश्य स्पष्ट रूप से असतत मार्कोव श्रृंखला का गठन करता है। रोल स्वतंत्र हैं, यही कारण है कि यह एक असतत मार्कोव श्रृंखला है। मुद्दा यह है कि घटना "पहला रोल जो 4 पर नहीं उतरता है" पिछले रोल से स्वतंत्र नहीं है , उन कारणों के लिए जो उम्मीद से स्पष्ट हैं।

— Chill2Macht

यह समान रूप से स्पष्ट है कि रोल स्वतंत्र हैं। तो एसएमपी क्या अतिरिक्त लाभ प्रदान करता है?

— बजे जैकब रायले

@JacobRaihle Even though the value of the rolls are independent, the value of the die the first time it lands on a value not equal to 4 is NOT independent of the values on which the die landed on previous rolls.

— Chill2Macht

It should be, since the rolling stops as soon as that happens. There can be no non-4 roll that isn't also the first one. And even if that were not the case, I'm not sure what kind of relationship you are suggesting.

— Jacob Raihle

Answer 5

Another way to look at the problem.

Lets call a 'real result' a 1,2,3,5 or 6.

पहले रोल पर जीतने की संभावना क्या है, अगर आपको 'वास्तविक परिणाम' मिला है? 2/5

दूसरे रोल पर जीतने की संभावना क्या है, अगर दूसरी बार पहली बार आपको 'वास्तविक परिणाम' मिला है? 2/5

तीसरे, चौथे के लिए भी।

तो, आप अपने नमूने को (इनफिनिटी) छोटे नमूनों में तोड़ सकते हैं, और वे नमूने सभी समान संभावना देते हैं।