बड़ी संख्या की केंद्रीय सीमा प्रमेय बनाम कानून

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केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि रूप में आईड चर का मतलब अनंत तक जाता है, सामान्य रूप से वितरित किया जाता है। $N$

इससे दो सवाल उठते हैं:

क्या हम इससे बड़ी संख्या का कानून निकाल सकते हैं? बड़ी संख्या में कानून का कहना है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों का एक नमूना का मतलब सही मतलब के बराबर होती है, तो के रूप में अनंत को जाता है, तो यह है कि कहने के लिए (केंद्रीय सीमा का कहना है के रूप में) है कि मूल्य हो जाता है और मज़बूत लगता है जहां मानक विचलन है। क्या यह कहना उचित है कि केंद्रीय सीमा का तात्पर्य बड़ी संख्या में है? $\mu$ $N$ $\mathcal N(\mu, \sigma)$ $\sigma$
क्या केंद्रीय सीमा प्रमेय चर के रैखिक संयोजन पर लागू होती है?

probability central-limit-theorem law-of-large-numbers

— user9097
स्रोत

5

आपका दावा है कि "केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि रूप में आई चर का मतलब, अनंत तक जाता है, सामान्य रूप से वितरित हो जाता है" गलत है। इस हालिया सवाल पर मेरा जवाब देखें जो इसी तरह के मुद्दों को उठाता है। उस प्रश्न का एक और उत्तर पोस्ट किया गया था, लेकिन उसके बाद जल्द ही हटा दिया गया, और उस उत्तर के बाद चर्चा, अब चला गया, इन मुद्दों पर भी चर्चा की।

N

$N$

— दिलीप सरवटे

1

क्यों नमूना माध्य का मतलब है जनसंख्या माध्य एक कमजोर परिणाम से नमूना माध्य में परिवर्तित होने का मतलब है कि एक वितरण से नमूना ?

μ

$\mu$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu, \sigma)$

— दिलीप सरवटे

@DilipSarwate ध्वज के लिए धन्यवाद, लेकिन आपकी टिप्पणी IMO है जिससे प्रश्न में गलतफहमी का पता चलता है और उचित उत्तर सामने आए।

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ओपी कहता है

केंद्रीय सीमा प्रमेय में कहा गया है कि एन के रूप में आईड चर का मतलब अनंत तक जाता है, सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।

मैं इसका अर्थ यह कि यह ओपी की धारणा है कि माध्य और मानक विचलन साथ iid यादृच्छिक चर के लिए , संचयी वितरण फ़ंक्शन of के संचयी वितरण समारोह में होता है , माध्य और मानक विचलन साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर । या, ओपी का मानना है कि इस फॉर्मूले की मामूली पुन: व्यवस्था, जैसे का वितरण , या के वितरण में $X_i$ $\mu$ $\sigma$ $F_{Z_n}(a)$

Z_{n} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$Z_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

N (μ, σ)

$\mathcal N(\mu,\sigma)$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

Z_{n} - μ

$Z_n - \mu$

N (0, σ)

$\mathcal N(0,\sigma)$

(Z_{n} - μ) / σ

$(Z_n - \mu)/\sigma$ मानक सामान्य यादृच्छिक चर के वितरण में परिवर्तित होता है । एक उदाहरण के रूप में ध्यान दें कि इन कथनों का अर्थ है कि को ।

N (0, 1)

$\mathcal N(0,1)$

P {| Z_{n} - μ | > σ} = 1 - F_{Z_{n}} (μ + σ) + F_{Z_{n}} ((μ + σ)^{-}) \to 1 - Φ (1) + Φ (- 1) \approx 0.32

$P\{|Z_n - \mu| > \sigma\} = 1 - F_{Z_n}(\mu + \sigma) + F_{Z_n}((\mu + \sigma)^-) \to 1-\Phi(1)+\Phi(-1) \approx 0.32$

n \to \infty

$n \to \infty$

ओपी के कहने पर चला जाता है

इससे दो सवाल उठते हैं:

क्या हम इससे बड़ी संख्या का कानून निकाल सकते हैं? यदि बड़ी संख्या का नियम कहता है कि एक यादृच्छिक चर के मूल्यों के नमूने का मतलब सही मतलब μ के बराबर होता है जैसे N अनंत तक जाता है, तो यह कहना और भी मजबूत लगता है कि (जैसा कि केंद्रीय सीमा कहती है) कि मान N बनता है ( μ,।) जहां where मानक विचलन है।

बड़ी संख्या के कमजोर कानून का कहना है कि iid यादृच्छिक चर के लिए परिमित माध्य , किसी भी , ध्यान दें कि यह मान लेना आवश्यक नहीं है कि मानक विचलन परिमित है। $X_i$ $\mu$ $\epsilon > 0$

P {| Z_{n} - μ | > ϵ} \to 0 as n \to \infty .

$P\{|Z_n - \mu| > \epsilon\} \to 0 ~~ \text{as}~ n \to \infty.$

तो, ओपी के सवाल का जवाब देने के लिए,

ओपी द्वारा बताई गई केंद्रीय सीमा प्रमेय में बड़ी संख्या का कमजोर कानून नहीं है । के रूप में , केंद्रीय सीमा प्रमेय के ओपी संस्करण का कहना है कि जबकि कमजोर कानून कहता है कि $n \to \infty$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0.317\cdots$ $P\{|Z_n-\mu| > \sigma\} \to 0$
केंद्रीय सीमा प्रमेय के एक सही कथन से, कोई भी परिमित माध्य और मानक विचलन के साथ यादृच्छिक चर पर लागू होने वाले बड़ी संख्या के कमजोर कानून के केवल एक सीमित रूप को घटा सकता है। लेकिन बड़ी संख्याओं का कमजोर कानून यादृच्छिक चर जैसे कि पारेतो यादृच्छिक चर के साथ परिमित साधनों के लिए भी है लेकिन अनंत मानक विचलन है।
मुझे यह समझ में नहीं आता है कि यह क्यों कहा जाता है कि नमूना का मतलब नॉनजरो मानक विचलन के साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर में परिवर्तित होता है , यह कहने की तुलना में एक मजबूत कथन है कि नमूना का मतलब जनसंख्या के लिए अभिसरण है, जो एक स्थिर (या शून्य मानक विचलन वाला एक यादृच्छिक चर है अगर तुम्हे पसंद है)।

— दिलीप सरवटे
स्रोत

मुझे आश्चर्य है कि जिस व्यक्ति ने मेरे उत्तर को अस्वीकार कर दिया, मैंने जो कहा उसमें आपत्तिजनक या गलत पाया गया।

— दिलीप सरवटे

7

बड़ी संख्या के कानून के लिए, आपको एक ही प्रायिकता स्थान पर परिभाषित करने के लिए सभी चर का होना आवश्यक है (क्योंकि बड़ी संख्या का नियम द्वारा निर्धारित घटना की संभावना के बारे में एक कथन है , सभी एक साथ)। वितरण में अभिसरण के लिए, आपके पास अलग-अलग संभावना स्थान हो सकते हैं, और जो साक्ष्यों के कई पहलुओं को सरल करता है (उदाहरण के लिए, नेस्टेड रिक्त स्थान बढ़ाना, विभिन्न त्रिकोणीय सरणी प्रमाणों के लिए बहुत सामान्य)। लेकिन इसका मतलब यह भी है कि आप किसी भी बयान को और के संयुक्त वितरण से संबंधित नहीं कह सकते। तो नहीं, वितरण में अभिसरण से बड़ी संख्या का कानून लागू नहीं होता है, जब तक कि आपके पास सभी चर के लिए एक सामान्य संभावना स्थान नहीं है। $\bar X_n$ $n$ $\bar X_n$ $\bar X_{n+1}$

— StasK
स्रोत

(+1) आप जो कहते हैं वह सच है, और एक बहुत महत्वपूर्ण बिंदु है। त्रिकोणीय सरणी पिछली पंक्तियों की तुलना में प्रत्येक "पंक्ति" में चर के लिए अलग-अलग संभावना स्थानों पर रहने की अनुमति देती है। दूसरी ओर, अगर हम एक प्राथमिकता कहते हैं कि हम आईआईडी यादृच्छिक चर के अनुक्रम पर विचार कर रहे हैं, तो, स्पष्ट रूप से वे स्वतंत्रता की धारणा के लिए एक सामान्य अंतर्निहित स्थान पर मौजूद होना चाहिए।

— कार्डिनल

@कार्डिनल: इसलिए अगर मैं सही ढंग से समझता हूं, "सरल" मामले में जहां सभी को एक ही स्थान पर परिभाषित किया गया है, तो यह मामला है कि केंद्रीयता बड़ी संख्या के कानून का मतलब है? याँ नहीं?

— user9097

@ user9097 चूंकि अब हम बारीक बारीकियों के दायरे में आ रहे हैं, इसलिए बड़ी संख्या में किस कानून के बारे में पूछा जा रहा है? कमजोर कानून या मजबूत कानून?

— दिलीप सरवटे

यह बात केवल बड़ी संख्या के मजबूत कानून के लिए सही है , कमजोर कानून के

— kjetil b halvorsen

4

सबसे पहले, हालांकि कई परिभाषाएँ हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय के मानक रूपों में से एक का कहना है कि वितरण में धर्मान्तरित करने के लिए , जहां कुछ यादृच्छिक चर की iid प्रतियों का नमूना है । $\sqrt{n}(\bar{X}_n-EX)$ $\mathcal N(0, Var(X))$ $\bar{X}$ $n$ $X$

दूसरे, मान लीजिए कि हमारे पास दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर और । फिर या $X$ $Y$

\sqrt{n} (\frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (a X_{j} + Y_{j}) - E (a X + Y)) \to N (0, V a r (a X + Y))

$\sqrt{n}(\frac{1}{n}\sum_{j=1}^n(aX_j+Y_j) - E(aX+Y)) \to \mathcal N(0, Var(aX+Y))$

\sqrt{n} a ({\bar{X}}_{n} - E X) + \sqrt{n} ({\bar{Y}}_{n} - E Y) \to N (0, a^{2} V a r (X) + V a r (Y)) .

$\sqrt{n}a(\bar{X}_n- EX)+\sqrt{n}(\bar{Y}_n -EY) \to \mathcal N(0, a^2Var(X)+Var(Y)).$

दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर का एक रैखिक संयोजन सीएलटी के तहत मानदंडों के एक रैखिक संयोजन में परिवर्तित नहीं होता है, बस एक सामान्य है। यह समझ में आता है क्योंकि यादृच्छिक चर का एक रेखीय संयोजन बस एक अलग यादृच्छिक चर है जिसे सीएलटी सीधे लागू किया जा सकता है।

— डैनियल जॉनसन
स्रोत

1

यह एक उत्तर के लिए एक अच्छी शुरुआत है। यहां कुछ टिप्पणियां दी गई हैं: (संयुक्त) मानदंडों का एक रैखिक संयोजन सामान्य है, इसलिए, मुझे यकीन नहीं है कि उस संबंध में आपकी टिप्पणी का क्या मतलब था। किसी भी दर पर, मुझे संदेह है कि ओपी आपके विचार के रूप के रैखिक संयोजनों के बारे में नहीं सोच रहा था। यह देखते हुए कि जहां प्रत्येक , के लिए एक प्राकृतिक प्रश्न जो पूछना है कि क्या होता है हम इन "समान" वज़न को कुछ अन्य (अधिक मनमानी) वाले से बदल देते हैं। हम अभी भी एक CLT कब प्राप्त करते हैं? इस सवाल पर पाने के लिए लिंडबर्ग के सीएलटी का इस्तेमाल किया जा सकता है।

{\bar{X}}_{n} = \sum_{i = 1}^{n} w_{n i} X_{i}

$\bar X_n = \sum_{i=1}^n w_{ni} X_i$

w_{n i} = 1 / n

$w_{ni} = 1/n$

i = 1, \dots, n

$i = 1,\ldots,n$

— कार्डिनल

मुझे लगता है कि सख्त शर्तों के साथ मेरा परिणाम अभी भी बारे में कुछ । पहले इन स्थितियों को परिभाषित करें और फिर विचार करें कि उन्हें कैसे कमजोर किया जाए। आइए और को एक एकल, अनंत-गैर-वास्तविक अनुक्रमों के क्रम में ले जाएं। यदि अलग-अलग संख्या परिमित है और प्रत्येक क्रम में अक्सर दिखाई देता है, तो मेरा परिणाम यह होना चाहिए कि प्रत्येक एक यादृच्छिक चर को परिभाषित करता है और यह ऊपर दिए गए 'रैखिक संयोजन' ढांचे में फिट बैठता है। तब एक अच्छा सवाल यह होगा कि क्या हम साथ अलग-अलग स्केल की संख्या की अनुमति दे सकते हैं ।

\sum_{j = 1}^{n} w_{n j} X_{j}

$\sum^n_{j=1}w_{nj}X_j$

w_{n j} = w_{j} / n

$w_{nj} = w_{j}/n$

w_{j}

$w_j$

w_{j}

$w_{j}$

w_{j} X

$w_jX$

w

$w$

n

$n$

— डैनियल जॉनसन

1

यह एक अच्छी टिप्पणी है, और एक अच्छा विचार है, हालांकि मेरा मानना है कि इसे काम करने के लिए कुछ संशोधन की आवश्यकता होगी। मान लें wlog कि । अपने निर्माण निम्नानुसार करें। चलो , । अब, परिभाषित उपपादन के रूप में इस प्रकार है: सेट जब तक । फिर लोगों को । फिर से शून्य जोड़ें, फिर। दोहराएँ विज्ञापन infinitum। अब, और दोनों एक अनंत संख्या में होते हैं, लेकिन प्रतिक्षेपित माध्य का विचरण और बीच होता है

E X = 0

$\mathbb E X = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{1} = 1

$w_1 = 1$

w_{2} = 0

$w_2 = 0$

w_{j}

$w_j$

w_{j} = 0

$w_j = 0$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \leq 1 / 4

$\sum_{i=1}^j w_i /j \leq 1/4$

\sum_{i = 1}^{j} w_{i} / j \geq 1 / 2

$\sum_{i=1}^j w_i /j \geq 1/2$

0

$0$

1

$1$

1 / 2

$1/2$

1 / 4

$1/4$ (मोटे तौर पर)। इसलिए, आपका कहा गया क्रम वितरण में अभिसरित नहीं हो सकता है।

— कार्डिनल

(नोट: यहां और की पसंद के बारे में कुछ भी विशेष नहीं है। इसके अलावा, कड़ाई से उस प्रक्रिया का वर्णन करें जिसे आप टिप्पणी में वर्णित करते हैं, वास्तव में आपके उत्तर के रैखिक-संयोजन ढांचे के भीतर फिट नहीं होती है।)

0

$0$

1

$1$

— कार्डिनल