संभावना - क्यों गुणा करें?

Question

मैं अधिकतम संभावना आकलन के बारे में अध्ययन कर रहा हूं और मैंने पढ़ा है कि संभावना फ़ंक्शन प्रत्येक चर की संभावनाओं का उत्पाद है। यह उत्पाद क्यों है? योग क्यों नहीं? मैं Google पर खोज करने की कोशिश कर रहा हूं लेकिन मुझे कोई सार्थक उत्तर नहीं मिल रहा है।

https://en.wikipedia.org/wiki/Maximum_likelihood

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ध्यान दें कि यह जरूरी नहीं है, और सामान्य तौर पर यादृच्छिक चर के संयुक्त घनत्व के संदर्भ में अधिकतम संभावना को परिभाषित किया गया है। बेशक अगर वे स्वतंत्र हैं तो उनका संयुक्त घनत्व सिर्फ

— चींटी

याद रखें कि गुणा करना इसके अलावा सिर्फ एक आशुलिपि है। जब मैं 2 बार कहता हूं तो मैं 2 + 2 + 2 कह रहा हूं। हम गुणा करते हैं क्योंकि हम आलसी हैं। इसे कठिन तरीके से करने का समय किसके पास है? आप जोड़ सकते हैं यदि यह आपको यह देखने में मदद करता है कि क्या चल रहा है (मुझे मोंटी हॉल समस्या को समझने में मदद करता है) लेकिन थोड़ी देर बाद आप इससे ऊब जाएंगे।

— कैंडिड_ओरेंज

कहते हैं कि आपके पास भूरे बाल होने की 80% संभावना है, और भूरे रंग की आँखें होने की 75% संभावना है। क्या आपको लगता है कि यह संभव है कि भूरे बालों वाली और भूरी आंखों वाली होने की संभावना है 80% + 75% = 155%? कैसे के बारे में 80% * 75% = 60%?

— njzk2

Answer 1

यह एक बहुत ही बुनियादी सवाल है, और मैं औपचारिक भाषा और गणितीय संकेतन का उपयोग करने के बजाय, इसका उत्तर एक ऐसे स्तर पर देने की कोशिश करूंगा, जिस पर प्रश्न को समझने वाला हर व्यक्ति उत्तर को भी समझ सकता है।

कल्पना कीजिए कि हमारे पास बिल्लियों की दौड़ है। उनके पास सफेद पैदा होने की 75% संभावना है, और 25% जन्म ग्रे होने की संभावना है, कोई अन्य रंग नहीं। इसके अलावा, उनके पास हरी आँखें होने की 50% संभावना है और नीली आँखें होने की 50% संभावना है, और कोट का रंग और आंखों का रंग स्वतंत्र है।

अब हम आठ बिल्ली के बच्चे की एक नज़र देखते हैं:

आप देखेंगे कि 4 में से 1, या 25%, ग्रे हैं। इसके अलावा, 2 में से 1 या 50% में नीली आँखें हैं। अब सवाल यह है कि

कितने बिल्ली के बच्चे ग्रे फर और नीली आँखें हैं?

आप उन्हें गिन सकते हैं, जवाब एक है। वह है, , या 8 बिल्ली के बच्चे का 12.5%।$\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

क्यों होता है? क्योंकि किसी भी बिल्ली के ग्रे होने की संभावना 1 से 4 होती है। तो, चार बिल्लियों को चुनें, और आप उनमें से एक को ग्रे होने की उम्मीद कर सकते हैं। लेकिन अगर आप केवल कई में से चार बिल्लियों को उठाते हैं (और 1 ग्रे बिल्ली का अपेक्षित मूल्य प्राप्त करते हैं), तो जो ग्रे होता है उसकी नीली आंखों के लिए 1 से 2 संभावना होती है। इसका मतलब है, आपके द्वारा चुनी गई कुल बिल्लियों में, आप पहली बार ग्रे बिल्लियों को पाने के लिए कुल 25% से गुणा करते हैं, और फिर आप उन सभी को चुनने के लिए सभी बिल्लियों के 25% को 50% से गुणा करते हैं, जिनकी नीली आँखें हैं। यह आपको नीली आंखों वाली ग्रे बिल्लियों को प्राप्त करने की संभावना देता है।

उन्हें समेटना आपको , जो३बनाता है$\frac{1}{4} + \frac{1}{2}$In में से ४ या ६। हमारी तस्वीर में, यह उन बिल्लियों को समेटने से मेल खाती है जिनकी बिल्लियाँ नीली आँखों वाली होती हैं जिनकी ग्रे फर होती है - और एक ग्रे नीली आँखों वाली बिल्ली के बच्चे की दो बार गिनती होती है! इस तरह की गणना का अपना स्थान हो सकता है, लेकिन यह संभावना गणनाओं में असामान्य है, और यह निश्चित रूप से वह नहीं है जिसके बारे में आप पूछ रहे हैं।$\frac{3}{4}$

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मुझे पता है कि यहाँ अन्य उत्तरों का मतलब वही है। फिर भी मुझे लगता है कि यहां एक दृश्य प्रतिनिधित्व की आवश्यकता है - यदि ओपी स्वयं अवधारणा की कल्पना करने में सक्षम था, तो वह शायद पहले से ही जवाब में आ गया होगा।

— रुमचो

यह वास्तव में एक भयानक जवाब है क्योंकि यह प्रत्येक स्वतंत्र चर को बिल्ली मैट्रिक्स में एक स्वतंत्र अक्ष के रूप में दिखाता है। इससे समझने में बहुत आसानी होती है। मैं अपने बच्चों को पढ़ाने के लिए इस उदाहरण का उपयोग करूँगा!

— डॉटान्चेन

यह उत्तर वास्तव में त्रुटिपूर्ण है, क्योंकि यह अभी भी देखे गए मूल्य और अपेक्षित मूल्य को बताता है। यह देखते हुए कि यह कितना लोकप्रिय है, मैं इसे एक स्पष्टीकरण के साथ अपडेट करने का समय खोजने की कोशिश करूंगा कि बिल्लियों को कम करने का यह तरीका हमें अधिकतम संभावना का अनुमान क्यों देता है (या, 8 यादृच्छिक बिल्लियों को चुनने की समस्या को हल करने और यह पता लगाने में कि वे नहीं हैं जिन्हें मैंने चित्र में चित्रित किया है)।

— रुमचो

यह ऐसी बिल्लियों की पूरी आबादी क्यों नहीं हो सकती है? (कहते हैं कि उनके पास कुछ विशेष शोध संपत्ति है - उनकी जीभ उदाहरण के लिए, रसायनयुक्त है।) फिर अनुमान गैर-निंदनीय है।

— एरिक टावर्स

Answer 2

दो घटनाओं के बीच स्वतंत्रता का मतलब है कि एक घटना की घटना दूसरे घटना की घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है। इसलिए किसी भी दो घटनाओं के लिए और बी एक नमूना अंतरिक्ष में S हम कहते हैं कि एक और बी स्वतंत्र iff हैं पी ( ए और बी ) = पी ( ए ∩ बी ) = पी ( ए ) पी ( बी ) अब की तुलना में अधिक दो के लिए घटनाओं हम कहते हैं कि घटनाओं एक 1 , ए 2 , $A$$B$$S$$A$$B$$P(A$$B)=P(A\cap B) = P(A)P(B)$स्वतंत्र iff हैं पी ( ∩ एक मैं मैं ∈ $A_1,A_2,...A_n$ के लिए सभी सबसेट मैं ⊂ [ 1 , 2 , । । । , एन ] ।$P(\underset{i\in I}{\cap A_i})= \prod_{i\in I} P(A_i)$$I \subset [1,2,...,n]$

संभावना में हम मान लें कि एक नमूना है कि वहाँ की n (आईआईडी), स्वतंत्र और हूबहू वितरित टिप्पणियों एक अज्ञात प्रायिकता घनत्व समारोह के साथ एक वितरण से आ रही, साधन इस संयुक्त घनत्व समारोह है कि च ( एक्स 1 , x 2 , । । । , x n | θ ) = Π मैं = n मैं = 1 च ( ) ।$x_1, x_2, …, x_n$$n$$f(x_1,x_2,...,x_n|\theta) = \prod_{i=1}^{i=n}f(x_i|\theta)$

Answer 3

स्वतंत्रता की आम धारणा के तहत, $P(A \cap B)$ = $P(A) P(B)$।

इस प्रकार, यदि आप मानते हैं कि आपकी सभी टिप्पणियां स्वतंत्र हैं, तो आपके द्वारा देखे गए सभी मूल्यों को देखने की संभावना व्यक्तिगत संभावनाओं के उत्पाद के बराबर है।

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मुझे लगता है कि यह ओपी की मदद करेगा यदि आप यह भी बताते हैं कि क्यों $P(A \cap B)$यहाँ रुचि है

— ग्रीनपार्क

हाय, उत्तर के लिए धन्यवाद ! मैं संभावना (संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन) को अधिकतम क्यों करता हूं? इसके बजाय मैं सभी अवलोकन (या किसी अन्य फ़ंक्शन) की संभावनाओं का योग अधिकतम नहीं कर सकता? मैं कारण खोजना चाहूंगा कि संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन क्यों चुना जाता है। संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करके विकिपीडिया शुरू होता है। लेकिन क्या एक कारण है कि हम संयुक्त घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं? यही मैं समझने की कोशिश कर रहा हूं।

— रुईकी

@haziqRazali एमएलई का विचार अनुमानों को चुनना है ताकि नमूना बनाने के लिए आपको सबसे अधिक वितरण दिया जाए। इसलिए नाम की अधिकतम संभावना

— पुन: प्रकाशित करें

@ हाज़िरक़ाज़ली एक सवाल "क्यों अधिकतम संभावना की तरह" एक नया सवाल है (जो साइट पर कहीं और पूछा गया है और इसका जवाब दिया गया है)

— Glen_b -Reate Monica

Answer 4

क्यों नहीं जोड़ा गया?

क्योंकि यह स्पष्ट रूप से कोई मतलब नहीं है। मान लीजिए कि आपके पास एक चौथाई और एक निकल है, और आप उन दोनों को फ्लिप करना चाहते हैं। 50% मौका है कि क्वार्टर सिर आएगा, और 50% मौका निकल जाता है। यदि दोनों प्रमुखों के आने का मौका था, तो यह 100% संभावना है, जो स्पष्ट रूप से गलत है, क्योंकि यह HT, TH, और TT के लिए कोई मौका नहीं छोड़ता है।

गुणा क्यों करें?

क्योंकि यह करता है मेकअप भावना। जब आप क्वार्टर का 50% मौका सिर से ऊपर आने का 50% मौका बढ़ाते हैं, तो आपको दोनों सिक्कों के 0.5 x 0.5 = 0.25 = 25% होने का मौका मिलता है। यह देखते हुए कि चार संभावित संयोजन (एचएच, एचटी, टीएच, एचटी) हैं और प्रत्येक समान रूप से संभावना है, यह पूरी तरह से फिट है। जब दोनों होने वाली दो स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का मूल्यांकन करते हैं, तो हम उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं को गुणा करते हैं।

Answer 5

मैं इन पोस्टों को पढ़ रहा हूं क्योंकि, मूल पोस्टर की तरह, मेरी जरूरत यह समझने की है कि ' लाइकलीहुड ' fn प्रत्येक नमूना मान के घनत्व का ' उत्पाद ' क्यों है - ' x '। अधिकतम संभावना के शीर्षक सिद्धांत के तहत एक पठनीय और तार्किक कारण दिया गया है Ref: [ http://www-structmed.cimr.cam.ac.uk/Course/Likelihood/likelihood.html] एक और उद्धरण गणितीय रूप से, संभावना परिभाषित की गई है माप के सेट बनाने की संभावना के रूप में (एक ही रेफरी।) संक्षेप में, संभावना है कि आप उस नमूने पर पहुंचे जो आपके हाथ में है।

Answer 6

अधिकतम संभावना विधि का लक्ष्य अनुमानक है जो चर के कुछ मानों (अंतर्जात चर) के अवलोकन की संभावना को अधिकतम करता है। यही कारण है कि हमें महासागर की संभावनाओं को गुणा करना चाहिए।

उदाहरण के लिए: कल्पना करें कि एक फोन नंबर जो एक सचिव एक घंटे में जवाब दे सकता है, वह एक पॉइज़न वितरण का अनुसरण करता है। फिर, आप नमूने के 2 मान निकालते हैं (प्रति घंटे 5 फोन कॉल और 8 फोन कॉल) अब आपको इस प्रश्न का उत्तर देना होगा। पैरामीटर का मूल्य क्या है जो 5 और 8 फोन कॉलों के अवलोकन की संभावना को अधिकतम करता है, एक साथ ?. के बाद, सैम के सभी मूल्यों का निरीक्षण करने की संभावना के साथ जवाब देने की कोशिश करें

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के कारण,

f (y1 = 5 फ़ोन कॉल) * f (y2 = 8 फ़ोन कॉल) = 1if (y, () = L (=, y1, y2)

अंत में, उत्तर देने का प्रयास करें, नमूने के सभी मूल्यों का पालन करने की संभावना।