क्या सिक्कों को फड़फड़ाते समय मुझे एक द्विपद cdf या एक सामान्य cdf का उपयोग करना चाहिए?

Question

एक सिक्के को निष्पक्षता के लिए परखा जाना चाहिए। 50 फ्लैप के बाद 30 सिर आते हैं। सिक्का को उचित मानते हुए, क्या संभावना है कि आपको 50 फ़्लिप में कम से कम 30 सिर मिलेंगे?

मेरे शिक्षक के अनुसार, इस समस्या को करने का सही तरीका है

normalcdf(min = .6, max = ∞, p = .5, σ = sqrt(.5 * .5 / 50) = 0.0786

हालाँकि, मैंने इस तरह एक द्विपद संचयी वितरण समारोह लिया

1 - binomcdf(n = 50, p = .5, x = 29) = 0.1013

मेरा मानना ​​है कि एक द्विपद वितरण के मानदंड संतुष्ट हैं: व्यक्तिगत घटनाएं स्वतंत्र हैं, केवल दो संभावित परिणाम (सिर बनाम पूंछ) हैं, संभावना प्रश्न (0.5) के लिए स्थिर है, और परीक्षणों की संख्या 50 पर निर्धारित है , फिर भी स्पष्ट रूप से, दो विधियां अलग-अलग उत्तर देती हैं, और एक अनुकार मेरे उत्तर का समर्थन करता है (कम से कम कुछ बार मैंने इसे चलाया था; जाहिर है, मैं गारंटी नहीं दे सकता कि आप एक ही परिणाम प्राप्त करेंगे)।

क्या मेरा शिक्षक यह मानने में गलत है कि एक सामान्य वितरण वक्र भी इस समस्या को करने का एक वैध तरीका होगा (किसी भी बिंदु पर यह नहीं कहा जाता है कि वितरण सामान्य है, लेकिन n * p और n * (1-p) दोनों ही इससे अधिक हैं 10), या मैंने द्विपद वितरण के बारे में कुछ गलत समझा है?

Comments

द्विपद के लिए सामान्य सन्निकटन का उपयोग करने का अनुभव रखने वाला व्यक्ति थोड़ा अलग ढंग से आगे बढ़ेगा: वे (सामान्य) निरंतरता सुधार लागू करेंगे, जैसा कि 1 - pnorm((30-0.5)/50, mean=0.5, sd=sqrt(0.5*(1-0.5)/50))(यह एक R अभिव्यक्ति है), जिसका मान 0.1015 है, जो कि Binomial cdf के साथ काफी करीबी समझौते में है। ।

— whuber

Answer 1

यहाँ व्हिबर और ऑन्स्टॉप के उत्तर का चित्रण है।

लाल में द्विपद वितरण , सामान्य सन्निकटन के घनत्व में , और नीले रंग में लिए के अनुरूप सतह। ।$\mathcal Bin(50,0.5)$$\mathcal N(25, 12.5)$$\mathbb P(Y > 29.5)$$Y \sim \mathcal N(25, 12.5)$

लिए के अनुरूप लाल पट्टी की ऊंचाई अच्छी तरह से द्वारा अनुमानित की गई है । एक अच्छा अनुमान प्राप्त करने के लिए , आपको का उपयोग करने की आवश्यकता है ।$\mathbb P(X=k)$$X\sim\mathcal Bin(50,0.5)$पी(एक्स≥30)पी(Y>29.5$\mathbb P\left( k -{1\over 2} < Y < k + {1\over 2}\right)$$\mathbb P(X \ge 30)$$\mathbb P(Y>29.5)$

(संपादित करें) यह (R द्वारा प्राप्त ) है, जबकि सन्निकटन सही है।पी ( एक्स ≥ 30 ) ≃ .१०,१३,१९४

$$\mathbb P(Y>29.5) \simeq 0.1015459,$$ 1-pnorm(29.5,25,sqrt(12.5)) $$\mathbb P(X \ge 30) \simeq 0.1013194:$$

इसे निरंतरता सुधार कहा जाता है । यह आपको तरह "बिंदु संभाव्यता" की गणना करने की अनुमति देता है : $\mathbb P(X=22)$

$$\begin{align*} \mathbb P(X=22) &= {50 \choose 22} 0.5^{22} \cdot 0.5^{28} \simeq 0.07882567, \\ \mathbb P(21.5 < Y < 22.5) & \simeq 0.2397501 - 0.1610994 \simeq 0.07865066.\end{align*}$$

Answer 2

यदि आप एक निरंतरता सुधार का उपयोग करते हैं तो सामान्य वितरण द्विपद के करीब निकटता देता है । आपके उदाहरण के लिए इसका उपयोग करते हुए, मुझे 0.1015 मिलता है। जैसा कि यह होमवर्क है, मैं आपको विवरण भरने के लिए इसे छोड़ दूँगा।

Answer 3

इस पर विचार करो। असतत द्विपद वितरण में आपके पास अलग-अलग संख्याओं के लिए वास्तविक संभावनाएं हैं। निरंतर सामान्य स्थिति में, ऐसा नहीं है, आपको कई प्रकार के मान चाहिए। इसलिए ... यदि आप एक व्यक्तिगत मूल्य की संभावना का अनुमान लगाने जा रहे हैं, तो आइए X, द्विपद से सामान्य के साथ कहें कि आप ऐसा कैसे करेंगे? इस पर रखी सामान्य वक्र के साथ द्विपद वितरण की संभाव्यता हिस्टोग्राम को देखें। आपको वास्तव में X to 0.5 से चयन करने की आवश्यकता होगी जो कि सामान्य सन्निकटन के साथ X की द्विपद प्रायिकता के समान है।

अब उस का विस्तार करें जब आप वितरण की एक पूंछ का चयन कर रहे हैं। जब आप द्विपद विधि का उपयोग करते हैं तो आप अपने संपूर्ण मूल्य की संभाव्यता (आपके मामले में 30) से अधिक सब कुछ का चयन करते हैं। इसलिए, जब आप निरंतर करते हैं तो आपको यह सुनिश्चित करना होगा कि आप उस पर कब्जा कर लें और साथ ही 0.5 का चयन करें, इसलिए निरंतर वितरण पर कटऑफ 29.5 है।

Comments

दरअसल, सवाल समस्या की एक समझदार समझ को प्रदर्शित करता है और एक नियमित होमवर्क प्रश्न के उत्तर की तलाश में नहीं दिखता है। हालाँकि इसे होमवर्क टैग किया गया है , यहाँ एक अपवाद बनाने पर विचार करें। विशेष रूप से, सामान्य वितरण का उपयोग करने की एक अच्छी चर्चा लगभग असतत वितरण (जैसे कि बिनोमिअल्स और पॉइज़न के साथ बड़े एन के) के लिए उचित और सबसे स्वागत योग्य है।

— whuber