नमूना सहसंबंध गुणांक जनसंख्या सहसंबंध गुणांक का एक निष्पक्ष अनुमानक है?

क्या यह सच है कि लिए एक निष्पक्ष अनुमानक है ? अर्थात्, $R_{X,Y}$ $\rho_{X,Y}$

इ [{आर}_{एक्स, Y}] = ρ_{एक्स, Y} ?

$\mathbf{E}\left[R_{X,Y}\right]=\rho_{X,Y}?$

यदि नहीं, तो लिए एक निष्पक्ष अनुमानक क्या है ? (शायद एक मानक निष्पक्ष अनुमानक है जिसका उपयोग किया जाता है? इसके अलावा, क्या यह निष्पक्ष नमूना प्रसरण के अनुरूप है, जहां हम बस पक्षपाती नमूना विचरण को से गुणा करने का सरल समायोजन करते हैं ?) $\rho_{X,Y}$ $\frac{n}{n-1}$

जनसंख्या सहसंबंध गुणांक को जबकि नमूना सहसंबंध गुणांक रूप में परिभाषित किया गया है

ρ_{X, Y} = \frac{इ [(एक्स - μ_{एक्स}) (Y - μ_{Y})]}{\sqrt{इ [{(एक्स - μ_{एक्स})}^{2}]} \sqrt{इ [{(Y - μ_{Y})}^{2}]}},

$\rho_{X,Y}=\frac{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)\left(Y-\mu_{Y}\right)\right]}{\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(X-\mu_{X}\right)^{2}\right]}\sqrt{\mathbf{E}\left[\left(Y-\mu_{Y}\right)^{2}\right]}},$

{आर}_{एक्स, Y} = \frac{Σ_{मैं = 1}^{n} ({एक्स}_{मैं} - \bar{एक्स}) (Y_{मैं} - \bar{Y})}{\sqrt{Σ_{मैं = 1}^{n} {({एक्स}_{मैं} - \bar{एक्स})}^{2}} \sqrt{Σ_{मैं = 1}^{n} {(Y_{मैं} - \bar{Y})}^{2}}} ।

$R_{X,Y}=\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2}}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(Y_{i}-\bar{Y}\right)^{2}}}.$

correlation

— केनी एलजे
स्रोत

A (थोड़ा समान) के बारे में प्रश्न ।

ρ

$\rho$

— ttnphns

प्रश्न "निष्पक्ष अनुमानक क्या है" यह मानता है कि एक है और एक ही है। एक प्राथमिकता , ऐसा सोचने का कोई कारण नहीं प्रतीत होता है।

$\qquad$

— माइकल हार्डी

@ मिचेलहार्डी: मैंने इसे ठीक कर लिया है। इशारा करने के लिए धन्यवाद।

— केनी एलजे

बस इस धागे पर ठोकर खाई है, और मुझे लगता है कि यह एक दिलचस्प पढ़ा जा सकता है scirectirect.com/science/article/pii/S0167715298000352 (मैं अभी तक इसे अपने आप को tbh नहीं पढ़ा है)

— शहीद

न्यूनतम विचरण निष्पक्ष अनुमानक: projecteuclid.org/euclid.aoms/117770701717

— सेक्स्टस एम्पिरिकस

यह एक आसान सवाल नहीं है लेकिन कुछ भाव उपलब्ध हैं। यदि आप विशेष रूप से सामान्य वितरण के बारे में बात कर रहे हैं, तो उत्तर नहीं है ! हमारे पास है

इ \hat{ρ} = ρ [1 - \frac{(1 - ρ^{2})}{2 n} + हे (\frac{1}{n^{2}})]

$\mathbb{E} \widehat{\rho} = \rho \left[1 - \frac{\left(1-\rho^2 \right)}{2n} + O\left( \frac{1}{n^2} \right) \right]$

जैसा कि लेहमन के सिद्धांत अनुमान के अध्याय 2 में देखा गया है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में असीम रूप से कई शब्द हैं लेकिन हम अनिवार्य रूप से नगण्य के बराबर या निचले क्रम की शर्तों पर विचार कर रहे हैं । $n^{-2}$

इस सूत्र से पता चलता है कि नमूना सहसंबंध गुणांक केवल लिए निष्पक्ष है , अर्थात स्वतंत्रता, जैसा कि कोई अपेक्षा करेगा। यह भी पतित मामलों के लिए निष्पक्ष है , लेकिन यह बहुत दिलचस्प नहीं है। सामान्य मामलों में पूर्वाग्रह क्रम लेकिन सभी उचित नमूना आकारों के लिए काफी छोटा होगा। $\rho = 0$ $|\rho| = 1$ $\frac{1}{n}$

सामान्य वितरण में नमूना सहसंबंध गुणांक एमएल है, जिसका अर्थ है कि यह विषम रूप से निष्पक्ष है। आप यह भी देख सकते हैं कि उपरोक्त सूत्र से । ध्यान दें कि यह पहले से ही बंधे हुए अभिसरण प्रमेय के माध्यम से सीमा और नमूना सहसंबंध गुणांक की स्थिरता से निम्नानुसार है। $\mathbb{E} \widehat{\rho} \to \rho$

— JohnK
स्रोत

उपरोक्त अभिव्यक्ति में असीम रूप से कई शब्द हो सकते हैं , लेकिन "अनंत शब्द" होंगे कुछ शब्द हैं, जिनमें से प्रत्येक अनंत है।

$\qquad$

— माइकल हार्डी

मान लीजिए कि एक द्विभाजित आबादी में सभी बिंदु गैर-अक्षीय ढलान के साथ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। फिर किसी भी नमूने में सभी बिंदु ऐसा करते हैं। मैं अनुमान लगाता हूं कि यदि जनसंख्या सहसंबंध का पूर्ण मूल्य है इसलिए नमूना सहसंबंध भी ।

| ρ | = 1

$|\rho| = 1$

| r | \equiv 1

$|r| \equiv 1$

— निक कॉक्स

@ नाइकॉक्स सच है, पतित मामले में नमूना सहसंबंध गुणांक वापस आ जाएगाकोई अनुमान त्रुटि के साथ।

| 1 |

$|1|$

— जॉनके

एक संबंधित प्रश्न के लिए, क्या किसी को पता है कि 2 डी सामान्य के अलावा किसी अन्य वितरण के लिए अनुरूप परिणाम मौजूद हैं?

— Riemann1337