डिफ़ॉल्ट मैट्रिक्स मान वर्णक्रमीय मानदंड क्यों नहीं फ्रोबेनियस मानदंड है?

वेक्टर मानक के लिए, L2 मानदंड या "यूक्लिडियन दूरी" व्यापक रूप से उपयोग और सहज परिभाषा है। लेकिन मैट्रिक्स के लिए "सबसे अधिक इस्तेमाल किया" या "डिफ़ॉल्ट" मानक परिभाषा वर्णक्रमीय मानदंड क्यों नहीं है , लेकिन फ्रोबेनियस मानदंड (जो वैक्टर के लिए L2 मानदंड के समान है) नहीं?

क्या पुनरावृत्त एल्गोरिदम / मैट्रिक्स शक्तियों के साथ कुछ करना है (यदि वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 से छोटा है, तो एल्गोरिथ्म अभिसरण करेगा)?

यह हमेशा "सबसे अधिक इस्तेमाल किया", "डिफ़ॉल्ट" जैसे शब्दों के लिए तर्कपूर्ण है। उपर्युक्त शब्द "डिफ़ॉल्ट" Matlabफ़ंक्शन में डिफ़ॉल्ट रिटर्न प्रकार से आ रहा है norm। में Rमैट्रिक्स के लिए डिफ़ॉल्ट आदर्श एल 1 आदर्श है। दोनों मेरे लिए "अप्राकृतिक" कर रहे हैं (एक मैट्रिक्स के लिए, इसे और अधिक "प्राकृतिक" ऐसा लगता है $\sqrt{\sum_{i,j}a^{2}_{i,j}}$ like in वेक्टर)। (@ Us Thanksr11852 और @ व्हिबर की टिप्पणियों के लिए धन्यवाद और भ्रम के लिए खेद है।)
मैट्रिक्स के उपयोग का विस्तार हो सकता है आदर्श मुझे अधिक समझने में मदद करेगा?

matrix linear-algebra

— हतौ दू
स्रोत

मुझे यकीन नहीं है कि वर्णक्रमीय मानदंड सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए फ्रोबेनियस मानदंड का उपयोग एनएनएमएफ के लिए किया जाता है और आमतौर पर समाधान के लिए समतुल्य / कोविरियस मेट्रिक्स का उपयोग किया जाता है जो कि पॉस डिफ नहीं हैं। और Pos बनने के लिए नियमित किया जाता है। डेफ। सामान्य तौर पर फोरबिनियस मानदंड एक "तत्व-वार" मानदंड है, जबकि वर्णक्रमीय मान eigenvalues पर आधारित है, इसलिए यह थोड़ा अधिक "सार्वभौमिक" है, लेकिन यह राय का विषय है। उदाहरण के लिए जेंटल के " मैट्रिक्स बीजगणित " का शाब्दिक रूप से एक अध्याय है, जिसका नाम है: " द फ्रोबेनियस नॉर्म - द यूसुअल" नॉर्मल "। तो स्पष्ट रूप से वर्णक्रमीय मानदंड सभी के लिए डिफ़ॉल्ट मानदंड नहीं है ।

— us --r11852

@ hxd1011: MATLAB में कम से कम ऐसा किया जाता है क्योंकि वर्णक्रमीय मान वास्तव में

मैट्रिक्स मानदंड है।

मैट्रिक्स के आदर्श के बाद से यह इयूक्लिडियन वेक्टर आदर्श, से प्रेरित है एक इयूक्लिडियन प्रकार आदर्श है जहां

L_{2}

$L_2$

L_{2}

$L_2$

। मैट्रिस केलिएप्रेरित मानदंडों केबारे में पकड़, वेएकवेक्टर मानक सेप्रेरितहैं

| | A | |_{2} = max_{| | x | |_{2} = 1} | | A x | |_{2}

$||A||_2 = \max\limits_{||x||_2 =1} || Ax||_2$ । मुझे यह विचार आर के पीछे भी लगता है। यह "डिफ़ॉल्ट" normकमांड को हमेशा एक ही मानदंड को वापस करने के लिए समझ में आता है।

— us --r11852

मैं असहमत हूं कि डिफ़ॉल्ट यूक्लिडियन है, और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला स्पेक्ट्रल है।

— अक्कल

मैं इस सवाल से चकित हूं क्योंकि मैं यह नहीं देख सकता कि मैट्रिक्स मानदंड वरीयता या उपयोग के मामले में कैसे हैं। यदि किसी समस्या के लिए एक विशेष मानदंड प्रासंगिक है, तो इसका उपयोग किया जाता है; यदि कोई अन्य प्रासंगिक है, तो इसका उपयोग किया जाता है। किसी भी स्पष्ट समस्या या आवेदन को ध्यान में रखते हुए, फिर, मैं यह नहीं देख सकता कि यह प्रश्न कैसे उत्तर देने योग्य है।

— whuber

@ us @r11852 आपको यह बताने के लिए धन्यवाद। यह महत्वपूर्ण है कि प्रश्न के पाठ में ऐसी सभी जानकारी शामिल हो। टिप्पणियों को पढ़ने वाले लोगों पर भरोसा न करें, खासकर जब उनमें से कई हैं। संयोग से, मेरी Rसूची की प्रति में "मानदंड {आधार}" के लिए सहायता पृष्ठ

मान डिफ़ॉल्ट के रूप में है, वर्णक्रमीय मानदंड नहीं।

L^{1}

$L^1$

— whuber

जवाबों:

सामान्य तौर पर, मैं अनिश्चित हूं कि वर्णक्रमीय मानदंड सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए फ्रोबेनियस मानदंड का उपयोग गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स कारक या सहसंबंध / सहसंयोजक मैट्रिक्स नियमितीकरण पर अनुमानित समाधान के लिए किया जाता है । मुझे लगता है कि इस सवाल का हिस्सा कुछ लोगों द्वारा (स्वयं शामिल) शब्दावली के गलत इस्तेमाल से उपजा है, जब फ्रोबेनियस मानदंड को यूक्लिडियन मैट्रिक्स मानदंड के रूप में संदर्भित किया गया है । हमें ऐसा नहीं करना चाहिए क्योंकि वास्तव में मैट्रिक्स मानक (यानी वर्णक्रमीय मान) वह है जो वेक्टर मानक का उपयोग करते समय मैट्रिसेस से प्रेरित है। फ्रोबेनियस मानदंड यह है कि तत्व-वार: $L_2$ $L_2$ , जबकिमैट्रिक्स के आदर्श ( $||A||_F = \sqrt{\sum_{i,j}a_{i,j}^2}$ $L_2$ ) विलक्षण मूल्यों पर आधारित है तो यह इसलिए अधिक "यूनिवर्सल" है। (एक बेहतर कार्यकाल के लिए?)मैट्रिक्स मानक एक यूक्लिडियन-प्रकार का आदर्श है क्योंकि यह यूक्लिडियन वेक्टर मानक से प्रेरित है, जहां $||A||_2 = \sqrt{\lambda_{max}(A^T A)})$ $L_2$ । इसलिए यहमैट्रिस केलिएएकप्रेरित मानदंडहै क्योंकि यहएसेप्रेरितहै $||A||_2 = \max\limits_{||x||_2 =1} || Ax||_2$ वेक्टर मानक , इस मामले में वेक्टर मानक। $L_2$

संभवतः MATLAB का उद्देश्य प्रदान करना है $L_2$ कमांड का उपयोग करते समय डिफ़ॉल्ट रूप मानदंडnorm ; एक परिणाम के रूप में यह यूक्लिडियन वेक्टर मानक प्रदान करता है, लेकिन मैट्रिक्स मानक भी, यानी। वर्णक्रमीय मैट्रिक्स आदर्श (बजाय गलत तरीके से उद्धृत " Frobenius / इयूक्लिडियन मैट्रिक्स आदर्श ")। अंत में मुझे ध्यान दें कि डिफ़ॉल्ट मानदंड क्या है, कुछ विस्तार के लिए राय का विषय है: उदाहरण के लिए जेई जेंटल की " मैट्रिक्स बीजगणित - सिद्धांत, संगणना, और सांख्यिकी में अनुप्रयोग " का शाब्दिक रूप से एक अध्याय (3.9.2) है: " फ्रोबेनियस सामान्य - "सामान्य" सामान्य $L_2$ "; तो स्पष्ट रूप से वर्णक्रमीय मानदंड सभी पार्टियों के लिए डिफ़ॉल्ट मानदंड नहीं है! :) जैसा कि @amoeba द्वारा टिप्पणी की गई है, विभिन्न समुदायों में अलग-अलग शब्दावली सम्मेलन हो सकते हैं। यह कहे बिना जाता है कि मुझे लगता है कि जेंटल की पुस्तक इस मामले पर एक अमूल्य संसाधन है। लिन। सांख्यिकी में बीजगणित आवेदन और मैं आपको इसे आगे देखने के लिए संकेत देगा!

— usr11852 का कहना है कि मोनिक को बहाल करें
स्रोत

बहुत बढ़िया जवाब!!

मुझे मदद की एक बहुत कुछ!

‖ A ‖_{2} = max_{‖ x ‖_{2} = 1} ‖ A x ‖_{2}

$\|A\|_2=\max_{\|x\|_2=1}\|Ax\|_2$

— हायातो डु

मुझे खुशी है कि मैं मदद कर सका। कृपया दिए गए अन्य उत्तरों पर भी ध्यान दें। वे काफी जिंदादिल हैं।

— us --r11852

उत्तर का एक हिस्सा संख्यात्मक कंप्यूटिंग से संबंधित हो सकता है।

जब आप परिमित परिशुद्धता में सिस्टम

A x = b

$Ax=b$ को हल करते हैं , तो आपको उस समस्या का सटीक उत्तर नहीं मिलता है। आप एक सन्निकटन मिल

\tilde{x}

$\tilde x$ , ताकि परिमित arithmetics की कमी के कारण

A \tilde{x} \approx b

$A\tilde x \approx b$ , में कुछ उपयुक्त भावना। यह क्या है कि आपके समाधान का प्रतिनिधित्व करता है, फिर? खैर, यह अच्छी तरह से एक हो सकता है सटीक जैसे कुछ अन्य प्रणाली का हल

\tilde{A} \tilde{x} = \tilde{b}

$\tilde A \tilde x = \tilde b$ तो के लिए

\tilde{x}

$\tilde x$ उपयोगिता है, टिल्ड-प्रणाली मूल प्रणाली के करीब होना चाहिए:

\tilde{A} \approx A, \tilde{b} \approx b

$\tilde A \approx A, \quad \tilde b \approx b$ तोअपने एल्गोरिथ्ममूल प्रणाली को संतुष्ट करता है कि संपत्ति के हल के लिए, तो यह कहा जाता हैपिछड़े स्थिर। अब, कितना बड़ा फ़र्क का सटीक विश्लेषण

\tilde{A} - A

$\tilde A-A$ ,

\tilde{b} - b

$\tilde b-b$ अंत में जो के रूप में व्यक्त कर रहे हैं सीमा पर त्रुटियां होती हैं

‖ \tilde{A} - A ‖

$\| \tilde A-A \|$ ,

‖ \tilde{b} - b ‖

$\| \tilde b-b\|$ । कुछ विश्लेषणों के लिए,

l_{1}

$l_1$ मानदंड (अधिकतम स्तंभ राशि) दूसरों के लिए,

माध्यम से पुश करने के लिए सबसे आसान है

l_{\infty}

$l_\infty$ मानदंड (अधिकतम पंक्ति योग) सबसे आसान है (उदाहरण के लिए, रैखिक प्रणाली मामले में समाधान के घटकों के लिए), और अभी तक दूसरों के लिए,

l_{2}

$l_2$ वर्णक्रमीय मानदंड सबसे उपयुक्त है (पारंपरिक

l_{2}

$l_2$ द्वारा प्रेरित

वेक्टर मानक, जैसा किएक अन्य उत्तर मेंबताया गयाहै)। सममित Psd मैट्रिक्स व्युत्क्रम में सांख्यिकीय कंप्यूटिंग के काम के घोड़े के लिए,चोल्स्की अपघटन(सामान्य ज्ञान: पहली ध्वनि एक [x] है जैसा कि ग्रीक अक्षर "ची" में है, न कि [tʃ] जैसा कि "पीछा" में, सबसे सुविधाजनक मानदंड त्रुटि सीमा पर नज़र रखना

l_{2}

$l_2$ मानदंड है ... हालाँकि फ्रोबेनियस मानदंड कुछ परिणामों में पॉप अप करता है जैसे कि विभाजित मैट्रिक्स व्युत्क्रम।

— StasK
स्रोत

विशेष रूप से सामान्य ज्ञान के लिए +1। मैंने हमेशा सोचा है कि इसकी शुरुआत [के] से होती है। मैंने इसे अभी देखा और जाहिरा तौर पर आंद्रे-लुई चोल्स्की पोलिश सभ्य (हालांकि फ्रांस में पैदा हुआ) का था। यह चोपिन की तरह "श" ध्वनि नहीं होना चाहिए? हालांकि, रूसी चोल्स्की में वास्तव में पारंपरिक रूप से киолецкий के रूप में लिखा गया है।

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

मैं इसे वापिस लेता हूँ। चोपिन के पिता फ्रेंच थे, इसलिए उपनाम का फ्रेंच उच्चारण। लेकिन चोल्स्की के माता-पिता पोलिश थे और पोलिश में इसे [

] के साथ उच्चारण किया जाना चाहिए था । चीयर्स।

χ

$\chi$

— अमीबा का कहना है कि मोनिका

हाँ ... मैंने सोचा था कि एक पोलिश पहले नाम के साथ एक रूसी के रूप में, और पहली बार पढ़ा कि रूसी एक दशक वर्तनी है या पहले इसे लैटिन अक्षरों में वर्तनी देखने से पहले, मुझे कुछ पता होगा कि इसे कैसे उच्चारण करना है;)

— 19

कौन इसका उच्चारण कैसे करता है, बस धिक्कार है।

— मार्क एल। स्टोन

इसका जवाब फ़ील्ड में हैं पर निर्भर करता है कि आप एक गणितज्ञ रहे हैं, तो। परिमित आयामों में सभी मानदंडों का बराबर हैं : किसी भी दो मानदंडों के लिए और , वहाँ स्थिरांक मौजूद , जो केवल आयाम (और ए, बी) पर निर्भर करता है जैसे: $\|\cdot\|_a$ $\|\cdot\|_b$ $C_1,C_2$

C_{1} ‖ x ‖_{b} \leq ‖ x ‖_{a} \leq C_{2} ‖ x ‖_{b} .

$C_1\|x\|_b\leq \|x\|_a\leq C_2\|x\|_b.$

इसका मतलब यह है कि परिमित आयामों में मानदंड काफी उबाऊ हैं और उनके बीच अनिवार्य रूप से कोई अंतर नहीं है सिवाय इसके कि वे कैसे पैमाने पर हैं। इसका आमतौर पर मतलब है कि आप जिस समस्या को हल करने का प्रयास कर रहे हैं, उसके लिए आप सबसे सुविधाजनक मानदंड चुन सकते हैं । आमतौर पर आप सवालों का जवाब देना चाहते हैं जैसे "क्या यह ऑपरेटर या प्रक्रिया बाध्य है" या "क्या यह संख्यात्मक प्रक्रिया अभिसरण करता है।" सीमा के साथ, आप केवल आमतौर पर परवाह करते हैं कि कुछ परिमित है। अभिसरण के साथ, आहुति देकर दर पर आपके पास अभिसरण है, आप अधिक सुविधाजनक मानदंड का उपयोग करने का विकल्प चुन सकते हैं।

उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, फ्रोबेनियस मानदंड को कभी-कभी पसंद किया जाता है क्योंकि यूक्लिडियन मानदंड की तुलना में गणना करना बहुत आसान है, और यह भी कि यह स्वाभाविक रूप से हिल्बर्ट श्मिट ऑपरेटरों के व्यापक वर्ग के साथ जोड़ता है । इसके अलावा, इयूक्लिडियन आदर्श की तरह, यह submultiplictive है: , के विपरीत कहते हैं, अधिकतम आदर्श, तो यह आप आसानी से जो कुछ भी अंतरिक्ष आप काम कर रहे में ऑपरेटर गुणा के बारे में बात करने की अनुमति देता लोग वास्तव में दोनों को पसंद करते हैं $\|AB\|_F\leq \|A\|_F\|B\|_F$ $p=2$ मानदंड और फ्रोबेनियस मानदंड, क्योंकि उनके उप-गुणात्मक होने के साथ-साथ मेट्रिसेस के आइगेनवल और विलक्षण मूल्यों दोनों के लिए प्राकृतिक संबंध हैं।

के लिए व्यावहारिक उद्देश्यों, मानदंडों के बीच मतभेद और अधिक स्पष्ट है क्योंकि हम आयामों की एक दुनिया में रहते हैं हो जाते हैं और यह आम तौर पर मायने रखती है कितना बड़ा एक निश्चित मात्रा है, और यह कैसे मापा जाता है। उन स्थिरांक से ऊपर नहीं वास्तव में तंग है, इसलिए यह महत्वपूर्ण हो जाता है बस कितना अधिक या कम एक निश्चित आदर्श हैं की तुलना में है । $C_1,C_2$ $\|x\|_a$ $\|x\|_b$

— एलेक्स आर।
स्रोत

दुर्भाग्य से, शब्द "तुल्यता", जैसा कि मानदंडों में है, कंप्यूटर विज्ञान में पीएचडी वाले लोगों द्वारा गलत तरीके से व्याख्या की जा सकती है। मुझे 2-मानदंडों का उपयोग करके एक निश्चित गैर-तुच्छ गणना को लागू करने की आवश्यकता थी, और इस आदमी ने 1-मानक का उपयोग करके एक समाधान का उत्पादन किया, क्योंकि यह बहुत आसान था, और आखिरकार, उसने सुना था कि सभी मानदंड समान हैं। ठीक है, का एक पहलू से बंद किया जा रहा (अप करने के लिए)

मेरे लिए पर्याप्त नहीं था। कि आवेदन में, मैं केवल के 1. एक पहलू से बंद होने के लिए बर्दाश्त कर सकता है

\sqrt{n}

$\sqrt{n}$

— मार्क एल स्टोन

@ MarkL.Stone: सही, इसलिए सैद्धांतिक (वास्तव में: सामयिक) और व्यावहारिक के बीच अंतर।

— एलेक्स आर।

@ MarkL.Stone: +1 स्पष्ट रूप से वह अपने कोड का यूनिट-परीक्षण नहीं कर रहा था। :) (नाइस किस्सा मैं निश्चित रूप से यह जब तकनीकी कंप्यूटिंग में miscommunications के बारे में बात का उपयोग करेगा!)

— usεr11852 को फिर से बहाल Monic कहते हैं

@ us @r11852 हा हा, नहीं, यह उससे भी बदतर है। उन्होंने 1-मानदंडों के आधार पर गणना को सही ढंग से लागू करने के लिए कोड को "यूनिट-टेस्ट" किया। इसने मेरे सिस्टम-स्तरीय परीक्षा को विफल कर दिया क्योंकि इसमें गलत मानदंड का इस्तेमाल किया गया था।

— मार्क एल। स्टोन

@ MarkL.Stone: ओह ... यह अफ़सोस की बात है! यह कहने के बाद, मुझे नहीं पता कि आप किसी विशेष हार्डवेयर कॉन्फ़िगरेशन या किसी चीज़ का उपयोग कर रहे थे, लेकिन स्क्रैच से एक मानक गणना कोडिंग के साथ शुरू करना है, नहीं-नहीं; ऐसे गणित के पुस्तकालय हैं जिनका उपयोग इस तरह के मुद्दों से पूरी तरह से बचने के लिए किया जाना चाहिए।

— us --r11852