Ecdf एक स्टेप फंक्शन का उपयोग करता है न कि लीनियर इंटरपोलेशन का?

Question

अनुभवजन्य सीडीएफ फ़ंक्शन आमतौर पर एक चरण फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किए जाते हैं। क्या ऐसा कारण है कि यह रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करके इस तरह से किया जाता है और नहीं? क्या चरण फ़ंक्शन में कोई दिलचस्प सैद्धांतिक गुण हैं जो हमें इसे पसंद करते हैं?

यहाँ दो का एक उदाहरण दिया गया है:

ecdf2 <- function (x) {
  x <- sort(x)
  n <- length(x)
  if (n < 1) 
    stop("'x' must have 1 or more non-missing values")
  vals <- unique(x)
  rval <- approxfun(vals, cumsum(tabulate(match(x, vals)))/n, 
                    method = "linear", yleft = 0, yright = 1, f = 0, ties = "ordered")
  class(rval) <- c("ecdf", class(rval))
  assign("nobs", n, envir = environment(rval))
  attr(rval, "call") <- sys.call()
  rval
}


set.seed(2016-08-18)
a <- rnorm(10)
a2 <- ecdf(a)
a3 <- ecdf2(a)

par(mfrow = c(1,2))
curve(a2, -2,2, main = "step function ecdf")
curve(a3, -2,2, main = "linear interpolation function ecdf")

Comments

संबंधित ………………………………

"" एक चरण फ़ंक्शन द्वारा अनुमान लगाया गया है "एक सूक्ष्म गलत धारणा को मानता है: ECDF केवल एक चरण फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित नहीं है ; यह है परिभाषा के द्वारा इस तरह के एक समारोह। यह एक यादृच्छिक चर के सीडीएफ के समान है। विशेष रूप से, संख्याओं के किसी भी परिमित अनुक्रम को देखते हुए एक प्रायिकता स्थान को परिभाषित करते हैं with , असतत, और वर्दी। चलो यादृच्छिक चर बताए हो को । ECDF का CDF है ।$x_1, x_2, \ldots, x_n$$(\Omega,\mathfrak{S},\mathbb{P})$$\Omega=\{1,2,\ldots, n\}$$\mathfrak{S}$$\mathbb{P}$$X$$x_i$$i$$X$यह विशाल वैचारिक सरलीकरण परिभाषा के लिए एक सम्मोहक तर्क है।

— whuber

Answer 1

यह परिभाषा से है।

प्रेक्षणों के एक समूह अनुभवजन्य वितरण समारोह द्वारा परिभाषित किया गया है$(X_n)$

$$F_e(t) = \frac{\#\{X_n \mid X_n \le t\}}n$$

जहाँ सेट कार्डिनैलिटी है। यह, प्रकृति द्वारा, एक चरण कार्य है। यह लगभग निश्चित रूप से वास्तविक सीडीएफ में परिवर्तित होता है ।$\#$

यह भी ध्यान दें कि किसी भी वितरण के लिए के साथ कम से कम दो (विशेषकर nondegenerate असतत वितरण) के लिए, आपका ECDF का वैरिएंट वास्तविक CDF में परिवर्तित नहीं होता है। उदाहरण के लिए सीडीएफ के साथ बर्नौली वितरण पर विचार करें$P(X = x) \ne 0$$x$

$$F_X(x) = p \chi_{x \ge 0} + (1-p) \chi_{x \ge 1}$$ यह एक चरणीय कार्य है जबकि ecdf2 परिवर्तित होगा (एक टुकड़ा करने योग्य रैखिक कार्य को जोड़ने वाला और ।$\chi_{x\ge 0} \cdot (p + (1-p)\min(x, 1))$$(0,p)$$(1,1)$

Comments

धन्यवाद एलेक्स। तो क्या मेरे द्वारा लिखे गए फ़ंक्शन का दूसरा नाम है? (क्योंकि मुझे लगता है कि यह वास्तविक CDF में भी परिवर्तित होता है)

— ताल गलि १ '

@ टालगिली यह नहीं है। एक बर्नौली वितरण पर विचार करें। आपका ecdf2 इस मामले में अभिसरण नहीं करेगा। आप इसे एक स्मूथ इफेक्ट कह सकते हैं। मुझे संदेह है कि यह वास्तविक सीडीएफ में परिवर्तित हो जाएगा यदि वास्तविक सीडीएफ में

— नॉनज़ेरो

@AlexR आप इस टिप्पणी को जोड़ने के लिए अपने जवाब को संपादित कर सकते हैं क्योंकि असतत वितरण ऐसे निश्चित होने का कारण है - इसलिए यह "क्यों" प्रश्न का उत्तर देता है।

— टिम

@ समय पूरा हुआ। ${}{}$

— १३:३३ पर एलेक्सआर

धन्यवाद। क्या एक निरंतर अनुभवजन्य फ़ंक्शन को परिभाषित करने का एक तरीका है जो चरण फ़ंक्शन में परिवर्तित होगा लेकिन पूरी तरह से मोनोटोन होगा (यानी: किसी भी तेज "कूद" के बिना)?

— ताल गैली