खोजने का आसान तरीका ?

Question

समान वितरण से तैयार किए गए 3 आईआईडी नमूनों पर विचार करें , जहां \ थीटा पैरामीटर है। मैं \ mathbb {E} \ left [X _ {(2)} खोजना चाहता हूं X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right] जहां X _ {(i)} ऑर्डर स्टेटिस्टिक i है ।$u(\theta, 2\theta)$$\theta$

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ $X_{(i)}$$i$

मुझे उम्मीद है कि परिणाम

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$ लेकिन इस परिणाम को दिखाने का एकमात्र तरीका मुझे भी लगता है लंबा, मैं सरल समाधान के साथ नहीं आ सकता, क्या मुझे कुछ याद आ रहा है, क्या कुछ शॉर्टकट है?

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मैं जो कर रहा हूं वह निम्नलिखित है:

• मैं सशर्त घनत्व पाता हूं

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• मैं एकीकृत करता हूं

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

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विवरण:

मैं आदेश आँकड़ों का घनत्व (साथ के लिए सामान्य सूत्र अपनाने $\mathbb{I}_{\{A\}}$ सेट का सूचक $A$ )

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

मेरे मामले के लिए प्राप्त करने के लिए

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

का सीमांत है$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

अर्थात्

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

की वजह

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

जो देता है

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

Comments

मैंने यह नहीं देखा कि आपने क्या किया, लेकिन आपको का उत्तर मिला , न कि$\frac{u - v}{2}$$\frac{u + v}{2}$

— मार्क L. स्टोन

@ MarkL.Stone आप सही हैं ... मैंने तय किया कि, अंतिम लाइन, इंटीग्रल ऑफ गलत था। $\int x dx$

— उन्हें

Answer 1

क्योंकि सभी का एक समान वितरण है, सभी ( ) चर स्वतंत्र मान लिए गए हैं, और कोई भी अन्य क्रम सांख्यिकीय और , के बीच एक समान वितरण नहीं है। अंतराल पर समर्थित । इसका मतलब स्पष्ट रूप से , QED है।$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

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यदि आप एक औपचारिक प्रदर्शन चाहते हैं, तो ध्यान दें कि जब बिल्कुल सतत वितरण साथ iid है , तो का सशर्त घनत्व (अन्य सभी आदेश आँकड़ों पर सशर्त) , जो कि विभाजित वितरण है। (जब , होने के लिए लिया जाता है , और जब , होने के लिए लिया जाता है ।) इस से इस प्रकार के आदेश के कार्यों की संयुक्त पीडीएफ उदाहरण के लिए, सशर्त घनत्व की परिभाषा के साथ आँकड़े ।$X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$

Comments

जब आप लिखते हैं, तो आप X की प्रायिकता घनत्व का संदर्भ देते हैं, क्या मैं सही हूं? $dF(x_k)$

— उन्हें

हां यह सही है। परिभाषा से, $$dF(x)=\frac{d F}{d x}(x)\,dx.$$ (तकनीकी तौर पर, मैं इस "संभावना तत्व" के बजाय "घनत्व" से बुलाया जाना चाहिए था।)

— whuber