CLT में, क्यों

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चलो एक वितरण मतलब है कि से स्वतंत्र टिप्पणियों हो और विचरण , जब , तो $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

क्यों इस संकेत करता है

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
स्रोत

हो सकता है कि यह स्पष्ट रूप से पर्याप्त नीचे बल दिया नहीं गया था, लेकिन बयान

गणितीय सार्थक और सत्य, जबकि बयान है

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

गणितीय रूप से बेतुका है, इसलिए, जैसा कि कहा जाता है,गलत भी नहीं है।

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— क्या

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आप व्याख्या थोड़ा गलत है। केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) का तात्पर्य है

{\bar{X}}_{n} \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

ऐसा इसलिए है क्योंकि CLT एक एसिम्प्टोटिक परिणाम है, और हम केवल परिमित नमूनों के साथ व्यवहार में हैं। हालांकि, जब नमूना आकार काफी बड़ा होता है, तो हम मान लेते हैं कि सीएलटी परिणाम सन्निकटन में सही है, और इस प्रकार

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{approx}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{approx}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

$X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

बीजगणित के अधिक विवरण के लिए इसे पढ़ें ।

— Greenparker
स्रोत

\sim

$\sim$

मैंने बीजगणित को स्पष्ट किया है। इसका अधिकांश भाग प्रसरण और अपेक्षा के गुणों का उपयोग कर रहा है।

— ग्रीनपार्क

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

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V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

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$\bar X_n$

$\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

$\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

$\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

$\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
स्रोत

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$\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} M_{τ Z + μ} (t) & = M_{Z} (τ t) M_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

$(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
स्रोत

वितरण के लिए यह क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य क्यों साबित होता है?

— मविविलेज

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यह संभावना से परिणाम है। यदि दो रैंडम वैरिएबल में एक ही पल का फंक्शन जनरेट होता है तो वे वितरण में बराबर होते हैं।

— dsaxton