समान वितरण से तैयार किए गए 3 आईआईडी नमूनों पर विचार करें , जहां \ थीटा पैरामीटर है। मैं
\ mathbb {E} \ left [X _ {(2)} खोजना चाहता हूं
X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right]
जहां X _ {(i)} ऑर्डर स्टेटिस्टिक i है ।u(θ,2θ)θ
E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i
मुझे उम्मीद है कि परिणाम
E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
लेकिन इस परिणाम को दिखाने का एकमात्र तरीका मुझे भी लगता है लंबा, मैं सरल समाधान के साथ नहीं आ सकता, क्या मुझे कुछ याद आ रहा है, क्या कुछ शॉर्टकट है?
मैं जो कर रहा हूं वह निम्नलिखित है:
मैं सशर्त घनत्व पाता हूं
च(एक्स( २ )|एक्स( 1 ),एक्स( ३ )) =च(एक्स( 1 ),एक्स( २ ),एक्स( ३ ))च(एक्स( 1 ),एक्स( ३ ))
मैं एकीकृत करता हूं
ई [एक्स( २ )|एक्स( 1 ),एक्स( ३ )] =∫x च( x |एक्स( 1 ),एक्स( ३ )) dएक्स
विवरण:
मैं आदेश आँकड़ों का घनत्व (साथ के लिए सामान्य सूत्र अपनाने मैं{ एक } सेट का सूचक ए )
चएक्स( 1 ), … ,एक्स( एन )(एक्स1, ⋯ ,एक्सn) = n !Πमैं = १nचएक्स(एक्समैं)मैं{एक्स( 1 )≤एक्स( २ )≤ ⋯ ≤एक्स( एन )}(एक्स1, ⋯ ,एक्सn)
मेरे मामले के लिए प्राप्त करने के लिए
चएक्स( 1 ),एक्स( २ ),एक्स( ३ )(एक्स1,एक्स2,एक्स3) = 3 !1θ3मैं{एक्स1≤एक्स2≤ ⋯ ≤एक्सn}(एक्स1, ⋯ ,एक्स3)
का सीमांत हैचएक्स( 1 ),एक्स( ३ )(u,v)
fx(1),x(3)(u,v)=∫fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2
अर्थात्
fx(1),x(3)(u,v)=∫3!1θ3I{x1=u≤x2≤x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[v−u]
की वजह
f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iu≤x2≤⋯≤v(u,x2,v)3!1θ3[v−u]=[v−u]−1I{u<x2<v}
जो देता है
E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[v−u]−1∫vuxdx=[v−u]−1[v2−u2]2=u+v2