चाय का स्वाद चखने वाली महिला की शक्ति

Question

प्रसिद्ध फिशर के प्रयोग में अवलोकनीय है सही अनुमानित कप की संख्या दो प्रकार के कप और । आमतौर पर यह महत्वपूर्ण है कि महत्वपूर्ण क्षेत्र को शून्य परिकल्पना (महिला को बेतरतीब ढंग से अनुमान लगाने) को अस्वीकार करने के लिए परीक्षण करने के लिए गणना की जाती है, जिसे टेस्ट का आकार दिया गया है । यह हाइपरजोमेट्रिक वितरण का उपयोग करके आसानी से किया जाता है। उसी तरह मैं महत्वपूर्ण क्षेत्र को देखते हुए परीक्षण के आकार की गणना कर सकता हूं।$k$$A$$B$$\alpha$

एक अलग सवाल यह है: वैकल्पिक परिकल्पना को देखते हुए परीक्षण की शक्ति की गणना कैसे करें? उदाहरण के लिए मान लें कि महिला एकल कप ( पर संभावना के साथ सही अनुमान लगाने में सक्षम है। )। समान कुल कपों की संख्या और एक तरह के कपों की कुल संख्या मानकर परीक्षण की शक्ति क्या है ? (दुर्भाग्य से) महिला जानता है ।$p=90\%$$P(\text{guess} A|\text{true} A)=P(\text{guess } B|\text{true } B)=0.9$$N=8$$n=N/2=4$$n$

दूसरे शब्दों में कहा: का वितरण है क्या औरत जानता है देखते हैं कि (वैकल्पिक परिकल्पना के तहत सही कप की संख्या) एक तरह का कप?$k=$$n$

Comments

अपनी पोस्ट के बारे में सोचते हुए ... यदि फिशर ने केवल महिला को उसके सभी अनुमानों (मुझे लगता है कि मामला था) पर सही था, अस्वीकार करने का फैसला किया, और सभी कप सही होने का केवल एक ही संभव तरीका है, नहीं होना चाहिए इस जगह की संभावना वास्तविक शक्ति हो सकती है? $0.9^4=0.6561$

— एंटोनी परेलाडा

जब आप सामान्य रूप से सभी कपों का अनुमान लगाते हैं तो आप अस्वीकार नहीं करते हैं। लेकिन यह सच है कि साथ यह महत्वपूर्ण क्षेत्र है। आप इस बात पर ध्यान नहीं दे रहे हैं कि महिला जानती है कि प्रत्येक प्रकार के 4 कप हैं। वैसे मैं सामान्य समाधान में दिलचस्पी रखता हूँ$N=8$$N\neq 8$

— तुर्रा

यह एक दिलचस्प, लेकिन कठिन समस्या है। यह निर्धारित करना आसान है कि हो को अस्वीकार करने के लिए नेतृत्व करेंगे, लेकिन हा के तहत उन तालिकाओं को देखने की संभावना के बारे में सोचना होगा। निम्न लेख एक दिए गए संवेदनशीलता और विशिष्टता के साथ थोड़ा संशोधित तालिका के लिए शक्ति की गणना करता है: "फालिसर्ड एट अल द्वारा" मनोचिकित्सा अनुसंधान में गुणात्मक और मात्रात्मक दृष्टिकोण लिंक करने के लिए लेडी-चखने-चाय प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण "। मुझे यकीन नहीं है कि गणना सही है। यदि आपको वास्तव में एक द्विपद समस्या है, तो आप सटीक आर पैकेज का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यह एक अलग समस्या है

— पीटर

Answer 1

विकल्प के तहत महिला बेतरतीब ढंग से अनुमान नहीं लगा रही है, लेकिन "बेतरतीब ढंग से अनुमान नहीं" विभिन्न स्थितियों के एक अनन्तता को कवर करती है। वह हमेशा पूरी तरह से अनुमान लगा सकती है या वह केवल यादृच्छिक अनुमान लगाने की तुलना में बहुत थोड़ा बेहतर कर सकती है ... और सामान्य स्थिति में एक एकल-चर "स्केल" नहीं है साथ काम करने के लिए यादृच्छिक नहीं है (इसलिए हमारे पास एक शक्ति भी नहीं है। वक्र जब तक हम गैर-यादृच्छिक प्रतिक्रियाओं के प्रकार को सीमित नहीं कर सकते जो वह दे सकता है)।

इसलिए एक शक्ति की गणना करने के लिए, हमें इस बारे में बहुत विशिष्ट होना चाहिए कि यह कैसे गैर-यादृच्छिक है (और यह उस विशेष फैशन में कितना गैर-यादृच्छिक है)।

हम मान सकते हैं, उदाहरण के लिए, उसे इस बात की अनुभूति होती है कि प्रत्येक कप में दूध जैसा स्वाद पहले कैसे मिलाया जाता है - एक "दूध-पहलापन" सूचकांक जो एक यादृच्छिक चर है जिसमें एक है अलग (उच्च) का मतलब है जब दूध पहले जोड़ा जाता है - उदाहरण के लिए, हम मान सकते हैं कि यह सामान्य या लोगोवादी है, जिसका अर्थ है और विचरण ( " " के रूप में जाना जाता है। परिशुद्धता ") जब दूध पिछले जोड़ा गया है और इसका मतलब यह है और विचरण जब दूध पहले जोड़ा जाता है (वास्तव में, एक सरल लेकिन अधिक प्रतिबंधात्मक अनुमान सेट, कहते हैं, हो सकता है$(-\infty,\infty)$$\mu_0$$\sigma^2=1/\omega^2$$\omega^2$$\mu_1$$\sigma^2$$\mu_1=-\mu_0=1$ताकि सब कुछ अब एक चर, सटीक का एक समारोह है)। तो उन मापदंडों के किसी भी दिए गए मूल्यों के लिए, हम इस संभावना की गणना कर सकते हैं कि वह सभी 8 कप सही हो जाए (कि वह जो चार छोटे "दूध-दूध" मानती है, वह जो अनुभव करती है वह चार दूध-दूसरे कप से जुड़ी हैं); यदि सटीक गणना हमारे लिए बहुत कठिन थी, तो हम इसे किसी भी वांछित सटीकता के लिए अनुकरण कर सकते हैं। [उस मामले में जहां गैर-आयामीता को केवल एक चर का कार्य माना जाता है, हमारे पास पावर-वक्र होगा - पैरामीटर के प्रत्येक मूल्य के लिए शक्ति का एक मूल्य।]

यह एक विशिष्ट प्रकार का मॉडल है कि कैसे वह "यादृच्छिक से बेहतर" प्रदर्शन कर सकती है जिसके साथ हम मापदंडों को निर्दिष्ट कर सकते हैं और शक्ति के लिए एक मूल्य प्राप्त कर सकते हैं।

हम निश्चित रूप से गैर-यादृच्छिकता के कई अन्य रूपों को मान सकते हैं।

Answer 2

वैकल्पिक परिकल्पना के तहत अनुमानों की सही संख्या का वितरण एक गैर-केंद्रीय हाइपरजोमेट्रिक वितरण का अनुसरण करता है , जिसे ऑड्स अनुपात के संदर्भ में मानकीकृत किया जाता है, अर्थात, कितना अधिक अंतर है कि महिला "चाय की पहली" का अनुमान लगाएगी जब वास्तव में चाय को पहले जोड़ा गया था जब वास्तव में दूध पहले जोड़ा गया था (या दूसरे तरीके से)। यदि ऑड्स अनुपात 1 है, तो हमें केंद्रीय हाइपरजोमेट्रिक वितरण मिलता है।

देखते हैं कि यह काम करता है या नहीं। मैं MCMCpackपैकेज का उपयोग करते हुए, उदाहरण के लिए R का उपयोग करूंगा , जिसमें dnoncenhypergeom()एक (गैर-केंद्रीय) हाइपरजोमेट्रिक वितरण के घनत्व की गणना करने के लिए फ़ंक्शन है । यह तर्क xअनुमान की सही संख्या के लिए (सावधान: यह दो स्थितियों में से एक के तहत अनुमान की सही संख्या, उदाहरण के लिए, जब चाय वास्तव में पहली जोड़ दिया गया है), तर्क n1, n2और m1चार मार्जिन के तीन के लिए, और psiके लिए असली अंतर अनुपात। आइए x0 से 4 के बराबर घनत्व की गणना करें (सभी मार्जिन 4 के बराबर) जब सही अंतर अनुपात 1 है:

install.packages("MCMCpack")
library(MCMCpack)
sapply(0:4, function(x) dnoncenhypergeom(x, n1=4, n2=4, m1=4, psi=1))

यह प्रदान करता है:

[1] 0.01428571 0.22857143 0.51428571 0.22857143 0.01428571

तो, एक 1.43% संभावना है कि महिला 8 सही अनुमान लगाएगी (यानी, वह सभी 4 कप का सही अनुमान लगाती है, जहां पहले चाय जोड़ा गया था और इसलिए वह सभी 4 कप का सही अनुमान लगाती है कि नल की परिकल्पना के तहत दूध कहां जोड़ा गया था)। यह वास्तव में सबूतों की मात्रा है जो फिशर को शून्य परिकल्पना को खारिज करने के लिए पर्याप्त माना जाता है।

प्रश्न में निर्दिष्ट संभावनाओं का उपयोग बाधाओं के अनुपात की गणना करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात $(.90/(1-.90)) / (.10/(1-.10)) = 81$ (अर्थात, $\text{odds}(\text{guess}A|\text{true}A) / \text{odds}(\text{guess}A|\text{true}B)$)। अब क्या संभावनाएं हैं कि महिला सभी 8 कप का सही अनुमान लगाएगी (यानी, वह सभी 4 कप का सही अनुमान लगाएगी कि पहले चाय कहां डाली गई थी और इसलिए सही तरीके से 4 कप को भी जोड़ा गया था) जहां पहले दूध डाला गया था?

dnoncenhypergeom(4, n1=4, n2=4, m1=4, psi=81)

यह प्रदान करता है:

[1] 0.8312221

तो बिजली लगभग 83% है।