बिजली कानून वितरण के पीछे अंतर्ज्ञान

Question

मुझे पता है कि एक पावर लॉ डिस्ट्रीब्यूशन का pdf

$$p(x) = \frac{\alpha-1}{x_{\text{min}}} \left(\frac{x}{x_{\text{min}}} \right)^{-\alpha}$$

लेकिन इसका सहज रूप से क्या मतलब है, उदाहरण के लिए, शेयर की कीमतें एक बिजली कानून वितरण का पालन करती हैं? क्या इसका मतलब यह है कि नुकसान बहुत अधिक हो सकता है, लेकिन अनर्थक?

Answer 1

के बाद से CDF है यह एक भारी पूंछ वितरण है तो संभावना को पार करने के एक्स , (एक्स / x_ \ मिनट) ^ {1- \ अल्फा} मनमाने ढंग से बंद करने के बनाया जा सकता है 1 की उचित विकल्प द्वारा \ अल्फा । उदाहरण के लिए, अगर एक चाहता है से अधिक होने की संभावना 10 ^ यू x_ \ मिनट के लिए कम से कम हो सकता है 0.9 , कोई एक चुनना चाहिए \ अल्फा ज्यादा से ज्यादा होने के लिए 1- \ log_ {10} (0.9) / u एक वक्र के साथ नीचे का प्रतिनिधित्व किया, पहली धुरी को u द्वारा नहीं, 10 ^ u x_ \ min द्वारा बढ़ाया जा रहा है ... x(x/xमिनट)1-α1α10यूxमिनट0.9

$$F(x) = 1 - \left( \dfrac{x}{x_\min} \right)^{1-\alpha}$$ $x$$(x/x_\min)^{1-\alpha}$$1$$\alpha$$10^u x_\min$$0.9$$\alpha$ $$1-\log_{10}(0.9)/u$$ $u$$10^u x_\min$

Answer 2

यह एक सहकर्मी की समीक्षा करने वाला स्रोत नहीं है, लेकिन मुझे यह नोट सीएमयू स्टैट्स प्रोफेसर कोस्मा शालिज़ी द्वारा पसंद आया है । वह इस लेख के लेखक भी हैं, डेटा से ऐसी चीजों का अनुमान लगाने के बारे में।

Comments

इसीलिए मैंने अपना प्रश्न पूछा। मैंने वह लेख पहले ही पढ़ लिया था। समीकरणों के बिना, किसी बिजली कानून वितरण का पालन करने के लिए इसका क्या मतलब है?

— थॉमस जेम्स

साइट पर आपका स्वागत है, थॉमस! आप शुरू में अपनी रुचि के बारे में कुछ संकेत देने के लिए अपने प्रश्न के संपादन पर विचार कर सकते हैं। आम तौर पर, अधिक जानकारी, बेहतर। उदाहरण के लिए, यह बताते हुए कि आपने प्रो। शालिज़ी के नोट को पढ़ा होगा और इसने आपको एक्स के बारे में आश्चर्यचकित कर दिया, न केवल ऐसे उत्तर दिखाएगा जो सटीक सुझाव देगा, बल्कि यह आपके विचारों की ट्रेन को और अधिक स्पष्ट रूप से दिखाता है, जो बेहतर उत्तरों को प्राप्त करता है। :) (उदाहरण के लिए, क्या आपने इंटरनेट मैथेमेटिक्स में M. Mitzenmacher का रिव्यू आर्टिकल पढ़ा है ?)

— कार्डिनल

Answer 3

अर्थशास्त्र और वित्त में पेपर पावर कानून शक्ति कानूनों के बारे में अंतर्ज्ञान प्राप्त करने में मदद कर सकते हैं। ज़ेवियर गैबिक्स कहता है कि शक्ति कानून (पीएल) अर्थशास्त्र और वित्त में बड़ी संख्या में आश्चर्यजनक अनुभवजन्य नियमितताओं द्वारा लिया गया रूप है। उनकी समीक्षा ने आय और धन, शहरों और फर्मों के आकार, स्टॉक मार्केट रिटर्न, ट्रेडिंग वॉल्यूम, अंतर्राष्ट्रीय व्यापार और कार्यकारी वेतन के संबंध में अच्छी तरह से प्रलेखित पीएल का सर्वेक्षण किया।

पारेटो वितरण के लिए अंतर्ज्ञान

पेरेटो (विकिपीडिया) ने मूल रूप से व्यक्तियों के बीच धन के आवंटन का वर्णन किया: किसी भी समाज के धन का एक बड़ा हिस्सा कुछ प्रतिशत लोगों के पास होता है। उनके विचार ने पेरेटो सिद्धांत या "80-20 नियम" के रूप में अधिक व्यक्त किया, जो कहता है कि 20% जनसंख्या 80% धन को नियंत्रित करती है।

आय और धन वितरण की सही पूंछ अक्सर परेतो की तरह होती है

यदि आय वितरण परेटो है, तो कोई शीर्ष 1%, या शीर्ष 10% की हिस्सेदारी के लिए सरल अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकता है। तब कुल आय का शीर्ष qth प्रतिशत हिस्सा इस प्रकार निकाला जा सकता है:

$$\left(\frac{q}{100}\right)^{\frac{\alpha-1}{\alpha}},$$

जहाँ आकार पैरामीटर है। इस अभिव्यक्ति का अर्थ है कि एक निचला पारेतो वितरण की एक मोटी पूंछ से मेल खाता है और इस प्रकार वितरण के उच्च प्रतिशत पर व्यक्तियों द्वारा कब्जा की जा रही कुल आय का एक बड़ा हिस्सा है। उदाहरण के लिए, , शीर्ष 1% हिस्सा 10% है, और , यह 4% है।अल्फा अल्फा = 2 अल्फा = $\alpha \geq 1$$\alpha$$\alpha=2$$\alpha=3$

Answer 4

बिजली-कानून वितरण की एक दिलचस्प संपत्ति इसे लॉग-स्केल पर देखने से आती है। अगर हमारे पास तो लघुगणक परिवर्तन । यही है, के मूल्यों में लॉगरिदमिक पैमाने पर एक घातीय वितरण है।$X \sim \text{Power}(x_\min, \alpha)$$Y = \ln(x/x_\min) \sim \text{Exp}(\alpha-1)$$X$

अब, घातांक वितरण की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि इसकी निरंतर खतरे की दर है। पहले सिद्धांतों के माध्यम से लिए खतरे की दर को लिखना (इसकी सीमा के रूप में एक सशर्त घनत्व के रूप में), और इसे संदर्भ में इसे फ्रेम करने के लिए समायोजित करना जो हम प्राप्त करते हैं:$Y$$X$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \alpha -1 = \lambda_Y(y) &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(y \leqslant Y \leqslant y + \epsilon| Y \geqslant y) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{1}{\epsilon} \cdot \mathbb{P}(\ln(x) \leqslant \ln(X) \leqslant \ln(x) + \epsilon| X \geqslant x) \\[6pt] &= \lim_{\epsilon \downarrow 0} \frac{\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant x e^\epsilon | X \geqslant x)}{\epsilon} \\[6pt] &= \lim_{\delta \downarrow 1} \frac{ \mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x)}{\ln \delta}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

हम इस खतरनाक लक्षण वर्णन से देख सकते हैं कि के किसी भी छोटे मान के लिए । ध्यान दें कि यह संभावना कंडीशनिंग वैल्यू पर निर्भर नहीं करती है , जो निरंतर-खतरनाक संपत्ति का परिणाम है। इसलिए, किसी भी कंडीशनिंग मान के लिए , और कोई भी छोटा मान , हमारे पास है:$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx (\alpha-1) \ln \delta$$\ln \delta$$x$$x, x' > x_\min$$\ln \delta$

$$\mathbb{P}(x \leqslant X \leqslant \delta x | X \geqslant x) \approx \mathbb{P}(x' \leqslant X \leqslant \delta x' | X \geqslant x').$$

इसलिए, हम देखते हैं कि शक्ति-कानून को इस तथ्य से पहचाना जा सकता है कि कंडीशनिंग बिंदु की परवाह किए बिना यह सशर्त संभावना लगभग समान है। स्टॉक की कीमतों के संदर्भ में, यदि ये एक शक्ति-कानून का पालन करते हैं, तो हम कह सकते हैं कि, कुछ अनुपात से स्टॉक "वृद्धि" की संभावना अपने वर्तमान मूल्य पर निर्भर नहीं है ।$^\dagger$

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$^\dagger$ हम यहां "वृद्धि" का उपयोग शिथिल रूप से करते हैं, क्योंकि हम एक एकल यादृच्छिक चर के बारे में बात कर रहे हैं, और हमने स्टॉक की कीमतों की समय-श्रृंखला नहीं बनाई है। वर्तमान वर्तमान संदर्भ में हम एक सशर्त संभाव्यता के अर्थ में स्टॉक मूल्य में "वृद्धि" की संभावना का उल्लेख करते हैं कि यह मूल्य एक निचले बाध्य, इस निचले बाउंड पर सशर्त से कुछ अंतराल के भीतर है।