फिर भी एक और केंद्रीय सीमा प्रमेय प्रश्न

Let साथ स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर का एक क्रम हो सेट करें दिखाएँ कि वितरण में मानक सामान्य चर के लिए के रूप में परिवर्तित होता है, अनंत को जाता है। $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

मेरा प्रयास ल्यपुनोव CLT का उपयोग करना है, इसलिए हमें यह दिखाने की आवश्यकता है कि वहाँ एक मौजूद है ऐसा, $\delta>0$

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

अतः $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ और

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

कंप्यूटर पर बड़े n के लिए मूल्यांकन करने से यह पता चलता है कि दोनों $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ और $B_n^3 \to \infty$ के रूप में $n \to \infty$ । लेकिन $B_n^3$ , तुलना में अधिक तेजी से $B_n^2$ इसलिए $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ | क्या कोई इस अभिसरण धारण को सिद्ध करने में मेरी मदद कर सकता है?

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButterfly
स्रोत

यह पैट्रिक बिलिंग्सले द्वारा संभाव्यता और माप का उदाहरण 27.3 है ।

— झांक्सीओनग

जवाबों:

यह पहले सिद्धांतों और बुनियादी परिणामों से इस परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए शिक्षाप्रद हो सकता है , क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शंस के गुणों का शोषण करता है (बिल्कुल केंद्रीय सीमा प्रमेय के मानक प्रमाणों में)। हमें सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्या लिए की वृद्धि की दर को समझना होगा ये विकास दर अच्छी तरह से ज्ञात हैं और इंटीग्रल्स तुलना में आसानी से प्राप्त की जाती हैं : वे लिए अभिसरण करती हैं और अन्यथा लिए लघुगणकीय रूप से विचलन करती हैं ।

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

चलो और । परिभाषा के अनुसार, का उत्पादक कार्य (cgf) है $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

दाहिने हाथ की ओर की श्रृंखला का विस्तार, आसपास के विस्तार से प्राप्त होता है , जो रूप लेता है $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

अंशों के अंशों में बहुपद होते हैं साथ अग्रणी शब्द । क्योंकि लॉग का विस्तार पूरी तरह से लिए परिवर्तित होता है , यह विस्तार पूर्ण रूप से परिवर्तित होता है जब $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

(केस यह हर जगह होता है।) के निश्चित और बढ़ते मूल्यों के लिए , का स्पष्ट (स्पष्ट) निरपेक्ष रूप से बड़े अभिसरण के डोमेन को बड़े पैमाने पर बढ़ता है। इस प्रकार, किसी भी निश्चित और पर्याप्त रूप से बड़े , यह विस्तार बिल्कुल परिवर्तित होता है। $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

पर्याप्त रूप से बड़े , तो, इसलिए हम , का प्राप्त करने के लिए शक्तियों में व्यक्तिगत रूप से को टर्म से अधिक कर , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

एक समय में पर शर्तों को लेने के लिए हमें आनुपातिक अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करना होगा $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

के लिए और । परिचय में वर्णित सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं के एसिम्पोटिक्स का उपयोग करना, यह आसानी से निम्नानुसार है $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

उस

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

और ( ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

बड़े रूप में बढ़ता है। नतीजतन, से परे के विस्तार में सभी शब्द शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं, के किसी भी मान के लिए परिवर्तित हो जाता । चूँकि cgf के अभिसरण से अभिप्राय फ़ंक्शन के अभिसरण से है, हम लेवी निरंतरता प्रमेय से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक यादृच्छिक चर के पास आता है जिसका cgf 2/2 है : जो कि मानक सामान्य चर, QED है । $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

यह विश्लेषण केवल यह बताता है कि अभिसरण कितना नाज़ुक है: जबकि सेंट्रल लिमिट के कई संस्करणों में गुणांक का गुणांक ( ) है, यहाँ गुणांक है केवल : अभिसरण बहुत धीमा है। इस अर्थ में मानकीकृत चर "बस मुश्किल से" का क्रम सामान्य हो जाता है। $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

हम इस धीमे अभिसरण को सिमुलेशन की एक श्रृंखला में देख सकते हैं। हिस्टोग्राम्स चार मूल्यों के लिए स्वतंत्र पुनरावृत्तियों को प्रदर्शित करते हैं । लाल वक्र दृश्य संदर्भ के लिए मानक सामान्य घनत्व कार्यों के ग्राफ हैं। यद्यपि स्पष्ट रूप से सामान्यता की ओर एक क्रमिक प्रवृत्ति है, यहां तक कि (जहां अभी भी बड़े आकार का है) वहाँ प्रशंसनीय गैर-सामान्यता बनी हुई है, जैसा कि तिरछेपन में स्पष्ट है। ( इस नमूने में बराबर )। (यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है कि इस हिस्टोग्राम का तिरछापन करीब है , क्योंकि यह ठीक है कि cgf में टर्म क्या है।) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

यहाँ Rउन लोगों के लिए कोड है जो आगे प्रयोग करना चाहते हैं।

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— व्हीबर
स्रोत

आपके पास पहले से ही एक शानदार जवाब है। यदि आप अपना स्वयं का प्रमाण भी पूरा करना चाहते हैं, तो आप निम्नानुसार बहस कर सकते हैं:

चूँकि सभी लिए अभिसरण करता है और ( यहाँ ) के लिए विचलन करता है , हम लिख सकते हैं $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

उसी तर्क से,

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

फलस्वरूप, और, इस प्रकार, $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

जो हम दिखाना चाहते थे।

— ekvall
स्रोत

यदि वितरण पर निर्भर करता है, तो पहले आपके यादृच्छिक चर को संवैधानिक रूप से वितरित नहीं किया जाता है ; $k$

इसके अलावा मैं आपके नोटेशन का उपयोग नहीं : $B_n$

बड़े अक्षरों को आम तौर पर यादृच्छिक चर के लिए आरक्षित किया जाता है।
यह केवल भिन्नताओं का योग है इसलिए मैं इसे स्पष्ट करने के लिए प्रतीक को शामिल करने वाले नोटेशन का उपयोग करूंगा । $\sigma$

फिर सवाल के बारे में मैं नहीं जानता कि क्या यह एक व्यायाम या शोध है और आपको किन उपकरणों का उपयोग करने की अनुमति है। यदि आप ज्ञात प्रमेयों को फिर से साबित करने की कोशिश नहीं कर रहे हैं, तो मैं सिर्फ यह कहूंगा कि यह स्वतंत्र गैर-पहचान के लिए एक केंद्रीय सीमा प्रमेय है लेकिन समान रूप से आरवी को बाध्य किया गया है और इसे एक दिन कहते हैं। मेरे पास हाथ में एक अच्छा स्रोत नहीं है, लेकिन इसे ढूंढना बहुत कठिन नहीं होना चाहिए, उदाहरण के लिए /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- के लिए बाध्य-गैर-पहचान-वितरित-यादृच्छिक ।

संपादित करें: मेरा बुरा, निश्चित रूप से समान रूप से बंधी हुई स्थिति पर्याप्त नहीं है, आपको

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— एड्रियन
स्रोत