खोजने का आसान तरीका ?


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समान वितरण से तैयार किए गए 3 आईआईडी नमूनों पर विचार करें , जहां \ थीटा पैरामीटर है। मैं \ mathbb {E} \ left [X _ {(2)} खोजना चाहता हूं X _ {(1)}, X _ {(3)} \ right] जहां X _ {(i)} ऑर्डर स्टेटिस्टिक i हैu(θ,2θ)θ

E[X(2)|X(1),X(3)]
X(i)i

मुझे उम्मीद है कि परिणाम

E[X(2)|X(1),X(3)]=X(1)+X(3)2
लेकिन इस परिणाम को दिखाने का एकमात्र तरीका मुझे भी लगता है लंबा, मैं सरल समाधान के साथ नहीं आ सकता, क्या मुझे कुछ याद आ रहा है, क्या कुछ शॉर्टकट है?

मैं जो कर रहा हूं वह निम्नलिखित है:

  • मैं सशर्त घनत्व पाता हूं

    (एक्स(2)|एक्स(1),एक्स(3))=(एक्स(1),एक्स(2),एक्स(3))(एक्स(1),एक्स(3))
  • मैं एकीकृत करता हूं

[एक्स(2)|एक्स(1),एक्स(3)]=एक्स(एक्स|एक्स(1),एक्स(3))एक्स

विवरण:

मैं आदेश आँकड़ों का घनत्व (साथ के लिए सामान्य सूत्र अपनाने मैं{} सेट का सूचक )

एक्स(1),...,एक्स(n)(एक्स1,,एक्सn)=n!Πमैं=1nएक्स(एक्समैं)मैं{एक्स(1)एक्स(2)एक्स(n)}(एक्स1,,एक्सn)

मेरे मामले के लिए प्राप्त करने के लिए

एक्स(1),एक्स(2),एक्स(3)(एक्स1,एक्स2,एक्स3)=3!1θ3मैं{एक्स1एक्स2एक्सn}(एक्स1,,एक्स3)

का सीमांत हैfx(1),x(3)(u,v)

fx(1),x(3)(u,v)=fx(1),x(2),x(3)(u,x2,v)dx2

अर्थात्

fx(1),x(3)(u,v)=3!1θ3I{x1=ux2x3=v}(u,x,v)dx=3!1θ3[vu]

की वजह

f(x(2)|x(2)=u,x(3)=v)=f(x(1)=u,x(2),x(3)=v)f(x(1)=u,x(3)=v)=3!1θ3Iux2v(u,x2,v)3!1θ3[vu]=[vu]1I{u<x2<v}

जो देता है

E[X(2)|X(1)=u,X(3)=v]=[vu]1uvxdx=[vu]1[v2u2]2=u+v2

मैंने यह नहीं देखा कि आपने क्या किया, लेकिन आपको का उत्तर मिला , न किuv2u+v2
मार्क L. स्टोन

@ MarkL.Stone आप सही हैं ... मैंने तय किया कि, अंतिम लाइन, इंटीग्रल ऑफ गलत था। xdx
उन्हें

जवाबों:


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क्योंकि सभी का एक समान वितरण है, सभी ( ) चर स्वतंत्र मान लिए गए हैं, और कोई भी अन्य क्रम सांख्यिकीय और , के बीच एक समान वितरण नहीं है। अंतराल पर समर्थित । इसका मतलब स्पष्ट रूप से , QED है।XiX(1)X(3) X(2)[X(1),X(3)](X(1)+X(3))/2


यदि आप एक औपचारिक प्रदर्शन चाहते हैं, तो ध्यान दें कि जब बिल्कुल सतत वितरण साथ iid है , तो का सशर्त घनत्व (अन्य सभी आदेश आँकड़ों पर सशर्त) , जो कि विभाजित वितरण है। (जब , होने के लिए लिया जाता है , और जब , होने के लिए लिया जाता है ।) इस से इस प्रकार के आदेश के कार्यों की संयुक्त पीडीएफ उदाहरण के लिए, सशर्त घनत्व की परिभाषा के साथ आँकड़ेXiFX(k)dF(xk)/(F(x(k+1))F(x(k1)))k=1F(x0)0k=nF(xn+1)1


जब आप लिखते हैं, तो आप X की प्रायिकता घनत्व का संदर्भ देते हैं, क्या मैं सही हूं? dF(xk)
उन्हें

1
हां यह सही है। परिभाषा से,
dF(x)=dFdx(x)dx.
(तकनीकी तौर पर, मैं इस "संभावना तत्व" के बजाय "घनत्व" से बुलाया जाना चाहिए था।)
whuber
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