पोइसन और घातीय वितरण के बीच संबंध

Question

पॉइसन वितरण के लिए प्रतीक्षा समय पैरामीटर लैम्ब्डा के साथ एक घातीय वितरण है। लेकिन मुझे यह समझ में नहीं आता है। उदाहरण के लिए पॉइज़न प्रति यूनिट समय पर आगमन की संख्या को दर्शाता है। यह घातीय वितरण से कैसे संबंधित है? कहते हैं कि समय की एक इकाई में k के आगमन की संभावना P (k) (पॉइसन द्वारा प्रतिरूपित) है और k + 1 की संभावना P (k + 1) है, घातांक वितरण मॉडल उनके बीच प्रतीक्षा समय को कैसे दर्शाता है?

Comments

एक पॉइज़न वितरण में प्रतीक्षा समय नहीं होता है। वे एक पॉइसन प्रक्रिया की एक संपत्ति हैं।

— Glen_b

यहां भी देखें , इन दो वितरणों के बीच अंतर के बारे में बेहतर व्याख्या।

— बेल्टर

Answer 1

मैं निम्नलिखित संकेतन का उपयोग विकी के साथ यथासंभव सुसंगत करने के लिए करूँगा (यदि आप मेरे उत्तर के बीच आगे और पीछे जाना चाहते हैं तो पोइसन और घातांक के लिए विकी परिभाषाएँ ।)

$N_t$ : समय अवधि के दौरान आगमन की संख्या$t$

: एक अतिरिक्त आगमन के लिए लगने वाला समय यह मानने के लिए होता है कि कोई व्यक्ति समय टी पर पहुंचा$X_t$$t$

परिभाषा के अनुसार, निम्नलिखित स्थितियाँ समतुल्य हैं:

$(X_t > x) \equiv (N_t = N_{t+x})$

बाईं ओर की घटना उस घटना को पकड़ लेती है जो समय अंतराल में कोई भी नहीं आया है , जिसका तात्पर्य यह है कि समय पर आगमन की संख्या की हमारी संख्या t + x उस समय t की गणना के समान है जो t है सही पर घटना।$[t,t+x]$$t+x$$t$

पूरक नियम से, हमारे पास भी है:

$P(X_t \le x) = 1 - P(X_t > x)$

ऊपर वर्णित दो घटनाओं की समानता का उपयोग करते हुए, हम उपरोक्त को फिर से लिख सकते हैं:

$P(X_t \le x) = 1 - P(N_{t+x} - N_t = 0)$

परंतु,

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = P(N_x = 0)$

इसके बाद के संस्करण का उपयोग करते हुए जहां प्रति समय यूनिट की औसत संख्या है और समय इकाइयों की एक मात्रा x है, सरल करने के लिए:$\lambda$$x$

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = \frac{(\lambda x)^0}{0!}e^{-\lambda x}$

अर्थात

$P(N_{t+x} - N_t = 0) = e^{-\lambda x}$

हमारे मूल eqn में प्रतिस्थापित, हमारे पास है:

$P(X_t \le x) = 1 - e^{-\lambda x}$

ऊपर एक घातांक pdf का cdf है।

Comments

ठीक है यह स्पष्ट करता है। एक्सपोनेंशियल पीडीएफ का उपयोग किसी दो क्रमिक पॉइज़न हिट के बीच प्रतीक्षा समय को मॉडल करने के लिए किया जा सकता है, जबकि पॉसों मॉडल हिट की संख्या की संभावना है। पोइसॉन असतत है जबकि घातीय निरंतर वितरण है। एक वास्तविक जीवन उदाहरण देखना दिलचस्प होगा जहां दोनों एक ही समय में आते हैं।

— 1886 पर user862

है ना? है एक पल समय में या एक अवधि के लिए समय की? $t$

— कोड़ीबगस्टीन

ध्यान दें, कि घटनाओं के बीच प्रतीक्षा समय के लिए एक पॉज़िशन वितरण स्वचालित रूप से एक घातांक पीडीएफ नहीं करता है। यह केवल उन स्थितियों के लिए खाता है जिसमें आप जानते हैं कि एक पॉइसन प्रक्रिया काम पर है। लेकिन आपको यह बताने की आवश्यकता होगी कि पॉसन वितरण के अस्तित्व और एक घातांक पीडीएफ के अस्तित्व को दिखाने के लिए कि एक पॉइसन प्रक्रिया एक उपयुक्त मॉडल है!

— जन रोथकेगल

@CodyBugstein दोनों: वे इस संदर्भ में विनिमेय हैं। आगमन एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह मायने नहीं रखता कि समय की ऑफसेट क्या है। समय से समय 0तक की अवधि tकिसी भी समय अवधि के बराबर होती है t।

— चायल दस ब्रिंक

@ user862: यह आवृत्ति और तरंग दैर्ध्य के बीच संबंधों के बिल्कुल अनुरूप है। लम्बी तरंग दैर्ध्य; कम आवृत्ति के अनुरूप: लंबे समय तक प्रतीक्षा समय; कम अपेक्षित आगमन

— डीडिन

Answer 2

$\lambda$

$L$

$P(L \gt t) = P(\text{no hits in time t})=\frac{\Lambda^0e^{-\Lambda}}{0!}=e^{-\lambda t}$$\Lambda = \lambda t$

$P(L \le t) = 1 - e^{-\lambda t}$

$$f(t) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda t} & \mbox{for } t \ge 0 \\ 0 & \mbox{for } t \lt 0 \end{cases}$$

किसी भी रैंडम वैरिएबल में इस तरह का घनत्व फ़ंक्शन होता है, जिसे घातीय रूप से वितरित किया जाता है।

Comments

$P(L>t)=P$

$\lambda$$t$$\lambda t$

Answer 3

अन्य उत्तर गणित को समझाने का अच्छा काम करते हैं। मुझे लगता है कि यह एक भौतिक उदाहरण पर विचार करने में मदद करता है। जब मैं एक पॉइसन प्रक्रिया के बारे में सोचता हूं, तो मैं हमेशा सड़क पर गुजरने वाली कारों के बारे में सोचता हूं। लैम्ब्डा कारों की औसत संख्या है जो प्रति यूनिट समय गुजरती है, मान लें कि 60 / घंटा (लैम्ब्डा = 60)। हालाँकि, हम जानते हैं कि वास्तविक संख्या अलग-अलग होगी - कुछ दिन अधिक, कुछ दिन कम। Poisson वितरण हमें इस परिवर्तनशीलता को मॉडल करने की अनुमति देता है।

अब, प्रति घंटे औसतन 60 कारें प्रति मिनट औसतन 1 कार से गुजरती हैं। फिर भी, हम जानते हैं कि आगमन के बीच समय की मात्रा में परिवर्तनशीलता है: कभी-कभी 1 मिनट से अधिक; अन्य बार कम। घातांक वितरण हमें इस परिवर्तनशीलता को मॉडल करने की अनुमति देता है।

कहा जा रहा है कि, सड़क पर गुजरने वाली कारें हमेशा एक पॉइसन प्रक्रिया का पालन नहीं करेंगी। यदि कोने के चारों ओर ट्रैफ़िक सिग्नल है, उदाहरण के लिए, आगमन स्थिर होने के बजाय बँधा होने वाला है। एक खुले राजमार्ग पर, एक धीमी गति से ट्रैक्टर-ट्रेलर कारों की एक लंबी लाइन को पकड़ सकता है, जिससे फिर से बंचिंग हो सकती है। इन मामलों में, पोइसन डिस्ट्रीब्यूशन अभी भी लंबी अवधि के लिए ठीक काम कर सकता है, लेकिन एक्सपोनेंशियल आने वाले समय में मॉडलिंग में बुरी तरह से विफल हो जाएगा।

यह भी ध्यान दें कि दिन के समय के आधार पर भारी परिवर्तनशीलता है: आने वाले समय के दौरान व्यस्त; सुबह 3 बजे बहुत धीमी गति से। सुनिश्चित करें कि आपका लैम्ब्डा उस विशिष्ट समय अवधि का चिंतनशील है, जिस पर आप विचार कर रहे हैं।

Answer 4

पॉइसन डिस्ट्रीब्यूशन सामान्यतः द्विपदीय वितरण (दोनों असतत) से लिया गया है। यह आपको विकी पर मिलेगा।

हालांकि, पॉइसन डिस्ट्रीब्यूशन (असतत) को एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन (निरंतर) से भी प्राप्त किया जा सकता है।

मैंने विकी को प्रमाण जोड़ा है (नीचे लिंक):

https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Poisson_distribution/Archive_1#Derivation_of_the_Poisson_Distribution_from_the_Exponential_Distribution

Comments

असतत और निरंतर के बीच संबंध स्पष्ट नहीं था, इसके लिए धन्यवाद!

— jspacek