संयमित प्रतिगमन: हम भविष्यवक्ताओं के बीच एक * उत्पाद * शब्द की गणना क्यों करते हैं?

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दो या दो से अधिक भविष्यवाणियों / सहसंयोजकों के बीच बातचीत का आकलन करने के लिए सामाजिक विज्ञान में मॉडरेट रिग्रेशन विश्लेषण का उपयोग अक्सर किया जाता है।

आमतौर पर, दो भविष्यवक्ता चर के साथ, निम्नलिखित मॉडल लागू किया जाता है:

$Y = β_0 + β_1*X + β_2*M + β_3*XM + e$

ध्यान दें कि मॉडरेशन का परीक्षण उत्पाद शब्द $XM$ (स्वतंत्र चर $X$ और मॉडरेटर चर बीच गुणा) द्वारा संचालित होता है $M$ । मेरा बहुत ही मौलिक प्रश्न है: हम वास्तव में $X$ और बीच एक उत्पाद शब्द की गणना क्यों करते हैं $M$ ? क्यों नहीं, उदाहरण के लिए, पूर्ण अंतर $|M-X|$ या सिर्फ का योग $X + M$ ?

दिलचस्प बात यह है कि केनी इस मुद्दे पर http://davidakenny.net/cm/moderation.htm को यह कहते हुए टालते हैं : "जैसा कि देखा जाएगा, मॉडरेशन का परीक्षण हमेशा उत्पाद शब्द एक्सएम द्वारा संचालित नहीं होता है" लेकिन आगे कोई स्पष्टीकरण नहीं दिया गया है । एक औपचारिक चित्रण या प्रमाण ज्ञानवर्धक होगा, मैं अनुमान / आशा करता हूं।

regression interaction

— भाजक
स्रोत

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एक "मॉडरेटर" खिलाफ के प्रतिगमन गुणांक को प्रभावित करता है : वे मॉडरेटर के मूल्यों के रूप में बदल सकते हैं। इस प्रकार, पूर्ण सामान्यता में, मॉडरेशन का सरल प्रतिगमन मॉडल है $Y$ $X$

E (Y) = α (M) + β (M) X

$\mathbb{E}(Y) = \alpha(M) + \beta(M)X$

जहां और हैं कार्यों मॉडरेटर के स्थिरांक के बजाय के मूल्यों से प्रभावित हुए बिना । $\alpha$ $\beta$ $M$ $M$

एक ही भावना है, जिसमें प्रतिगमन एक पर आधारित है में रैखिक सन्निकटन के बीच संबंधों के और , हम आशा कर सकते हैं कि दोनों और कर रहे हैं - लगभग कम से कम - के रैखिक कार्यों के मानों की श्रेणी में डेटा में: $X$ $Y$ $\alpha$ $\beta$ $M$ $M$

\begin{aligned} E (Y) & = α_{0} + α_{1} M + O (M^{2}) + (β_{0} + β_{1} M + O (M^{2})) X \\ = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X + O (M^{2}) + O (M^{2}) X . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(Y) &= \alpha_0 + \alpha_1 M + O(M^2) + (\beta_0 + \beta_1 M + O(M^2))X \\ &= \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX + O(M^2) + O(M^2)X. }$

नॉनलाइनर ("बिग-ओ") शब्दों को छोड़ना, इस आशा में कि वे पदार्थ से बहुत छोटे हैं, गुणक (बिलिनियर) इंटरैक्शन मॉडल देता है

\begin{matrix} (1) & E (Y) = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X . \end{matrix}

$\mathbb{E}(Y) = \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX.\tag{1}$

यह व्युत्पत्ति गुणांक के एक दिलचस्प व्याख्या का सुझाव देती है: वह दर है जिस पर अवरोधन बदलता है जबकि वह दर है जिस पर ढलान को बदलता है । ( और ढलान और अवरोधन है जब (औपचारिक रूप से) शून्य पर सेट होता है।) "उत्पाद शब्द" का गुणांक है । यह इस तरह से प्रश्न का उत्तर देता है: $\alpha_1$ $M$ $\beta_1$ $M$ $\alpha_0$ $\beta_0$ $M$ $\beta_1$ $MX$

जब हम मध्यस्थ वसीयत (लगभग, औसतन) बनाम के ढलान के साथ एक रैखिक संबंध रखते हैं, तो हम एक उत्पाद शब्द साथ मॉडरेशन करते हैं । $MX$ $M$ $Y$ $X$

दिलचस्पी की बात यह है कि यह व्युत्पत्ति मॉडल के एक प्राकृतिक विस्तार की ओर इशारा करती है, जो फिट की अच्छाई की जांच करने के तरीके सुझा सकती है। यदि आप -you में ग़ैर-मौजूदता से चिंतित नहीं हैं तो या तो जान लें या मान लें कि मॉडल सटीक है - फिर आप उन शर्तों को समायोजित करने के लिए मॉडल का विस्तार करना चाहते हैं जिन्हें गिरा दिया गया था: $X$ $(1)$

E (Y) = α_{0} + β_{0} X + α_{1} M + β_{1} M X + α_{2} M^{2} + β_{2} M^{2} X .

$\mathbb{E}(Y) = \alpha_0 + \beta_0 X + \alpha_1 M + \beta_1 MX + \alpha_2M^2 + \beta_2 M^2X.$

परिकल्पना का परीक्षण करना फिट होने की अच्छाई का मूल्यांकन करता है। अनुमान और संकेत कर सकते हैं कि किस तरह से मॉडल को विस्तारित करने की आवश्यकता हो सकती है: में nonlinearity को शामिल करने के लिए (जब ) या अधिक जटिल संबंध (जब ) या संभवतः दोनों। (ध्यान दें कि यह परीक्षण एक जेनेरिक फ़ंक्शन शक्ति श्रृंखला विस्तार द्वारा सुझाया नहीं जाएगा ।) $\alpha_2=\beta_2=0$ $\alpha_2$ $\beta_2$ $(1)$ $M$ $\alpha_2 \ne 0$ $\beta_2 \ne 0$ $f(X,M)$

अंत में, यदि आपको पता चलता है कि इंटरैक्शन गुणांक शून्य से काफी अलग नहीं था, लेकिन यह कि फिट (जैसा कि महत्वपूर्ण मूल्य से ), तो आप निष्कर्ष कि (a) मॉडरेशन है लेकिन ( बी) यह शब्द द्वारा निर्मित नहीं है , बल्कि इसके बजाय कुछ उच्च-क्रम की शर्तों के साथ । यह उस तरह की घटना हो सकती है, जिस पर केनी जिक्र कर रहे थे। $\beta_1$ $\beta_2$ $MX$ $M^2X$

— व्हीबर
स्रोत

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यदि आप अपने इंटरैक्शन को मॉडल बनाने के लिए भविष्यवाणियों के योग का उपयोग करते हैं, तो आपका समीकरण होगा:

\begin{array}{rcl} Y & = & β_{0} + β_{1} X + β_{2} M + β_{3} (X + M) + e \\ = & β_{0} + β_{1} X + β_{2} M + β_{3} X + β_{3} M + e \\ = & β_{0} + (β_{1} + β_{3}) X + (β_{2} + β_{3}) M + e \\ = & β_{0} + β_{1}^{'} X + β_{2}^{'} M + e \end{array}

$\begin{eqnarray} Y &=& \beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3(X + M) + e\\ &=& \beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3X + \beta_3M + e\\ &=& \beta_0 + (\beta_1 + \beta_3)X + (\beta_2 + \beta_3)M + e \\ &=& \beta_0 + \beta_1'X + \beta_2'M + e \end{eqnarray}$

जहाँ और । इसलिए, आपके मॉडल में कोई इंटरैक्शन नहीं होगा। स्पष्ट रूप से, उत्पाद के मामले में ऐसा नहीं है। $\beta_1'=\beta_1+\beta_3$ $\beta_2'=\beta_2+\beta_3$

निरपेक्ष मान की परिभाषा याद करें:

| X - M | = {\begin{cases} X - M, & X \geq M \\ M - X, & X < M \end{cases}

$|X-M| = \begin{cases} X-M, & X \geq M\\ M-X, & X < M \end{cases}$

हालाँकि आप मॉडल को कम कर सकते हैं का उपयोग करते हुए केवल और शब्दों के साथ एक को । कीनिरपेक्ष मूल्य "मॉडरेशन का एक विशेष रूप है जो कई स्थितियों में यथार्थवादी होने की संभावना नहीं है", जैसा कि नीचे टिप्पणी में बताया गया है। $\beta_0 + \beta_1X + \beta_2M + \beta_3|X-M| + e$ $X$ $M$ $|X-M|$

— मिलोस
स्रोत

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वास्तव में, एकपद एक प्रकार से मॉडरेशन का एक रूप है: का मूल्य बदल । यह, हालांकि, मॉडरेशन का एक सीमित, विशेष रूप है जो कई स्थितियों में यथार्थवादी होने की संभावना नहीं है। यह कहना सही नहीं है कि ऐसे मॉडल का "केवल मुख्य प्रभाव है।"

| X - M |

$|X-M|$

M

$M$

β_{2}

$\beta_2$

— whuber

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हां, आप सही हैं;मॉडरेशन का एक रूप है, मैं परिवर्तन से दूर हो गया और तदनुसार उत्तर को संपादित करूंगा। इस पर ध्यान दिलाने के लिए धन्यवाद।

| X - M |

$|X-M|$

— मिलोस

@Milos: भविष्यवाणियों के योग के बारे में आपका उदाहरण एक आंख खोलने वाला था, कुछ हद तक शर्मनाक, मुझे कहना होगा क्योंकि मुझे पहले ही गणितीय निहितार्थों का एहसास होना चाहिए;) whuber: जहां तक मैं इसे समझता हूं, पूर्ण मूल्य केवल उपयोगी है; जब दोनों भविष्यवक्ता चर एक ही इकाइयों में मापे जाते हैं (जैसे दो मीट्रिक परीक्षण, एक ही मीट्रिक का उपयोग करके, जैसे कि जेड-स्कोर या टी-स्कोर)। एक्स और एम के बीच पूर्ण अंतर एक उपयोगी मीट्रिक है, हालांकि एकमात्र संभव नहीं है (यानी prodcut शब्द का भी इस्तेमाल किया जा सकता है)।

— भाजक

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आपको गुणक मॉडरेटर का उपयोग करने के लिए एक औपचारिक प्रमाण नहीं मिलेगा। आप अन्य तरीकों से इस दृष्टिकोण का समर्थन कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन के टेलर-मैकलॉरिन विस्तार को देखें : $f(X,M)$

f (X, M) = f (0, 0) + \frac{\partial f (0, 0)}{\partial T} T + \frac{\partial f (0, 0)}{\partial M} M + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{\partial T \partial M} T M + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{2 \partial T^{2}} T^{2} + \frac{\partial^{2} f (0, 0)}{2 \partial M^{2}} M^{2} \dots

$f(X,M)=f(0,0)+\frac{\partial f(0,0)}{\partial T} T+\frac{\partial f(0,0)}{\partial M} M+\frac{\partial^2 f(0,0)}{\partial T\partial M} TM +\frac{\partial^2 f(0,0)}{2\partial T^2} T^2 +\frac{\partial^2 f(0,0)}{2\partial M^2} M^2\dots$

यदि आप इस फॉर्म को टेलर समीकरण में करते हैं, तो आपको यह मिलता है: $f(X,M)=\beta_0+\beta_XX+\beta_MM+\beta_{XM}XM$

f (X, M) = β_{0} + β_{X} X + β_{M} M + β_{X M} X M

$f(X,M)=\beta_0+\beta_XX +\beta_MM +\beta_{XM}XM$

तो, यहाँ तर्क यह है कि मॉडरेशन का यह विशेष गुणात्मक रूप मूल रूप से जेनेरिक मॉडरेशन रिलेशनशिप एक दूसरा क्रम टेलर सन्निकटन है। $f(X,M)$

UPDATE: यदि आप द्विघात शब्दों को शामिल करते हैं, जैसा कि @whuber ने सुझाव दिया है तो यह होगा: इसे टेलर में प्लग करें:

g (X, M) = b_{0} + b_{X} X + b_{M} M + b_{X M} X M + b_{X 2} X^{2} + b_{M 2} M^{2}

$g(X,M)=b_0+b_XX +b_MM +b_{XM}XM+b_{X2}X^2 +b_{M2}M^2$

g (X, M) = b_{0} + b_{X} X + b_{M} M + b_{X M} X M + b_{X 2} X^{2} + b_{M 2} M^{2}

$g(X,M)=b_0+b_XX +b_MM +b_{XM}XM +b_{X2}X^2 +b_{M2}M^2$

इससे पता चलता है कि द्विघात शब्दों के साथ हमारा नया मॉडल मूल मॉडरेशन मॉडल विपरीत एक पूर्ण दूसरे क्रम टेलर सन्निकटन से मेल खाता है । $g(X,M)$ $f(X,M)$

— Aksakal
स्रोत

चूंकि आपके तर्क का आधार टेलर विस्तार है, इसलिए आपने अन्य दो द्विघात नियम और भी शामिल क्यों नहीं किया ? सच है, वे मॉडरेशन के रूप नहीं हैं, लेकिन मॉडल में उनका समावेश आमतौर पर को प्रभावित करेगा ।

X^{2}

$X^2$

M^{2}

$M^2$ $\beta_{XM}$

— whuber

@whuber, मैंने पोस्ट को छोटा रखने का फैसला किया - यही मुख्य कारण है। अन्यथा, मैंने अपनी वरीयता के बारे में लिखना शुरू कर दिया जब भी आपके पास एक क्रॉस टर्म है, तब दूसरे ऑर्डर की शर्तें शामिल करने के लिए।

— अक्कल