क्या एक राशि और दो सहसंयोजक मैट्रिक्स का एक उत्पाद भी एक सहसंयोजक मैट्रिक्स है?

मान लीजिए कि मेरे पास कोवरियस मैट्रिस और । इन विकल्पों में से कौन सा तब भी सहसंयोजक मैट्रिक्स हैं? $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

मुझे यह समझने में थोड़ी परेशानी होती है कि एक कोविरेस मैट्रिक्स होने के लिए वास्तव में किसी चीज़ की क्या आवश्यकता है। मुझे लगता है कि यह उदाहरण के लिए है कि अगर , और कि 1 को पकड़ने के लिए हमें सत्य होना चाहिए तो उस , जहाँ और कुछ अन्य यादृच्छिक चर हैं। हालाँकि, मैं यह नहीं देख सकता कि तीन विकल्पों में से किसी एक के लिए यह सही क्यों होगा। किसी भी जानकारी से अवगत कराया जाएगा। $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— RBM
स्रोत

पृष्ठभूमि

यादृच्छिक चर सदिश के लिए एक सहसंयोजक मैट्रिक्स उन यादृच्छिक चर के किसी भी रैखिक संयोजन के विचरण की गणना करने के लिए एक प्रक्रिया का प्रतीक है। नियम यह है कि गुणांक के किसी भी वेक्टर के लिए , $\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स गुणन के नियम भिन्नताओं के नियमों का वर्णन करते हैं।

दो गुण तत्काल और स्पष्ट हैं: $\mathbb{A}$

क्योंकि भिन्न वर्ग के मूल्यों की अपेक्षाएं हैं, वे कभी भी नकारात्मक नहीं हो सकते। इस प्रकार, सभी वैक्टर ,Covariance मैट्रिसेस नॉन-निगेटिव-निश्चित होना चाहिए। $\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
भिन्नताएं केवल संख्याएं हैं - या, यदि आप मैट्रिक्स के सूत्रों को शाब्दिक रूप से पढ़ते हैं, तो वे _ मैट्रिसेस हैं। इस प्रकार, जब आप उन्हें स्थानांतरित करते हैं तो वे नहीं बदलते हैं। सुर देता है चूँकि यह सभी , इसलिए को इसके transpose बराबर होना चाहिए : सहसंयोजक मैट्रिक्स सममित होना चाहिए। $1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ $\mathbb{A}^\prime$

गहरा परिणाम यह है कि कोई भी गैर-नकारात्मक-निश्चित सममित मैट्रिक्स एक सहसंयोजक मैट्रिक्स है। $\mathbb{A}$ इसका मतलब यह है कि वास्तव में कुछ वेक्टर-वैल्यू रैंडम वैरिएबल जिसमें इसके कोवरियन के रूप में है। हम स्पष्ट रूप से निर्माण करके इसे प्रदर्शित कर सकते हैं । एक तरीका यह है कि गुण ) घनत्व फ़ंक्शन को गुण पास अपने सहसंयोजक के लिए । (कुछ विनम्रता की आवश्यकता तब होती है जब उल्टा नहीं होता - लेकिन यह सिर्फ एक तकनीकी विवरण है) $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

समाधान

Let और सहसंयोजक matrices हो। जाहिर है कि वे वर्ग हैं; और यदि उनकी राशि किसी भी तरह से है तो उनके पास समान आयाम होने चाहिए। हमें केवल दो गुणों की जांच करनी चाहिए। $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

योग।
- समरूपता शो योग सममित है। $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- गैर-नकारात्मक निश्चितता। Let किसी भी वेक्टर हो। तब मैट्रिक्स गुणन के मूल गुणों का उपयोग करके बिंदु साबित होता है। $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
मैं इसे एक अभ्यास के रूप में छोड़ता हूं।
यह एक मुश्किल है। चुनौतीपूर्ण मैट्रिक्स समस्याओं के माध्यम से सोचने के लिए मैं एक विधि का उपयोग _ मैट्रिक्स के साथ कुछ गणना करने के लिए करता हूं । इस आकार के कुछ सामान्य, परिचित सहसंयोजक , जैसे कि साथ और । चिंता यह है कि है हो सकता है नहीं , यह है कि यह एक नकारात्मक मूल्य उत्पादन कर सकता है एक विचरण की गणना करते समय: निश्चित हो सकता है? यदि यह होगा, तो हमारे पास मैट्रिक्स में कुछ नकारात्मक गुणांक बेहतर होंगे। यह सुझाव देता है कि लिए । कुछ दिलचस्प पाने के लिए, हम शुरू में मेट्रिसेस पर गौर कर सकते हैं $2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ अलग-अलग दिखने वाली संरचनाओं के साथ । विकर्ण मैट्रिक्स जैसे मन में आते हैं, के साथ । (ध्यान दें कि हम स्वतंत्र रूप से कुछ गुणांक जैसे और कैसे चुन सकते हैं, क्योंकि हम किसी भी सहसंयोजक मैट्रिक्स में सभी प्रविष्टियों को उसके मौलिक गुणों को बदलने के बिना पुनर्विक्रय कर सकते हैं। यह दिलचस्प उदाहरणों की खोज को सरल बनाता है।) $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
मैं इसे गणना करने के लिए आपके पास छोड़ता हूं और परीक्षण करता हूं कि क्या यह हमेशा और किसी भी स्वीकार्य मूल्यों के लिए एक सहसंयोजक मैट्रिक्स है । $\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— व्हीबर
स्रोत

एक वास्तविक मैट्रिक्स एक सहसंयोजक मैट्रिक्स है अगर और केवल अगर यह सममित सकारात्मक अर्ध-निश्चित है।

संकेत:

1) यदि और सममित हैं, तो सममित है? अगर किसी भी और लिए किसी भी , आप बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ? $X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

2) यदि सममित है, तो सममित है? यदि के eigenvalues गैर-नकारात्मक हैं, तो आप के eigenvalues के बारे में क्या निष्कर्ष निकाल सकते हैं ? $X$ $X^2$ $X$ $X^2$

3) यदि और सममित हैं, तो क्या आप निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि सममित है, या क्या आप एक काउंटर-उदाहरण पा सकते हैं? $X$ $Y$ $XY$

— मार्क एल। स्टोन
स्रोत