गैर-पूर्णांक आकार पैरामीटर के साथ गामा वितरण के लिए एक और व्याख्या है?

Question

यह सर्वविदित है कि एक यादृच्छिक चर गामा पूर्णांक आकार पैरामीटर के साथ वितरित किया जा रहा है $k$ के वर्गों के योग के बराबर है $k$ सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर।

लेकिन गैर-पूर्णांक साथ एक गामा वितरित यादृच्छिक चर के बारे में मैं क्या कह सकता हूं ? क्या गामा वितरण के अलावा कोई अन्य व्याख्या है?$k$

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आकार पैरामीटर के साथ गामा $k/2$ के वर्गों का योग है $k$सामान्य रूप से वितरित यादृच्छिक चर। आकार पैरामीटर के साथ गामा$k$ का योग है $k$iid घातीय वितरण।

— ग्रीनपार्क

पूर्णांक के साथ गामा की एक और व्याख्या $k$: यह प्रतीक्षा समय तक है $k$गहनता के साथ एक आयामी पोइसन प्रक्रिया में वें आगमन $1/\theta$।

— Stephan Kolassa

Answer 1

अगर $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ तथा $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$ तब स्वतंत्र हैं

$$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$$ विशेष रूप से, यदि $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$, इसे उसी वितरण के साथ वितरित किया जाता है जैसे कि $$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$$ किसी के लिए $n\in\mathbb N$। (इस संपत्ति को अनंत विभाजन कहा जाता है ।) इसका मतलब है कि, यदि$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ कब $\alpha$ पूर्णांक नहीं है, $X$ के समान वितरण है $Y+Z$ साथ में $Z$ से स्वाधीन $Y$ तथा $$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$$ इसका मतलब यह भी है कि पूर्णांक मूल्यवान आकार $\alpha$ गामा के लिए कोई विशेष अर्थ नहीं है।

इसके विपरीत, यदि $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ साथ में $\alpha<1$, इसका समान वितरण है $YU^{1/\alpha}$ कब $Y$ से स्वतंत्र है $U\sim{\cal U}(0,1)$ तथा

$$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$$ और इसलिए वितरण ${\cal G}(\alpha,1)$ में अपरिवर्तनीय है $$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$$