हमें कैसे पता चलेगा कि 1 और 2 को रोल करने की संभावना 1/18 है?

Question

मेरी पहली संभावना वर्ग के बाद से मैं निम्नलिखित के बारे में सोच रहा था।

संभावनाओं की गणना आमतौर पर कुल संभावित घटनाओं के लिए "पसंदीदा घटनाओं" के अनुपात के माध्यम से पेश की जाती है। दो 6-पक्षीय पासा को रोल करने के मामले में, संभावित घटनाओं की मात्रा , जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

यदि हम इसलिए घटना A " और रोलिंग" की संभावना की गणना करने में रुचि रखते थे , तो हम देखेंगे कि दो "पसंदीदा ईवेंट" हैं और ईवेंट की संभावना की गणना ।२ $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

अब, जो मुझे हमेशा आश्चर्यचकित करता है, वह है: मान लें कि दोनों पासा के बीच अंतर करना असंभव होगा और हम केवल उन्हें लुढ़कने के बाद ही देख पाएंगे, इसलिए उदाहरण के लिए हम देखेंगे "कोई मुझे एक बॉक्स देता है। मैं बॉक्स खोलता हूं। एक और एक ”। इस काल्पनिक परिदृश्य में हम दो पासा के बीच अंतर नहीं कर पाएंगे, इसलिए हम यह नहीं जान पाएंगे कि इस अवलोकन के लिए दो संभावित घटनाएं हैं। तब हमारे संभावित कार्यक्रम इस तरह होंगे:$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

और हम घटना ए की संभावना की गणना ।$\frac{1}{21}$

फिर से, मैं इस तथ्य से पूरी तरह परिचित हूं कि पहला दृष्टिकोण हमें सही उत्तर की ओर ले जाएगा। जो सवाल मैं खुद से पूछ रहा हूं वह है:

हम कैसे जानते हैं कि सही है?$\frac{1}{18}$

मेरे द्वारा दो उत्तर दिए गए हैं:

• हम अनुभवजन्य रूप से इसकी जांच कर सकते हैं। जितना मुझे इसमें दिलचस्पी है, मुझे यह स्वीकार करना होगा कि मैंने खुद ऐसा नहीं किया है। लेकिन मेरा मानना ​​है कि यह मामला होगा।
• वास्तव में हम पासा के बीच अंतर कर सकते हैं, जैसे एक काला है और दूसरा नीला है, या एक को दूसरे से पहले फेंक दें या बस संभावित घटनाओं के बारे में जानें और फिर सभी मानक सिद्धांत काम करते हैं।$36$

आपके लिए मेरे प्रश्न हैं:

• हमारे लिए यह जानने के लिए और क्या कारण हैं कि सही है? (मुझे पूरा यकीन है कि कुछ (कम से कम तकनीकी) कारण होना चाहिए और यही कारण है कि मैंने यह सवाल पोस्ट किया है)$\frac{1}{18}$
• क्या यह मानने के खिलाफ कुछ बुनियादी तर्क है कि हम पासा के बीच बिल्कुल भी अंतर नहीं कर सकते हैं?
• यदि हम मानते हैं कि हम पासा के बीच अंतर नहीं कर सकते हैं और संभावना को जांचने का कोई तरीका नहीं है, तो क्या भी सही है या मैंने कुछ अनदेखी की है?$P(A) = \frac{1}{21}$

मेरे प्रश्न को पढ़ने के लिए अपना समय देने के लिए धन्यवाद और मुझे आशा है कि यह पर्याप्त विशिष्ट है।

Comments

सरल उत्तर: क्योंकि यह अलग-अलग घटनाओं की संभावना है। अविभाज्य घटनाओं (जैसे आइंस्टीन-बोस सांख्यिकी ) की भौतिकी में संभाव्य मॉडल हैं ।

— टिम

यह एक कारण है कि संभावना के स्वयंसिद्ध हैं : आप यह जान सकते हैं कि सही है जब आप इसे पूरी तरह से स्वयंसिद्ध और तर्क के नियमों का उपयोग करके घटा सकते हैं। $1/18$

— whuber

पासा की एक जोड़ी का उपयोग करें जहां एक लाल और दूसरा हरा है। आप उन्हें अलग बता सकते हैं, लेकिन लाल-हरा रंग-अंधापन वाला कोई व्यक्ति नहीं कर सकता। क्या आप जो देखते हैं या जो देखते हैं, उसके आधार पर क्या संभावनाएं होनी चाहिए?

— मोंटी हार्डर

हालांकि सभी पोस्ट किए गए उत्तर बहुत जानकारीपूर्ण थे (आप सभी का धन्यवाद जिन्होंने योगदान दिया!) और ज्यादातर ने मुझे एहसास दिलाया कि वास्तव में - कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई इसे कैसे डालता है - पासा अलग-अलग हैं, मुझे लगता है कि @Tim का जवाब बिल्कुल वही था जो मैं देख रहा था के लिए (dziękuję bardzo)! मैंने इस विषय पर कुछ और शोध किया और वास्तव में इस लेख और इस वीडियो को पसंद किया ।

— ELM

@ELM इसे सुनकर अच्छा लगा :) पूर्णता के लिए मैंने अपना जवाब जोड़ा।

— टिम

Answer 1

कल्पना कीजिए कि आपने अपने निष्पक्ष छह-पक्षीय मर को फेंक दिया और आपको your मिला। परिणाम इतना आकर्षक था कि आपने अपने दोस्त डेव को फोन किया और उसके बारे में बताया। चूँकि वह जिज्ञासु था कि अपने छह-पक्षीय मर जाने पर उसे क्या मिलेगा, इसलिए उसने फेंक दिया और उसे ⚁ मिल गया।

एक मानक मरने के छह पक्ष होते हैं। आप तो धोखा दे नहीं रहे हैं, तो यह बराबर संभावना के साथ प्रत्येक पक्ष पर भूमि, यानी में बार। संभावना है कि आप prob फेंक देते हैं, अन्य पक्षों के साथ समान है, । संभावना है कि आप prob फेंक देते हैं, और आपका दोस्त is फेंकता है, tfrac चूंकि दोनों घटनाएं स्वतंत्र हैं और हम गुणा करते हैं स्वतंत्र संभावनाएँ। इसे अलग तरह से कहें, तो ऐसी जोड़ियों की व्यवस्थाएँ हैं जिन्हें आसानी से सूचीबद्ध किया जा सकता है (जैसा कि आपने पहले ही किया था)। विपरीत घटना की संभावना (आप ability और आपके दोस्त opposite फेंक देते हैं) भी tfrac६ $1$$6$$\tfrac{1}{6}$ ३६$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$। संभावनाएँ जो आप prob फेंकते हैं, और आपका मित्र throw फेंकता है, या जिसे आप ⚁ फेंकते हैं, और आपका मित्र, फेंकता है, अनन्य हैं , इसलिए हम उन्हें जोड़ते हैं । सभी संभावित व्यवस्थाओं के बीच, इस स्थिति में दो बैठकें होती हैं।$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

हम यह सब कैसे जानते हैं? खैर, संभावना , संयोजन और तर्क के आधार पर , लेकिन उन तीनों को भरोसा करने के लिए कुछ तथ्यात्मक ज्ञान की आवश्यकता होती है। हम हजारों जुआरी और कुछ भौतिकी के अनुभव के आधार पर जानते हैं कि यह मानने का कोई कारण नहीं है कि एक छह-पक्षीय मरने वाले के पास प्रत्येक पक्ष पर उतरने के एक परिवर्तनीय अवसर के अलावा अन्य है। इसी तरह, हमारे पास यह संदेह करने का कोई कारण नहीं है कि दो स्वतंत्र थ्रो किसी तरह संबंधित हैं और एक दूसरे को प्रभावित करते हैं।

तुम एक कल्पना कर सकते हैं टिकट के साथ बॉक्स सभी का उपयोग लेबल से संख्या के -combinations (दोहराव के साथ) करने के लिए । यह संभावित परिणामों की संख्या को तक सीमित कर देगा और संभावनाओं को बदल देगा। हालाँकि यदि आप पासा की अवधि में इस तरह की परिभाषा के बारे में सोचते हैं, तो आपको दो पासा की कल्पना करनी होगी जो किसी तरह एक साथ चिपके होते हैं। यह दो पासा से बहुत अलग है जो स्वतंत्र रूप से कार्य कर सकता है और एक दूसरे को प्रभावित किए बिना समान संभावना के साथ प्रत्येक तरफ अकेले लैंडिंग कर सकता है।१ ६ $2$$1$$6$$21$

सब ने कहा, एक की जरूरत है टिप्पणी करने के लिए कि इस तरह के मॉडल हैं संभव है, लेकिन पासा जैसी चीजों के लिए नहीं। उदाहरण के लिए, आनुभविक अवलोकनों के आधार पर कण भौतिकी में यह दिखाई दिया कि गैर-अलग-अलग कणों के बोस-आइंस्टीन सांख्यिकीय ( सितारों और सलाखों की समस्या भी) अंतर-कण मॉडल की तुलना में अधिक उपयुक्त है। आप पीटर व्हेल्ट द्वारा एक्सपेक्टेशन के माध्यम से प्रोबेबिलिटी या प्रोबेबिलिटी में उन मॉडलों के बारे में कुछ टिप्पणी पा सकते हैं , या विलियम फेलर द्वारा प्रायिकता सिद्धांत और उसके अनुप्रयोगों के एक परिचय की मात्रा में ।

Comments

मैंने इसे सर्वश्रेष्ठ उत्तर के रूप में क्यों चुना? जैसा कि मैंने ऊपर कहा था, सभी उत्तर बहुत जानकारीपूर्ण थे (समय में निवेश करने वाले हर व्यक्ति के लिए फिर से धन्यवाद, मैं वास्तव में इसका अनुमोदन करता हूं!) और मुझे यह भी दिखाया कि जब तक मैं खुद को पासा के बीच अंतर करने में सक्षम होने के लिए यह आवश्यक नहीं है पासा वास्तव में प्रतिष्ठित किया जा सकता है। लेकिन जैसे ही वे निष्पक्ष रूप से प्रतिष्ठित हो सकते हैं मेरे लिए यह स्पष्ट था कि दूसरे परिदृश्य में होने वाली घटनाएं समान रूप से संभावित नहीं हैं, इसलिए मेरे लिए बोस-आइंस्टीन-मॉडल वही था जो मैं देख रहा था।

— एल्म

Answer 2

मुझे लगता है कि आप इस तथ्य को नजरअंदाज कर रहे हैं कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि "हम" पासा को अलग कर सकते हैं या नहीं, बल्कि यह मायने रखता है कि पासा अद्वितीय और विशिष्ट हैं, और अपने हिसाब से काम करते हैं।

इसलिए यदि बंद बॉक्स परिदृश्य में, आप बॉक्स को खोलते हैं और 1 और 2 देखते हैं, तो आप नहीं जानते कि यह या , क्योंकि आप पासा को अलग नहीं कर सकते। हालाँकि, दोनों और आपको एक ही दृश्य दिखाई देते हैं, अर्थात् 1 और 2। तो उस दृश्य के पक्ष में दो परिणाम हैं। इसी तरह प्रत्येक गैर-समान जोड़ी के लिए, प्रत्येक दृश्य के पक्ष में दो परिणाम हैं, और इस प्रकार 36 संभावित परिणाम हैं।( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

गणितीय रूप से, किसी घटना की संभावना के लिए सूत्र

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

हालाँकि, यह सूत्र केवल तभी लागू होता है जब प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभव हो । पहली तालिका में, उनमें से प्रत्येक जोड़ी समान रूप से संभावित है, इसलिए सूत्र धारण करता है। आपकी दूसरी तालिका में, प्रत्येक परिणाम समान रूप से होने की संभावना नहीं है, इसलिए सूत्र काम नहीं करता है। जिस तरह से आप अपनी तालिका का उपयोग करके उत्तर पाते हैं वह है

1 और 2 की संभावना = संभावना + की संभावना = ।( २ , १ ) $(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

इसके बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि यह प्रयोग प्रत्येक डाई को अलग-अलग रोल करने के समान है, जहां आप डाई 1 और डाई 2 को स्पॉट कर सकते हैं। इस प्रकार परिणाम और उनकी संभावनाएं बंद बॉक्स प्रयोग के साथ मेल खाएंगी।

Answer 3

आइए कल्पना करें कि पहले परिदृश्य में एक रेड डाई और एक ब्लू डाई को रोल करना शामिल है, जबकि दूसरे में आपको व्हाइट डाइस की एक जोड़ी रोल करना शामिल है।

6) \\ \ hline \ end {सरणी} हमारे आदर्शित पासा निष्पक्ष हैं (प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावना है) और आपने प्रत्येक परिणाम सूचीबद्ध किया है। इसके आधार पर, आप सही ढंग से निष्कर्ष निकालते हैं कि एक और दो संभावना के साथ होता है

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$ , याअब तक सब ठीक है।$\frac{1}{18}.$

इसके बाद, मान लीजिए कि आप इसके बजाय दो समान पासा रोल करते हैं। आपने सभी संभावित परिणामों को सही ढंग से सूचीबद्ध किया है, लेकिन आपने इन सभी परिणामों को गलत माना है। विशेष रूप से, परिणाम अन्य परिणामों की अपेक्षा आधे हैं। इस वजह से, आप परिणामों की कुल संख्या पर वांछित परिणामों के # जोड़कर संभावना की गणना नहीं कर सकते हैं। इसके बजाय, आपको इसके होने की संभावना से प्रत्येक परिणाम का वजन करने की आवश्यकता है। यदि आप गणित के माध्यम से भागते हैं, तो आप पाएंगे कि यह समान है - 15 डबल-संभावित घटनाओं और 6 सिंगलटन घटनाओं में से एक अंश में एक दोगुनी संभावना वाली घटना।$(n,n)$

अगला सवाल यह है कि "मुझे कैसे पता चलेगा कि घटनाएँ समान रूप से संभव नहीं हैं?" इस बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि यदि आप दो पासा को अलग कर सकते हैं तो क्या होगा । शायद आप प्रत्येक मरने पर एक छोटा सा निशान लगाते हैं। यह परिणाम नहीं बदल सकता है, लेकिन यह पिछले एक समस्या को कम करता है। वैकल्पिक रूप से, मान लें कि आप चार्ट को बाहर लिखते हैं ताकि ब्लू / रेड के बजाय यह लेफ्ट डाई / राइट डाई पढ़े।

एक और अभ्यास के रूप में, एक आदेशित परिणाम (लाल = 1, नीला = 2) देखने के बीच के अंतर के बारे में सोचें। एक अनियंत्रित एक (एक मरने वाला 1, एक मरने वाला 2 दिखा रहा है)।

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इस। पासा को भेद करने में सक्षम होने के कारण परिणाम नहीं बदलता है। पर्यवेक्षक परिणाम पर कार्रवाई नहीं कर सकता। (जब तक जादू?) यदि आप लाल और नीले रंग में अंतर कर सकते हैं तो पासा परवाह नहीं करता है।

— njzk2

"आपने गलत तरीके से इन सभी परिणामों को समान रूप से माना है" मुझे लगता है कि यह महत्वपूर्ण हिस्सा है और मूल प्रश्न का सबसे सीधा जवाब है।

— गिडमिनस

Answer 4

मुख्य विचार यह है कि यदि आप दो अलग-अलग पासा के 36 संभावित परिणामों को सूचीबद्ध करते हैं, तो आप समान रूप से संभावित परिणामों को सूचीबद्ध कर रहे हैं। यह स्पष्ट या स्वयंसिद्ध नहीं है; यह तभी सही है जब आपका पासा निष्पक्ष हो और किसी तरह जुड़ा न हो। यदि आप अविभाज्य पासा के परिणामों को सूचीबद्ध करते हैं, तो वे समान रूप से संभावित नहीं हैं, क्योंकि उन्हें क्यों होना चाहिए, परिणामों में से कोई भी "लॉटरी जीतना" और "लॉटरी नहीं जीतना" समान रूप से संभावित हैं।

निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए, आपको चाहिए:

• हम निष्पक्ष पासा के साथ काम कर रहे हैं, जिसके लिए सभी छह नंबर समान रूप से संभावित हैं।
• दो पासे स्वतंत्र होते हैं, ताकि मरने वाले नंबर दो की एक विशेष संख्या प्राप्त करने की संभावना हमेशा इस बात से स्वतंत्र होती है कि नंबर नंबर किसने दिया। (कल्पना करें कि एक ही तरह की चिपचिपी सतह पर एक ही बार दो बार मर जाने से दूसरा रोल अलग हो जाता है।)

स्थिति के बारे में उन दो तथ्यों को देखते हुए संभावना के नियमों आपको बता दूँ कि किसी भी जोड़ी को प्राप्त करने की संभावना को प्राप्त करने की संभावना है है कि प्राप्त करने के पहले मर जाते हैं समय पर दूसरे पर। यदि आप और एक साथ लम्पिंग करना शुरू करते हैं, तो आपके पास किसी भी अधिक मदद करने के लिए घटनाओं की सरल स्वतंत्रता नहीं है, इसलिए आप बस संभावनाओं को गुणा नहीं कर सकते हैं। इसके बजाय, आपने पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाओं का संग्रह बनाया है (यदि ), तो आप अलग-अलग होने पर और प्राप्त करने की संभावनाओं को सुरक्षित रूप से जोड़ सकते हैं।$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

विचार है कि आप सिर्फ संभावनाओं की गणना करके संभावनाएं प्राप्त कर सकते हैं, समान संभावना और स्वतंत्रता की मान्यताओं पर निर्भर करता है। इन मान्यताओं को वास्तविकता में शायद ही कभी सत्यापित किया जाता है लेकिन लगभग हमेशा कक्षा की समस्याओं में।

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हमारी साइट पर आपका स्वागत है! आप इसके चारों ओर डॉलर के चिन्ह लगाकर गणित के लिए लेटेक्स फॉर्मेटिंग का उपयोग कर सकते हैं, उदाहरण के लिए$a^x$$a^x$

— सिल्वरफ़िश जूल

Answer 5

यदि आप इसे सिक्कों के संदर्भ में अनुवाद करते हैं - कहते हैं, दो अप्रभेद्य पेनीज़ को फ़्लिप करना - यह केवल तीन परिणामों का प्रश्न बन जाता है: प्रत्येक के 2 सिर, 2 पूंछ, 1, और समस्या को हल करना आसान है। एक ही तर्क लागू होता है, और हम देखते हैं कि प्रत्येक के 1 प्राप्त करने की संभावना 2 सिर या 2 पूंछ प्राप्त करने की तुलना में अधिक है।

यह आपकी दूसरी तालिका का फिसलन है - यह सभी संभावित परिणामों का प्रतिनिधित्व करता है, भले ही वे सभी समान रूप से भारित संभावनाएं नहीं हैं , जैसा कि पहली तालिका में है। यह परिभाषित करने की कोशिश की जाएगी कि दूसरी तालिका में प्रत्येक पंक्ति और कॉलम का क्या अर्थ है - वे केवल संयुक्त तालिका में सार्थक हैं जहां प्रत्येक परिणाम में 1 बॉक्स है, संभावना की परवाह किए बिना, जबकि पहली तालिका "सभी" प्रदर्शित करती है समान रूप से मरने की संभावना 1, प्रत्येक की अपनी पंक्ति है, "और इसी तरह कॉलम और मर 2 के लिए।

Answer 6

आइए धारणा को बताते हुए शुरू करें: अविभाज्य पासा केवल 21 संभावित परिणामों को रोल करता है, जबकि भेद योग्य पासा 36 संभावित परिणामों को रोल करता है।

अंतर का परीक्षण करने के लिए, समान सफेद पासा की एक जोड़ी प्राप्त करें। सनस्क्रीन जैसी यूवी-अवशोषित सामग्री में कोट एक, जो नग्न आंखों के लिए अदृश्य है। पासा अभी भी अप्रभेद्य दिखाई देता है जब तक कि आप उन्हें एक काले रंग की रोशनी के नीचे नहीं देखते हैं, जब लेपित मरता हुआ काला दिखाई देता है जबकि स्वच्छ मरता है।

एक बॉक्स में पासा की जोड़ी को मिलाएं और इसे हिलाएं। जब आप बॉक्स खोलते हैं तो आपको 2 और 1 प्राप्त होने वाली ऑड्स क्या हैं? सहज रूप से आप सोच सकते हैं "रोलिंग ए 1 एंड ए 2" 21 संभावित परिणामों में से सिर्फ 1 है क्योंकि आप पासा अलग नहीं बता सकते। लेकिन अगर आप ब्लैक लाइट के नीचे बॉक्स खोलते हैं, तो आप उन्हें अलग से बता सकते हैं। जब आप पासा को अलग बता सकते हैं, तो "1 और 2 को रोल करना" 36 संभावित संयोजनों में से 2 है।

क्या इसका मतलब यह है कि एक काली रोशनी में एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने की संभावना को बदलने की शक्ति है, भले ही पासा केवल प्रकाश के संपर्क में हो और उनके लुढ़कने के बाद देखा गया हो? बिलकूल नही। बॉक्स को हिलाना बंद करने के बाद पासा कुछ नहीं बदलता। किसी दिए गए परिणाम की संभावना नहीं बदल सकती है।

चूंकि मूल धारणा एक ऐसे बदलाव पर निर्भर करती है जो अस्तित्व में नहीं है, इसलिए यह निष्कर्ष निकालना उचित है कि मूल धारणा गलत थी। लेकिन मूल धारणा के बारे में क्या गलत है - कि अविभाज्य पासा केवल 21 संभावित परिणामों को रोल करता है, या कि अलग-अलग पासा 36 संभावित परिणामों को रोल करता है?

स्पष्ट रूप से काले प्रकाश प्रयोग ने प्रदर्शित किया कि अवलोकन का संभाव्यता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है (कम से कम इस पैमाने पर - क्वांटम संभावना एक अलग मामला है) या वस्तुओं की विशिष्टता। शब्द "अप्रभेद्य" केवल कुछ का वर्णन करता है जो अवलोकन कुछ और से अलग नहीं कर सकता है। दूसरे शब्दों में, यह तथ्य कि पासा कुछ परिस्थितियों में एक ही दिखाई देता है (यानी कि वे एक काले प्रकाश के अधीन नहीं हैं) और दूसरों को इस तथ्य पर कोई सहन नहीं है कि वे वास्तव में दो अलग-अलग वस्तुएं हैं। यह सच होगा, भले ही जिन परिस्थितियों में आप उनके बीच अंतर करने में सक्षम हों, वे कभी खोजे नहीं जाते।

संक्षेप में: किसी विशेष परिणाम की संभावना का विश्लेषण करते समय लुढ़का जा रहा है के बीच भेद करने की आपकी क्षमता अप्रासंगिक है। प्रत्येक मृत्यु स्वाभाविक रूप से अलग है। सभी परिणाम इस तथ्य पर आधारित हैं, न कि किसी पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण पर।

Answer 7

हम यह अनुमान लगा सकते हैं कि आपकी दूसरी तालिका परिदृश्य का सही प्रतिनिधित्व नहीं करती है।

आपने विकर्ण के नीचे और बाएं सभी कोशिकाओं को समाप्त कर दिया है, इस आधार पर माना जाता है कि (1, 2) और (2, 1) बधाई हैं और इसलिए निरर्थक परिणाम हैं।

इसके बजाय मान लीजिए कि आप एक पंक्ति में दो बार मरते हैं। क्या 1-तब -2 को 2-तब -1 के समान परिणाम के रूप में गिनना मान्य है? स्पष्ट रूप से नहीं। भले ही दूसरा रोल परिणाम पहले पर निर्भर नहीं करता है , फिर भी वे अलग-अलग परिणाम हैं। आप डुप्लिकेट के रूप में पुनर्व्यवस्था को समाप्त नहीं कर सकते। अब, एक बार में दो पासे को लुढ़कना इस उद्देश्य के लिए एक ही है क्योंकि एक पंक्ति में दो बार मरना। इसलिए आप पुनर्व्यवस्था को समाप्त नहीं कर सकते।

(अभी भी आश्वस्त नहीं हैं? यहां एक प्रकार की उपमा है। आप अपने घर से पहाड़ की चोटी तक चलते हैं। कल आप वापस चलते हैं। क्या दोनों दिनों के समय में कोई बिंदु था जब आप एक ही स्थान पर थे? शायद अब कल्पना करें। आप अपने घर से पहाड़ की चोटी तक चलते हैं, और उसी दिन कोई दूसरा व्यक्ति पहाड़ की चोटी से आपके घर तक जाता है। क्या उस दिन कोई समय होता है जब आप मिलते हैं? जाहिर है हाँ। वे एक ही सवाल हैं। असंगठित घटनाओं के समय में उन घटनाओं से होने वाली कटौती को नहीं बदला जा सकता है।)

Answer 8

$1$$2$

यदि हम जानते हैं कि दो पासे निष्पक्ष हैं और उन्हें लुढ़का दिया गया है, तो संभावना 1/18 है, जैसा कि अन्य सभी उत्तर ने समझाया है। तथ्य यह है कि हम नहीं जानते हैं कि 1 ओ के साथ मरने के साथ 2 मर गया था पहले लुढ़का नहीं है, क्योंकि हम दोनों तरीकों के लिए खाते चाहिए - और इसलिए 1/36 के बजाय संभावना 1/18 है।

लेकिन अगर हमें पता नहीं है कि किस प्रक्रिया के कारण 1-2 संयोजन हो सकते हैं, तो हम संभावना के बारे में कुछ भी नहीं जान सकते हैं। हो सकता है कि जिस व्यक्ति ने हमें बॉक्स सौंपा था, उसने जानबूझकर इस संयोजन को चुना और बॉक्स को चिपकाया गया (संभावना = 1), या हो सकता है कि उसने बॉक्स को पासा घुमाते हुए हिलाया (संभावना = 1/18) या उसने यादृच्छिक रूप से चुना हो सकता है तालिका में 21 संयोजनों से संयोजन आपने हमें प्रश्न में दिया, और इसलिए प्रायिकता = 1/21।

संक्षेप में, हम संभाव्यता को जानते हैं क्योंकि हम जानते हैं कि अंतिम स्थिति के लिए क्या प्रक्रिया होती है, और हम प्रत्येक चरण के लिए संभाव्यता की गणना कर सकते हैं (प्रत्येक पासा के लिए संभावना)। यह प्रक्रिया मायने रखती है, भले ही हमने इसे जगह न लेते हुए देखा हो।

उत्तर समाप्त करने के लिए, मैं कुछ उदाहरण दूंगा जहां प्रक्रिया बहुत मायने रखती है:

• हमने दस के सिक्के पलटे। दस बार सभी के सिर होने की संभावना क्या है? आप देख सकते हैं कि प्रायिकता (1/1024) 10 प्राप्त करने की संभावना से बहुत छोटी है यदि हम सिर्फ 0 और 10 (1/11) के बीच एक यादृच्छिक संख्या चुनते हैं।
• यदि आपने इस समस्या का आनंद लिया है, तो आप मोंटी हॉल समस्या के साथ प्रयास कर सकते हैं । यह एक ऐसी ही समस्या है जहाँ प्रक्रिया हमारे अंतर्ज्ञान की अपेक्षा से बहुत अधिक मायने रखती है।

Answer 9

घटना ए और बी की संभावना दोनों संभावनाओं को गुणा करके गणना की जाती है।

1 को रोल करने की संभावना जब छह संभावित विकल्प होते हैं तो 1/6 होता है। जब संभव छह होते हैं तो 2 को रोल करने की संभावना 1/6 होती है।

1/6 * 1/6 = 1/36।

हालांकि, घटना समय पर आकस्मिक नहीं है (दूसरे शब्दों में, यह आवश्यक नहीं है कि हम 1 को 2 से पहले रोल करें; केवल यह कि हम 1 और 2 को दो रोल में रोल करें)।

इस प्रकार, मैं 1 और फिर 2 को रोल कर सकता था और 1 और 2 दोनों को रोल करने की स्थिति को संतुष्ट कर सकता था, या मैं 2 और फिर 1 को रोल कर सकता था और 1 और 2 दोनों को रोल करने की शर्त को संतुष्ट कर सकता था।

2 और फिर 1 को रोल करने की संभावना की एक ही गणना है:

1/6 * 1/6 = 1/36।

A या B दोनों में से प्रायिकता का योग है। तो मान लीजिये कि घटना A 1 रोल 2 कर रही है, और इवेंट B 2 रोल कर रहा है तो 1।

घटना ए की संभावना: 1/36 घटना बी की संभावना: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36 जो घटकर 1/18 हो जाता है।