उलटा घातीय वितरण का मतलब

Question

यादृच्छिक चर को देखते हुए , का माध्य और विचरण क्या है ?$Y = Exp(\lambda)$$G=\dfrac{1}{Y}$

मैं उलटा गामा वितरण को देखता हूं, लेकिन माध्य और विचरण केवल और क्रमशः परिभाषित किए जाते हैं ...α > $\alpha>1$$\alpha>2$

Answer 1

यह देखते हुए कि उलटा घातीय वितरण में , आपने इस तथ्य पर ठोकर खाई है कि उलटा घातीय का मतलब । और इसलिए, व्युत्क्रम घातांक का विचरण अपरिभाषित है।$\alpha = 1$$\infty$

यदि प्रतिलोम रूप से वितरित किया गया है, तो मौजूद है और , और लिए लिए परिमित है ।ई ( जी आर ) आर < 1 = ∞ आर = $G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Comments

यह मेरे प्रश्न के साथ जुड़ा है यहाँ

— डियोगो सैंटोस

Answer 2

मैं एक घातांक वितरण के माध्य के लिए गणना दिखाऊंगा ताकि यह आपको दृष्टिकोण को याद रखे। फिर, मैं उसी दृष्टिकोण के साथ व्युत्क्रम घातांक के लिए जाऊंगा।

दिए गए$f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

भाग द्वारा एकीकृत करना ( पल के लिए अभिन्न अंग के सामने को अनदेखा करें ),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

अभिन्न के सामने गुणा करें ,$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

और लिए मूल्यांकन करें ,$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

जो एक ज्ञात परिणाम है।

के लिए , यही तर्क लागू होते हैं।$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

मुख्य अंतर यह है कि भागों द्वारा एकीकरण के लिए,

$u = y^{-1}$

तथा

$du = -1y^{-2}$

इसलिए यह लिए हमारी मदद नहीं करता है । मुझे लगता है कि यहां अभिन्न अपरिभाषित है। वोल्फ्रम अल्फा मुझे बताओ कि यह अभिसरण नहीं करता है।$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

तो इसका मतलब यह नहीं है कि व्युत्क्रम घातीय, या, इसके विपरीत, उलटा गामा के लिए । कारण विचरण और लिए समान है ।$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

Comments

ध्यान दें कि (Whuber एक और उत्तर पर टिप्पणी के रूप में) से दूर घिरा है के लिए के पास , और किसी के लिए diverges , इसलिए लिए अभिन्न वास्तव में विचलन करता है। 0 वाई 0 ∫ ε 0$\exp(-\lambda y)$$0$$y$$0$ϵ > 0 E [ G $\int_0^\epsilon \frac{1}{y}\;dy$$\epsilon > 0$$E[G]$

— स्ट्रेट्स

Answer 3

एक त्वरित सिमुलेशन (आर में) के बाद, ऐसा लगता है कि इसका मतलब मौजूद नहीं है:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

तुलना के लिए, यहां एक वास्तविक घातीय यादृच्छिक चर के साथ क्या होता है।

Comments

मतलब मौजूद नहीं हो सकता क्योंकि घातीय शून्य के किसी भी पड़ोस में सकारात्मक घनत्व है।

— whuber

@ जब वास्तव में, यह वही है जो मैंने तनाव की कोशिश की: अनुभवजन्य अर्थ एक घातीय कानून के व्युत्क्रम के लिए अभिसरण नहीं करता है, जबकि यह एक घातीय कानून के लिए करता है।

— RUser4512

$10^{-1000}$

आँकड़े

— kjetil b halvorsen