संयुक्त रूप से पूर्ण पर्याप्त सांख्यिकी: वर्दी (ए, बी)

Let एक समान वितरण पर , जहां से एक यादृच्छिक नमूना है । आज्ञा दें और सबसे बड़े और सबसे छोटे क्रम के आँकड़े हैं। दिखाएँ कि आँकड़ा पैरामीटर लिए संयुक्त रूप से पर्याप्त पूर्ण आँकड़ा है । $\mathbf{X}= (x_1, x_2, \dots x_n)$ $(a,b)$ $a < b$ $Y_1$ $Y_n$ $(Y_1, Y_n)$ $\theta = (a, b)$

यह मेरे लिए कोई समस्या नहीं है कि मैं गुणनखंडन का उपयोग कर पर्याप्तता दिखाऊँ।

प्रश्न: मैं पूर्णता कैसे दिखाऊँ? अधिमानतः मैं एक संकेत चाहूंगा।

प्रयास: मैं एक पैरामीटर यूनिफॉर्म वितरण के लिए अर्थ दिखा सकता हूं , लेकिन मैं दो पैरामीटर समान वितरण पर अटक रहा हूं। $\mathbb E[g(T(x))] = 0$ $g(T(x)) = 0$

मैंने के साथ और और के संयुक्त वितरण का उपयोग करने की , लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि मैं सही दिशा में जा रहा हूं, क्योंकि पथरी मुझे उल्टा कर रही है। $\mathbb E[g(Y_1, Y_n)]$ $Y_1$ $Y_n$

— emlu
स्रोत

कृपया [self-study]टैग जोड़ें और इसकी विकी पढ़ें । ध्यान दें कि आप चारों ओर डॉलर लगाकर गणित के लिए लेटेक्स प्रारूपण का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए $x$ उत्पादन करता है । मैंने आपके कुछ गणित टाइप करने की कोशिश की है, लेकिन यदि आप परिणाम से खुश नहीं हैं, तो उसे बदलने या वापस करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। आप अंकन पसंद कर सकते हैं के लिए के बजाय के लिए ।

x

$x$ $\vec x$

\vec{x}

$\vec x$ $\mathbf x$

x

$\mathbf x$

— सिल्वरफिश जूल

आइए आपके लिए नियमित पथरी की देखभाल करें, ताकि आप समस्या के दिल में पहुंच सकें और समाधान तैयार करने का आनंद ले सकें। यह आयतों के निर्माण और त्रिकोण के अंतर के रूप में आयतों के निर्माण के लिए नीचे आता है।

सबसे पहले, और मूल्यों को चुनें जो विवरण को यथासंभव सरल बनाते हैं। $a$ $b$ मुझे : के किसी भी घटक का घनत्व केवल अंतराल का सूचक कार्य है । $a=0,b=1$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $[0,1]$

चलो वितरण समारोह को खोजने के की । $F$ $(Y_1,Y_n)$ परिभाषा के अनुसार, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए यह है $y_1 \le y_n$

\begin{matrix} (1) & F (y_{1}, y_{n}) = Pr (Y_{1} \leq y_{1} and Y_{n} \leq y_{n}) . \end{matrix}

$F(y_1,y_n) = \Pr(Y_1\le y_1\text{ and } Y_n \le y_n).\tag{1}$

का मान स्पष्ट रूप से या है यदि या से कोई भी अंतराल के बाहर है , तो चलो मान लेते हैं कि वे इस अंतराल में दोनों हैं। (चलिए तुच्छताओं पर चर्चा करने से बचने के लिए भी मानते हैं ।) इस मामले में घटना को मूल चर रूप में वर्णित किया जा सकता है "कम से कम एक के रूप में" से कम या बराबर है और से कोई भी से अधिक । " समान रूप से, सभी झूठ बोलते हैं $F$ $0$ $1$ $y_1$ $y_n$ $[a,b] = [0,1]$ $n\ge 2$ $(1)$ $X=(X_1,X_2,\ldots,X_n)$ $X_i$ $y_1$ $X_i$ $y_n$ $X_i$ $[0,y_n]$ लेकिन ऐसा नहीं है कि ये सभी । $(y_1,y_n]$

क्योंकि स्वतंत्र हैं, उनकी संभावनाएँ इन दो घटनाओं के लिए क्रमशः गुणा और । इस प्रकार, $X_i$ $(y_n-0)^n = y_n^n$ $(y_n-y_1)^n$

F (y_{1}, y_{n}) = y_{n}^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n} .

$F(y_1,y_n) = y_n^n - (y_n-y_1)^n.$

घनत्व की मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न है , $f$ $F$

f (y_{1}, y_{n}) = \frac{\partial^{2} F}{\partial y_{1} \partial y_{n}} (y_{1}, y_{n}) = n (n - 1) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n) = \frac{\partial^2 F}{\partial y_1 \partial y_n}(y_1,y_n) = n(n-1)(y_n-y_1)^{n-2}.$

लिए सामान्य मामला कारक द्वारा चर को मापता है और द्वारा स्थान बदलता । $(a,b)$ $b-a$ $a$ इस प्रकार, , $a \lt y_1 \le y_n \lt b$

F (y_{1}, y_{n}; a, b) = ({(\frac{y_{n} - a}{b - a})}^{n} - {(\frac{y_{n} - a}{b - a} - \frac{y_{1} - a}{b - a})}^{n}) = \frac{(y_{n} - a)^{n} - (y_{n} - y_{1})^{n}}{(b - a)^{n}} .

$F(y_1,y_n; a,b) = \left(\left(\frac{y_n-a}{b-a}\right)^n - \left(\frac{y_n-a}{b-a} - \frac{y_1-a}{b-a}\right)^n\right) = \frac{(y_n-a)^n - (y_n-y_1)^n}{(b-a)^n}.$

प्राप्त करने से पहले विभेद करना

f (y_{1}, y_{n}; a, b) = \frac{n (n - 1)}{(b - a)^{n}} (y_{n} - y_{1})^{n - 2} .

$f(y_1,y_n; a,b) = \frac{n(n-1)}{(b-a)^n}(y_n-y_1)^{n-2}.$

पूर्णता की परिभाषा पर विचार करें। चलो दो वास्तविक चर के किसी भी औसत दर्जे का समारोह हो। परिभाषा से, $g$

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} E [g (Y_{1}, Y_{n})] & = \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) f (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \\ \propto \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} g (y_{1}, y_{n}) (y_{n} - y_{1})^{n - 2} d y_{1} d y_{n} . \end{aligned} \end{matrix}

$\eqalign{E[g(Y_1,Y_n)] &= \int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) f(y_1,y_n)dy_1dy_n\\ &\propto\int_{y_1}^b\int_a^b g(y_1,y_n) (y_n-y_1)^{n-2} dy_1dy_n.\tag{2} }$

हमें यह दिखाने की जरूरत है कि जब यह उम्मीद सभी लिए शून्य है , तो यह निश्चित है कि किसी भी । $(a,b)$ $g=0$ $(a,b)$

यहाँ आपका संकेत है। चलो होना किसी भी औसत दर्जे का कार्य करते हैं। मैं प्रपत्र द्वारा सुझाए में यह व्यक्त करना चाहेंगे के रूप में । ऐसा करने के लिए, स्पष्ट रूप से हम विभाजित चाहिए से । दुर्भाग्य से, यह जब भी परिभाषित नहीं । कुंजी यह है कि इस सेट में माप शून्य है इसलिए हम इसे उपेक्षित कर सकते हैं। $h:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ $(2)$ $h(x,y)=g(x,y)(y-x)^{n-2}$ $h$ $(y-x)^{n-2}$ $n\gt 2$ $y-x$

तदनुसार, किसी भी मापने योग्य देखते हुए , परिभाषित करें $h$

g (x, y) = {\begin{matrix} h (x, y) / (y - x)^{n - 2} & x \neq y \\ 0 & x = y \end{matrix}

$g(x,y) = \left\{\matrix{h(x,y)/(y-x)^{n-2} & x \ne y \\ 0 & x=y}\right.$

तब बन जाता है $(2)$

\begin{matrix} (3) & \int_{y_{1}}^{b} \int_{a}^{b} h (y_{1}, y_{n}) d y_{1} d y_{n} \propto E [g (Y_{1}, Y_{n})] . \end{matrix}

$\int_{y_1}^b\int_a^b h(y_1,y_n) dy_1dy_n \propto E[g(Y_1,Y_n)].\tag{3}$

(जब कार्य दिखा रहा है कि कुछ शून्य है, तो हम आनुपातिकता के गैर-अक्षीय स्थिरांक को अनदेखा कर सकते हैं। यहाँ, मैंने बाएं हाथ की ओर से छोड़ दिया है।) $n(n-1)/(b-a)^{n-2}$

यह एक समकोण त्रिभुज के साथ एक समकोण से और शीर्ष पर । आइए ऐसे त्रिकोण निरूपित करते हैं । $(a,a)$ $(b,b)$ $(a,b)$ $\Delta(a,b)$

एर्गो , आपको जो दिखाने की ज़रूरत है वह यह है कि यदि सभी त्रिभुज पर एक मनमाना औसत दर्जे का कार्य का अभिन्न शून्य है, तो किसी भी , (लगभग निश्चित रूप से) के लिए ) सभी के लिए । $h$ $\Delta(a,b)$ $a\lt b$ $h(x,y)=0$ $(x,y)\in \Delta(a,b)$

हालांकि ऐसा लग सकता है कि हम आगे किसी भी तरह से नहीं किसी भी आयत पर विचार करें जो कि पूर्ण-समतल में निहित है । इसे त्रिभुजों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: $[u_1,u_2]\times [v_1,v_2]$ $y \gt x$

[u_{1}, u_{2}] \times [v_{1}, v_{2}] = Δ (u_{1}, v_{2}) ∖ (Δ (u_{1}, v_{1}) \cup Δ (u_{2}, v_{2})) \cup Δ (u_{2}, v_{1}) .

$[u_1,u_2]\times [v_1,v_2] = \Delta(u_1,v_2) \setminus\left(\Delta(u_1,v_1) \cup \Delta(u_2,v_2)\right)\cup \Delta(u_2,v_1).$

इस आकृति में, आयत वह है जो बड़े त्रिभुज से बची रहती है जब हम अतिव्यापी लाल और हरे त्रिकोण (जो उनके भूरे रंग के प्रतिच्छेदन को गिनता है) को हटा देते हैं और फिर उनके प्रतिच्छेदन को बदल देते हैं।

नतीजतन, आप तुरंत काट सकते हैं कि इस तरह के सभी आयतों पर का अभिन्न शून्य है। $h$ यह केवल यह दिखाने के लिए बना रहता है कि शून्य होना चाहिए (माप शून्य के कुछ सेट पर इसके मूल्यों के अलावा) जब भी । इस (सहज रूप से स्पष्ट) दावे का प्रमाण इस बात पर निर्भर करता है कि आप एकीकरण की परिभाषा को किस दृष्टिकोण तक ले जाना चाहते हैं। $h(x,y)$ $y \gt x$

— व्हीबर
स्रोत

मैंने समीकरण 3 को शून्य के बराबर सेट करने की कोशिश की, दोनों पक्षों पर व्युत्पन्न ले लो और संकेतों (एक प्रतिवर्त क्रिया जो मुझे लगता है) को इंटरचेंज करें लेकिन परिणाम काफी डरावना [1] लगते हैं। क्या अधिक उचित दृष्टिकोण है? [१] en.wikipedia.org/wiki/Leibniz_integral_rule#Higher_dimensions

— mugen

छोटे और छोटे त्रिकोणों के परिमित संग्रह पर विचार करें जो चित्र में कर्ण के साथ झूठ बोल रहे हैं और सीमा लेते हैं क्योंकि संग्रह में सबसे बड़े त्रिकोण का व्यास शून्य हो जाता है।

— whuber