क्यों एक मिलान जोड़े के लिए स्वतंत्रता की डिग्री है

मुझे "स्वतंत्रता की डिग्री" के रूप में जानने की आदत है $n - r$ है, जहां आप रेखीय मॉडल है के साथ , रैंक , , साथ डिजाइन मैट्रिक्स with , ।

y = X β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$

y \in R^{n}

$\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$

X \in M_{n \times p} (R)

$\mathbf{X} \in M_{n \times p}(\mathbb{R})$

r

$r$

β \in R^{p}

$\boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^p$

ϵ \in R^{n}

$\boldsymbol{\epsilon} \in \mathbb{R}^n$

ϵ \sim N (0, σ^{2} I_{n})

$\boldsymbol{\epsilon} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2 \mathbf{I}_n)$

σ^{2} > 0

$\sigma^2 > 0$

प्राथमिक आंकड़ों (यानी, रैखिक बीजगणित के साथ पूर्व-रेखीय मॉडल) को याद करने से लेकर, मिलान-जोड़े $t$ -est के लिए स्वतंत्रता की डिग्री अंतर माइनस की संख्या है $1$ । तो यह रैंक होगा $\mathbf{X}$ रैंक 1, शायद। क्या ये सही है? यदि नहीं, तो $n-1$ मिलान-जोड़े $t$ -est के लिए स्वतंत्रता की डिग्री क्यों है ?

संदर्भ को समझने के लिए, मान लें कि मेरे पास मिश्रित-प्रभाव वाला मॉडल है

y_{i j k} = μ_{i} + some random effects + e_{i j k}

$y_{ijk} = \mu_i + \text{ some random effects} + e_{ijk}$ जहां

i = 1, 2

$i = 1, 2$ ,

j = 1, \dots, 8

$j = 1, \dots, 8$ , और

k = 1, 2

$k = 1, 2$ ।

μ_{i}

$\mu_i$ अलावा कुछ भी विशेष नहीं है , क्योंकि यह एक निश्चित प्रभाव है, और

e_{i j k} \overset{i i d}{\sim} N (0, σ_{e}^{2})

$e_{ijk} \overset{iid}{\sim}\mathcal{N}(0, \sigma^2_e)$ । मैं मान रहा हूं कि यादृच्छिक प्रभाव इस समस्या के लिए अप्रासंगिक हैं, क्योंकि हम केवल इस मामले में निश्चित प्रभावों की परवाह करते हैं।

मैं लिए एक विश्वास अंतराल प्रदान करना चाहूंगा $\mu_1 - \mu_2$ ।

मैंने पहले ही दिखाया है कि $\bar{d}_\cdot = \dfrac{1}{8}\sum d_j$ का एक निष्पक्ष अनुमानक है , जहां , , और को इसी तरह परिभाषित किया गया है। बिंदु अनुमान की गणना की गई है। $\mu_1 - \mu_2$ $d_j = \bar{y}_{1j\cdot} - \bar{y}_{2j\cdot}$ $\bar{y}_{1j\cdot} = \dfrac{1}{2}\sum_{k}y_{1jk}$ $\bar{y}_{21\cdot}$ $\bar{d}_{\cdot}$

मैंने पहले ही दिखाया है कि

s_{d}^{2} = \frac{\sum_{j} (d_{j} - {\bar{d}}_{\cdot})^{2}}{8 - 1}

$s^2_d = \dfrac{\sum_{j}(d_j - \bar{d}_{\cdot})^2}{8-1}$ के विचरण का एक निष्पक्ष अनुमानक है , और इस प्रकार,

की मानक त्रुटि है । यह गणना की गई है।

d_{j}

$d_j$

\sqrt{\frac{s_{d}^{2}}{8}}

$\sqrt{\dfrac{s^2_d}{8}}$

{\bar{d}}_{\cdot}

$\bar{d}_{\cdot}$

अब आखिरी हिस्सा स्वतंत्रता की डिग्री का पता लगा रहा है। इस चरण के लिए, मैं आमतौर पर डिज़ाइन मैट्रिक्स खोजने की कोशिश करता हूं - जिसमें स्पष्ट रूप से रैंक 2 है - लेकिन मेरे पास इस समस्या का समाधान है, और यह कहता है कि स्वतंत्रता की डिग्री । $8-1$

डिजाइन मैट्रिक्स की रैंक खोजने के संदर्भ में, स्वतंत्रता की डिग्री क्यों हैं ? $8-1$

जोड़ने के लिए संपादित: शायद इस चर्चा में सहायक है कि परीक्षण आँकड़ा कैसे परिभाषित किया जाता है। मान लीजिए कि मेरे पास एक पैरामीटर वेक्टर । इस स्थिति में, (जब तक मैं पूरी तरह से कुछ याद नहीं कर रहा हूं)। हम अनिवार्य रूप से परिकल्पना परीक्षण जहां । फिर, परीक्षण आँकड़ा जिसे साथ केंद्रीय distribution के खिलाफ परीक्षण किया जाएगा। $\boldsymbol{\beta}$

β = [\begin{matrix} μ_{1} \\ μ_{2} \end{matrix}]

$\boldsymbol{\beta} = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{bmatrix}$

c^{'} β = 0

$\mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\beta} = 0$

c^{'} = [\begin{matrix} 1 & - 1 \end{matrix}]

$\mathbf{c}^{\prime} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \end{bmatrix}$

t = \frac{c^{'} \hat{β}}{\sqrt{{\hat{σ}}^{2} c^{'} (X^{'} X)^{- 1} c}}

$t = \dfrac{c^{\prime}\hat{\boldsymbol{\beta}}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2c^{\prime}(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{c}}}$

t

$t$

n - r

$n - r$ स्वतंत्रता की डिग्री, जहां ऊपर के रूप में डिजाइन मैट्रिक्स है, और जहां ।

X

$\mathbf{X}$

{\hat{σ}}^{2} = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r}

$\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r}$

P_{X} = X (X^{'} X)^{- 1} X^{'}

$\mathbf{P}_{\mathbf{X}} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}^{\prime}$

t-test degrees-of-freedom

— बाजा बजानेवाला
स्रोत

जवाबों:

मिलान किया-जोड़े के के साथ टेस्ट जोड़े वास्तव में सिर्फ एक नमूना है आकार का एक नमूना के साथ टेस्ट । आपके पास मतभेद , और इन आईआईडी और सामान्य रूप से वितरित कर रहे हैं। बाद पहला कॉलम है $t$ $n$ $t$ $n$ $n$ $d_1,\ldots,d_n$

\begin{array}{ccccc} [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}] & = & [\begin{matrix} \bar{d} \\ ⋮ \\ \bar{d} \end{matrix}] & + & [\begin{matrix} d_{1} - \bar{d} \\ ⋮ \\ d_{1} - \bar{d} \end{matrix}] \\ n d.f. & 1 d.f. & (n - 1) d.f. \end{array}

$\begin{array}{ccccc} \begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} & = & \begin{bmatrix} \bar d \\ \vdots \\ \bar d \end{bmatrix} & + & \begin{bmatrix} d_1 - \bar d \\ \vdots \\ d_1 - \bar d \end{bmatrix} \\[10pt] n \text{ d.f.} & & 1 \text{ d.f.} & & (n-1) \text{ d.f.} \end{array}$

“ =''

$\text{“}{=}\text{''}$

1

$1$ रैखिक बाधा के कारण स्वतंत्रता की डिग्री जो कहती है कि सभी प्रविष्टियां समान हैं; दूसरी में डिग्री की स्वतंत्रता है क्योंकि रैखिक बाधाएं कहती हैं कि प्रविष्टियों का योग ।

n - 1

$n-1$

0

$0$

— माइकल हार्डी
स्रोत

तो, दूसरे शब्दों में, हमारे पास आज़ादी के डिग्री होने का कारण इसका रैखिक मॉडल ?

n - 1

$n-1$

y = X β + ϵ

$\mathbf{y}=\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\epsilon}$

— शहनाई

इसका उस मॉडल के साथ क्या करना है, जहां मैट्रिक्स s और का एक स्तंभ है, एक मैट्रिक्स है, जिसकी केवल प्रविष्टि दो जनसंख्या साधनों के बीच का अंतर है।

X

$\mathbf X$

1

$1$

β

$\boldsymbol{\beta}$

1 \times 1

$1\times1$

$\qquad$

— माइकल हार्डी

अहा! तो आपका वेक्टर s का वेक्टर होगा , सही? आपका बहुत बहुत धन्यवाद! मैं विश्वास नहीं कर सकता कि इस पर एक उत्तर खोजना कितना कठिन रहा है!

y

$\mathbf{y}$

d_{i}

$d_i$

— शहनाई

हाँ। यह मिलान जोड़े में मनाया अंतर के वेक्टर है ।

n

$n$

$\qquad$

— माइकल हार्डी

मेरे सवाल का जवाब देने के लिए माइकल हार्डी को बहुत-बहुत धन्यवाद ।

विचार यह है: let और । फिर हमारा रैखिक मॉडल तब जहां है सभी लोगों की -vector, और स्पष्ट रूप से का रैंक , इसलिए तब हमारे पास स्वतंत्रता की डिग्री है। ।

y = [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}]

$\mathbf{y} = \begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix}$

β = [μ_{1} - μ_{2}]

$\boldsymbol{\beta} = [\mu_1 - \mu_2]$

y = 1_{n \times 1} β + ϵ

$\mathbf{y} = \mathbf{1}_{n \times 1}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}$

1_{n \times 1}

$\mathbf{1}_{n \times 1}$

n

$n$

ϵ = [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ⋮ \\ ϵ_{n} \end{matrix}] \sim N (0, σ^{2} I_{n}) .

$\boldsymbol{\epsilon} = \begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \vdots \\ \epsilon_n \end{bmatrix} \sim \mathcal{N}(\mathbf{0}, \sigma^2\mathbf{I}_n)\text{.}$

X = 1_{n \times 1}

$\mathbf{X} = \mathbf{1}_{n \times 1}$

1

$1$

n - 1

$n-1$

हम बराबर सेट करना कैसे जानते हैं ? उस और जैसा कि आसानी से देखा जा सकता है, सभी के लिए । हमारे को देखते हुए , यह स्पष्ट है कि क्या होना चाहिए। यह है क्योंकि $\boldsymbol{\beta}$ $[\mu_1 - \mu_2]$

E [y] = X β

$\mathbb{E}[\mathbf{y}] = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

E [d_{j}] = μ_{1} - μ_{2}

$\mathbb{E}[d_j] = \mu_1 - \mu_2$

j

$j$

X

$\mathbf{X}$

β

$\boldsymbol{\beta}$

E [y] = E [[\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}]] = [\begin{matrix} E [d_{1}] \\ ⋮ \\ E [d_{n}] \end{matrix}] = [\begin{matrix} μ_{1} - μ_{2} \\ ⋮ \\ μ_{1} - μ_{2} \end{matrix}] = X β = 1_{n \times 1} β = [\begin{matrix} 1 \\ ⋮ \\ 1 \end{matrix}] β

$\mathbb{E}[\mathbf{y}] = \mathbb{E}\left[\begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} \right] = \begin{bmatrix} \mathbb{E}[d_1] \\ \vdots \\ \mathbb{E}[d_n] \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mu_1 - \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_1 - \mu_2 \end{bmatrix} = \mathbf{X}\boldsymbol\beta = \mathbf{1}_{n \times 1}\boldsymbol\beta = \begin{bmatrix} 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}\boldsymbol\beta$ so होना चाहिए मैट्रिक्स ।

β

$\boldsymbol\beta$

1 \times 1

$1 \times 1$

β = [μ_{1} - μ_{2}]

$\boldsymbol\beta = [\mu_1 - \mu_2]$

सेट । फिर हमारी परिकल्पना परीक्षण हमारी परीक्षा आँकड़ा इस प्रकार हमारे पास कुछ काम के बाद, यह दिखाया जा सकता है कि यह भी दिखाया जा सकता है कि $\mathbf{c}^{\prime} = [1]$

H_{0} : c^{'} β = 0 .

$H_0: \mathbf{c}^{\prime}\boldsymbol{\beta} = 0\text{.}$

\frac{c^{'} \hat{β}}{\sqrt{{\hat{σ}}^{2} c^{'} {(X^{'} X)}^{- 1} c}} .

$\dfrac{\mathbf{c}^{\prime}\hat{\boldsymbol{\beta}}}{\sqrt{\hat{\sigma}^2\mathbf{c}^{\prime}\left(\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X}\right)^{-1}\mathbf{c}}}\text{.}$

{\hat{σ}}^{2} = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} .

$\hat{\sigma}^2 = \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})}\text{.}$

P_{X} = P_{1_{n \times 1}} = 1_{n \times 1} (\frac{1}{n}) 1^{'} .

$\mathbf{P}_\mathbf{X} = \mathbf{P}_{\mathbf{1}_{n \times 1}} = \mathbf{1}_{n \times 1}\left(\dfrac{1}{n}\right)\mathbf{1}^{\prime}\text{.}$

I - P_{X}

$\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}}$ सममित और उदासीन है। इसलिए, और

\begin{aligned} {\hat{σ}}^{2} & = \frac{y^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} \\ = \frac{y^{'} (I - P_{X})^{'} (I - P_{X}) y}{n - r (X)} \\ = \frac{‖ (I - P_{X}) y ‖^{2}}{n - r (X)} \\ = \frac{{‖ [I - 1_{n \times 1} (\frac{1}{n}) 1^{'}] y ‖}^{2}}{n - 1} \\ = \frac{{‖ [\begin{matrix} d_{1} \\ ⋮ \\ d_{n} \end{matrix}] - [\begin{matrix} {\bar{d}}_{\cdot} \\ ⋮ \\ {\bar{d}}_{\cdot} \end{matrix}] ‖}^{2}}{n - 1} \\ = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (d_{i} - {\bar{d}}_{\cdot})^{2}}{n - 1} \\ = s_{d}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{\sigma}^2 &= \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &= \dfrac{\mathbf{y}^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})^{\prime}(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &= \dfrac{\|(\mathbf{I}-\mathbf{P}_{\mathbf{X}})\mathbf{y}\|^{2}}{n-r(\mathbf{X})} \\ &=\dfrac{\left\|\left[\mathbf{I}-\mathbf{1}_{n \times 1}\left(\dfrac{1}{n}\right)\mathbf{1}^{\prime}\right]\mathbf{y} \right\|^2}{n-1} \\ &= \dfrac{\left\|\begin{bmatrix} d_1 \\ \vdots \\ d_n \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \bar{d}_\cdot \\ \vdots \\ \bar{d}_\cdot \end{bmatrix} \right\|^2}{n-1} \\ &= \dfrac{\sum_{i=1}^{n}(d_i-\bar{d}_{\cdot})^2}{n-1} \\ &= s^2_d \end{align}$

X^{'} X = 1_{n \times 1}^{'} 1_{n \times 1} = n

$\mathbf{X}^{\prime}\mathbf{X} = \mathbf{1}_{n \times 1}^{\prime}\mathbf{1}_{n \times 1} = n$ जाहिर है उलटा , इस प्रकार एक टेस्ट स्टेटिस्टिक जिसे डिग्री के साथ एक केंद्रीय पर परीक्षण किया जाएगा । इच्छानुसार स्वतंत्रता।

1 / n

$1/n$

\frac{{\hat{μ}}_{1} - {\hat{μ}}_{2}}{\sqrt{s_{d}^{2} / n}}

$\dfrac{\hat\mu_1-\hat\mu_2}{\sqrt{s^2_d/n}}$

t

$t$

n - 1

$n - 1$

— बाजा बजानेवाला
स्रोत